知识点016 反比例函数图象、性质及其应用2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016山东菏泽，8，3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为（ ）‎ A．36 B．12 C．6 D．3‎ y ‎ x ‎ O ‎ A ‎ C ‎ D ‎ B ‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】先用三角形的面积公式表示△OAC与△BAD的面积差，然后把式子因式分解，即会发现两个等腰直角三角形的两腰的和与差分别为点B的横坐标与纵坐标，由于点B在反比例函数y=的图象上，故其坐标之积为6，从而可得S△OAC－S△BAD的值．‎ ‎【详细解答】解：设B(a，b)，因反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则有ab=6，又△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，所以S△OAC－S△BAD=OC2－BD2=(OC＋BD)(OC－BD)=(OC＋BD)(AC－AD)=ab=×6=3，故选择D． ‎ ‎【解后反思】（1）反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积等于k，有时会根据此特征构建方程进行求值．‎ ‎（2）当三角形的边长或面积等无法直接求得结果时，不妨考虑运用整体思想解决问题．‎ ‎【关键词】 三角形的面积；等腰直角三角形的性质；因式分解；反比例函数的图象与性质；转化思想；整体思想 ‎2. 、（ 2016山东聊城，7，3分）二次函数y=a(a,b,c为常数且a)的图象如图所示，则一次函数y=a与反比例函数y=的图象可能是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】C ‎【逐步提示】第一步根据二次函数的图象先判断a、b、c的符号，第二步由c的符号确定反比例函数的图象分布象限，第三步由a、b的符号确定一次函数的图象增减性，第四步观察选项确定正确答案．‎ ‎【详细解答】解：根据二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可知a、b、c的符号：①∵抛物线开口向上，∴a＞0；②∵抛物线的对称轴直线在y轴的右侧，∴，∴b>0；③∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴的正半轴上，∴c＜0.‎ 由以上分析可知：一次函数的图象是一条自左向右呈上升趋势的直线，且与y轴的交点(0，b)在y轴的正半轴上；反比例函数的图象是双曲线，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.∴在同平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是C.故选择C . 【解后反思】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟记这些函数的图象与性质，能够读出图象包含的信息．二次函数、反比例函数及一次函数，它们的图象、性质各有不同，特别是由抛物线在坐标系中的位置获取抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与坐标轴的交点位置及个数等信息，是必须要熟练掌握的基本技能.①二次函数的图象是抛物线，抛物线在平面直角坐标系中的位置由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上时，c＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上时，c＜0，抛物线与y轴的交点为原点时，c＝0；抛物线与x轴的交点个数由的符号决定，当＞0时，有2个交点，当＝0时，有1个交点，当＜0时，没有交点；②一次函数的图象是一条直线：当a＞0时，直线自左向右呈上升趋势，当a＜0时，直线自左向右呈下降趋势；当b＞0时直线与y轴的交点(0，b)在y轴的正半轴上，当b＜0时直线与y轴的交点(0，b)在y轴的负半轴上，当b＝0时直线与y轴的交点(0，b)为原点；③反比例函数的图象是双曲线，当c＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，当c＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.‎ ‎ 【关键词】二次函数；反比例函数；一次函数；数形结合思想；‎ ‎3. （ 2016山东省烟台市，8，3分）反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】解答本题需要我们画出一次函数和反比例函数的图象，然后根据条件“两图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数”可判断反比例函数的图象必过二、四象限，由此可知反比例函数的系数小于0. 【详细解答】解：∵两图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，画出草图，‎ 由图知 反比例函数图形过二、四象限，∴1-6t0)，∴其图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．∵(-5，y1)，(-3，y2)两点在第三象限且-5＜-3，∴y2＜y10∴y1>0，∴y2＜y3＜y1，故选择D． ‎ ‎【解后反思】对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果不在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．当然，如果横坐标，比较纵坐标的大小，数据比较简单的话，也可代入求值比较大小.‎ ‎【关键词】 代入求值；反比例函数的性质；比较大小 ‎7.(2016新疆建设兵团，9，5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=kx－k的图象不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是先利用反比例函数的增减性，得到k的取值范围，然后再判断一次函数图象经过的象限.‎ ‎【详细解答】解：由A、B两点坐标，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可知当x＜0时，y随x的增大而减小，故k＞0，所以－k＜0，所以一次函数y=kx－k经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选择B .‎ ‎【解后反思】一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的基本性质：‎ 当 k＞0、b＞0，这时此函数的图象经过一、二、三象限；当 k＞0、b＜0， 这时此函数的图象经过一、三、四象限；当 k＜0、b＞0，这时此函数的图象经过一、二、四象限；‎ 当 k＜0、b＜0， 这时此函数的图象经过二、三、四象限．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 反比例函数（k为常数，k≠0）的基本性质：‎ 当k＞0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，y随x的增大而减小；‎ 当k＜0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，y随x的增大而增大．‎ ‎【关键词】反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质；‎ ‎8.(2016浙江杭州，7，3分)设函数y＝(k≠0，x＞0)的图像如图所示．若z＝，则z关于x的函数图像可能为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【逐步提示】本题考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，解题的关键是能够利用反比例函数的图像确定k的取值范围与两个函数关系式之间的转换．首先由函数y＝(k≠0，x＞0)的图像确定k的符号，然后将y＝代入z＝，得到z与x的函数关系式z＝，最后＞0、x＞0来确定一次函数的图像为第一象限内过原点的一条射线(不包括原点)．‎ ‎【解析】由图可知双曲线在第一象限内，故k＞0．‎ ‎∵y＝，z＝，‎ ‎∴z＝＝＝．‎ ‎∵k＞0，x＞0，‎ ‎∴函数z＝的图像是过原点在第一象限的一条射线(不包括原点)．‎ 故选择D．‎ ‎【解后反思】本题主要考查正、反比例函数的图像与性质，给出的两个反比例函数关系式，代入变形后，恰好得到正比例函数解析式，由反比例函数的图像确定反比例系数的符号，从而再由正比例函数的系数的符号及自变量的取值范围就易确定正比例函数的图像了．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的基本性质：当 k＞0、b＞0，这时此函数的图像经过一、二、三象限；当 k＞0、b＜0， 这时此函数的图像经过一、三、四象限；当 k＜0、b＞0，这时此函数的图像经过一、二、四象限；当 k＜0、b＜0， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 这时此函数的图像经过二、三、四象限．反比例函数(k为常数，k≠0)的基本性质：当k＞0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大．‎ ‎【关键词】反比例函数的图像与性质；一次函数图像与性质 ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9. （2016四川达州，5，3分）下列说法中不正确的是 A.函数y=2x的图象经过原点 B.函数y=的图象位于第一、三象限 C.函数y=3x-1的图象不经过第二象限 D.y=-的值随着x的值的增大而增大 ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质与比例系数k、b的关系.解题的思路是：根据一次函数、反比例函数的图象和性质进行解答， 【详细解答】解：A选项，正比例函数图像是过原点的直线，正确；B选项，函数y=的图象位于第一、三象限，正确；C选项，函数y=3x-1的图象经过第一、三、四象限，正确；D选项，在各自象限内，y=-的值随着x的值的增大而增大，错误，故选择D. 【解后反思】一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的基本性质：‎ 当 k＞0、b＞0，这时此函数的图象经过一、二、三象限；当 k＞0、b＜0， 这时此函数的图象经过一、三、四象限；当 k＜0、b＞0，这时此函数的图象经过一、二、四象限；‎ 当 k＜0、b＜0， 这时此函数的图象经过二、三、四象限．‎ 反比例函数（k为常数，k≠0）的基本性质：‎ 当k＞0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；‎ 当k＜0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大．‎ ‎【关键词】一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质 ‎10. （ 2016四川乐山，10，3分）如图5，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，若tan∠CAB =2，则k的值为( )．‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】D． ‎ ‎【逐步提示】连接OC，分别过点A、C作AE⊥y轴、CD⊥x轴，垂足分别为E、D，易得△AOE∽△COD，再由tan∠CAB =2得OC：OA=2，问题易解．‎ ‎【详细解答】解：连接OC，分别过点A、C作AE⊥y轴、CD⊥x轴，垂足分别为E、D，如图．∵AC=BC，OA=OB，∴CO⊥AB，又EO⊥OD，∠AOE=∠COD．∵∠AEO=∠CDO=90°，∴△AOE∽△COD．由tan∠CAB =2得OC：OA=2，∴CD：AE=DO：EO=2．∵点A在反比例函数的图象上，∴AE·OE=|-2|=2，∴CD·DO=2×4=8．∵点C在第一象限，∴k=8，故选择D． ‎ ‎【解后反思】(1)作出合适的辅助线是解决本题的关键所在．‎ ‎(2) 反比例函数的一般形式是，其中k≠0，x是自变量．反比例函数的性质是：‎ ‎①当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上为减函数；k0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，连接OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F.设点A的横坐标为m.‎ ‎(1)b= (用含m的代数式表示)‎ ‎(2)若S△OAF+S四边形EFBC=4,则m的值是 ．‎ ‎【答案】(1) m+;(2)‎ ‎【逐步提示】将点A横坐标代入反比例函数求得纵坐标，再将点A坐标代入一次函数即得b的值；根据两函数的解析式求得A，B两点坐标，根据阴影部分面积间的关系推导出A，B，C三点横坐标间关系，通过方程求得m的值．‎ ‎【解析】由于点A在反比例函数y=上，所以设A点坐标(m,),将点A坐标代入一次函数得b= m+,所以点D(0, m+)，点C(m+,0)．两函数解析式联立得，解得B点坐标为(，m)，作BM⊥OC于M，则MC=OE=m,‎ 因为S矩形AGOE=S△OAF+ S△OAG+ S△OEF= S△OAF+S四边形EFBC=4，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以S△OAG+ S△OEF= S四边形EFBC= S梯形EFBM+ S△BMC= S△OBM-S△OEF+ S△BMC，‎ 所以S△OEF= -S△OEF+ S△BMC，所以2S△OEF=S△BMC,由于两个三角形底相等，所以MB=2EF．‎ 所以EF为△OBM中位线，所以OE=EM=MC，所以=2 m,解得m=.‎ ‎【解后反思】将不规则图形转化为规则图形，通过图形间的转换得到各点坐标间的关系从而解决问题．‎ ‎【关键词】 一次函数；反比例函数；阴影部分面积；；‎ ‎3.‎ ‎(2016浙江宁波，18，4分)如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO = AC，则△ABC的面积为 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【逐步提示】本题考查了等腰三角形性质、反比函数的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是求出的值．画AD⊥OC于D,BE⊥OC于E, 由AO = AC得△AOC的面积=2×△AOD的面积=9，由△OBE和△OAD相似，利用面积的比等于相似比的平方得出的值，进而求得△ABC的面积.‎ ‎【解析】如图，画AD⊥OC于D,BE⊥OC于E,‎ 则BE∥AD,∴△OBE∽△OAD,∴,即，∴，∵AO = AC，∴OD=CD,∴,∴，故答案为6 .‎ ‎【解后反思】解决本题中要用到的一些重要结论归纳如下： ‎ ‎(1)如图1，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1 图2‎ ‎(2)如图1，过双曲线上的任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则=，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为．‎ ‎(3)如图2，直线OA分别交反比例函数、在第一象限的图象于点A,B, 画AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E, 则BE∥AD,所以△OBE∽△OAD,,即，.‎ ‎【关键词】 等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质；反比函数的性质；‎ ‎4.(2016浙江衢州，16，4分)如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y＝(x＞0)的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变.‎ ‎(1)当k＝2时，正方形A′B′C′D′的边长等于＿＿＿.‎ ‎(2)当变化的正方形ABCD与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是＿＿＿.‎ ‎　　　　‎ ‎【答案】、≤k≤18.‎ ‎【逐步提示】在(1)过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出OD′=EA′，OC′=ED′，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于A．b的二元二次方程组，解方程组即可得出A．b值，再由勾股定理即可得出结论.(2)由(1)可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为(m，2m)，点D坐标为(0，n)，找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k的取值范围.‎ ‎【解析】(1)如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵四边形A′B′C′D′为正方形，∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°.∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，∴∠ED′A′=∠OC′D′.在△A′ED′和△D′OC′中，∵∠ED′A′＝∠OC′D′，∠A′ED′＝∠D′OC′＝90°，A′D′＝D′C′，∴△A′ED′≌△D′OC′(AAS)，∴OD′=EA′，OC′=ED′；同理△B′FC′≌△C′OD′.设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，即点A′(a，a+b)，点B′(a+b，b) .∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，∴解得或(舍去)．在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，∴C′D′＝＝．(2)设直线A′B′解析式为y=k1x+b1，直线C′D′解析式为y=k2+b2，∵点A′(1，2)，点B′(2，1)，点C′(1，0)，点D′(0，1)，∴和解得和∴直线A′B′解析式为y＝－x+3，直线C′D′解析式为y＝－x+1．设点A的坐标为(m，2m)，点D坐标为(0，n)．当A点在直线C′D′上时，有2m＝－m+1，解得m＝，此时点A的坐标为(，)，∴k＝×＝；当点D在直线A′B′上时，有n＝3，此时点A的坐标为(3，6)，∴k＝3×6＝18．综上可知：当变化的正方形ABCD与(1)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤18.故答案为、≤k≤18.‎ ‎【解后反思】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)求出线段OD′、OC′的长度；(2)找出两正方形有重叠部分的临界点．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，本题是填空题，降低了难度，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键.‎ ‎【关键词】点坐标、反比例函数、正方形、待定系数法、方程思想、分类思想等.‎ ‎ ‎ ‎5. （ 2016四川省成都市，13，4分）已知P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)两点都在反比例函数的图像上，且x1＜x2＜0，则y1 y2．‎ ‎【答案】＞．‎ ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数的图象及性质．根据函数解析式可知k＝2＞0，再结合x1＜x2＜0知图象在第三象限，结合反比例函数增减性即可确定y1、y2的大小． 【详细解答】解： ∵k＝2＞0，可知函数图象如图：‎ ‎ ‎O y x ‎∴在第三象限内y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜0时y1＞y2 ，故答案为 ＞ . 【解后反思】反比例函数的性质：当k＞0时，在各自的单调区间内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在各自的单调区间内，y随x的增大而增大． 【关键词】 反比函数的性质；作图法；函数图像型；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6. （2016四川达州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x轴，y轴上，反比例函数y=(x＞0)的图象过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为　　　　.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（2，7）‎ ‎【逐步提示】本题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质及相似三角形的性质和判定的综合应用，解题的关键是根据图形的几何特征把点的坐标与点到坐标轴的距离相互转化.解题思路是：过点C作CF⊥x轴，则△AOB∽△DFA，根据相似三角形的性质可得AF、DF，则D点坐标可得，代入反比例函数解析式可得k.过点C作CM⊥y轴，可得△BCM≌△DAF，则CM，BM长可得，求得C点坐标.由B、C两点坐标利用待定系数法确定直线BC的解析式.把直线的解析式与反比例函数的解析式联立构成方程组，可得交点E的坐标.‎ ‎【详细解答】解：过点C作CF⊥x轴，则△AOB∽△DFA，∴＝＝，∴＝＝，∴AF＝4，DF＝2，∴OF＝7，∴D（7，2）.∴反比例函数的解析式为y=.过点C作CM⊥y轴，∵四边形ABCD是矩形，则△BCM≌△DAF，∴CM＝4，BM＝2.∴OM＝2+6=8.∴C（4，8）.设直线BC的解析式为y=mx+n，把B（0,6），C（4,8）分别代入可得，解得，∴直线BC的解析式为y=x+6.∴，解得，，∵点E在第一象限，∴E（2，7）.故答案为（2，7） . 【解后反思】已知点在函数图象上，那么这点一定满足其函数解析式，反之也成立；理解反比例函数与一次函数的交点意义：交点坐标同时满足两个函数解析式．另外，利用数形结合方法求点的坐标，通常通过作坐标的垂线，利用三角形全等或相似的方法求出点到坐标轴的距离，从而求得点的坐标. 【关键词】反比例函数的图象和性质；矩形的性质；相似三角形的性质和判定 ‎7. （ 2016四川省内江市，23，6分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥轴，则△OAB的面积等于____________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】.‎ ‎【逐步提示】求△OAB的面积，首先是适当添加辅助线（如图所示），化不规则图形为规则图形的和差，然后根据反比例函数中k值的意义分析得出S△OAB＝S矩形BCOE―S△OAC―S△OBE＝S矩形BCOE―S矩形ACOD―S矩形BCOE 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即可. ‎ ‎【详细解答】解：如答图，延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E.‎ ‎∵AB∥轴，∴四边形ACOD和四边形BCOE都是矩形.‎ ‎∵点A在双曲线y＝上，‎ ‎∴S矩形ACOD＝5,‎ ‎∵点B在双曲线y＝上，‎ ‎∴S矩形BCOE＝8,‎ ‎∴S△OAB＝S矩形BCOE―S△OAC―S△OBE ‎＝S矩形BCOE―S矩形ACOD―S矩形BCOE ‎＝8－×5－×8‎ ‎＝. ‎ ‎【解后反思】本题考查反比例函数中k值的意义，解题的关键是适当添加辅助线，运用转化的数学思想，化不规则图形为规则图形的和差.将△OAB转化为矩形BCOE、△OAC、△OBE的和差，问题得以解决.‎ ‎【关键词】反比例函数的意义 ；矩形的判定 ‎ ‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ ‎11.‎ ‎12.‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎24.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎27.‎ ‎28.‎ ‎29.‎ ‎30.‎ ‎31.‎ ‎32.‎ ‎33.‎ ‎34.‎ ‎35.‎ ‎36.‎ ‎37.‎ ‎38.‎ ‎39. ‎ 三、解答题 ‎1. （2016山东东营，23，9分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．‎ ‎(1)求反比例函数的解析式；‎ ‎(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．‎ ‎【逐步提示】(1)利用锐角三角函数求出点C的坐标，代入y=即可求出反比例函数的解析式．(2)设点D的坐标为(a，b)，利用S△BAF=4S△DFO得出8－4b=－4ab；再由D在反比例函数的图象上，得出ab=－6，解得b=－4，a=，即D(，－4)．‎ ‎【详细解答】解：（1）∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6,‎ ‎∵CE⊥x轴，‎ ‎∴∠CEB=90º， ……………………………………..1分 在Rt△BEC中，‎ ‎∵tan∠ABO=，‎ ‎∴，即，解得CE=3， ……….2分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 结合图象可知C点的坐标为（－2，3），‎ 将C（－2，3）代入反比例函数解析式可得，解得m=－6， …….3分 ‎∴反比例函数解析式为. …………………………………………4分 ‎（2）解：设点D的坐标为（a,b）‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎. ………………………………………………6分 又∵点D在反比例函数图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ………………………………………………7分 ‎∴，‎ 解得：. ………………………………………………8分 把代入中，解得：，‎ ‎∴. ……………………………………………………………9分 ‎【解后反思】【一题多解】(1)∵OB=4，OE=2，∴B(4，0)，E(－2，0)．‎ 在Rt△AOB中，tan∠ABO=，∴OA=OB=2，∴A(0，2)．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+2，把B(4，0)代入可得 ‎4k+2=0，解得k=－．∴y=－x+2．‎ ‎∵CE⊥x轴，∴C的横坐标为－2．‎ 把x=－2代入y=－x+2，得y=3，∴C(－2，3)．‎ 将C(－2，3)代入y=，得3=，解得m=－6，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=－．‎ ‎(2)∵点D在反比例函数y=－的图象上，∴S△DFO==3．‎ 又∵S△BAF=4S△DFO，OB=4，∴×AF×4=12，∴AF=6．‎ ‎∴OA=2，∴OF=4，即F(0，－4)．‎ 把y=－4代入y=－，得－4=－，解得x=，即D(，－4)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】锐角三角函数的概念；待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数k的几何意义；一次函数与反比例函数的交点问题 ‎2.‎ ‎3. （ 2016山东泰安，25，8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N．‎ ‎ （1）求反比例函数和一次函数的表达式；‎ ‎ （2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．‎ 第25题图 O M A B C D N y x ‎【逐步提示】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式、三角形面积、四边形面积和数形结合思想等知识，抓住函数的图像特征是解题关键．（1）求反比例函数解析式时，只需知道图象上一个点的坐标就可以了，因为D在正方形的边AD上，边长为3且AD＝2DB，所以能够得到D点的坐标，代入可求．而同样的利用AM＝2MO可以求出M点的坐标，将D、M两点代入可求．‎ ‎（2）因为四边形OMNC是一个梯形，N点在上，可以求出N的横坐标，这样四边形OMNC的面积就可求出，因为，所以可以求出，再将P点的纵坐标代入中便可求出点P的坐标了． 【详细解答】解：（1）∵正方形ABCD的顶点C的坐标为（0，3），∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°，又AD＝2DB，∴，∴D（－3，2）‎ 把D（－3，2）代入得，m＝－6，∴．∵AM＝2MO，∴，‎ ‎∴M（－1，0），把M（－1，0）和D（－3，2）代入得 ‎，解得：k＝－1，b＝－1．∴直线DM的表达式为：． （2）∵N点在BC上，∴，把y＝3代入得：x＝－2，∴N（－2，3）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∴NC＝2．设P（x，y）∵，∴，‎ 即（1＋2）×3＝｜y｜，∴y＝±9，当y＝9时，x＝－10，当y＝－9时，x＝8，‎ ‎∴P点的坐标为（－10，9）或（8，－9）．‎ ‎【解后反思】本题主要考查反比例函数和一次函数解析式的求法．反比例中需要知道一个点的坐标，而一次函数中需要知道两个点的坐标．而在计算面积的时候，容易出现的错误，是将点的坐标和线段长混淆，容易造成丢解的错误． 【关键词】反比例函数的表达式；一次函数的表达式；正方形的性质；梯形、三角形的面积；数形结合思想 ‎4. .(2016山东威海，23，10)(10分)如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1).‎ ‎(1)求反比例函数与一次函数的表达式；‎ ‎(2)E为y轴上的一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标.‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】(1)根据反比例函数图像上点A坐标确定其表达式，再确定点A的坐标，并应用点A、B的坐标确定一次函数的表达式；(2) △AEB的面积可以看成是都以PE为底边的△BEP与△AEP的面积差，建立关于点E纵坐标的方程求得结果。‎ ‎【详细解答】解：(1)把点A(2，6)代入 = ，得m=12，∴ .‎ 把点B(n，1)代入，得n=12，∴ 点B的坐标为(12，1).‎ 由直线y=kx+b过点A(2，6)，点B(12，1)，得 2k+b=6， 解得 k=，‎ ‎ 12k+b=1， b=7.‎ ‎∴ 所求一次函数的表达式为；‎ ‎(2)如图，设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为(0，m)，连接AE，BE.‎ ‎∴ 点P的坐标为(0，7)，∴ PE=.‎ ‎∵ S△AEB=S△BEP-S△AEP=5，∴ ××(12-2)=5，‎ ‎∴　=1，∴ m１=6，m２=8，∴ 点E的坐标为(0，6)或(0，8).‎ ‎【解后反思】求函数解析式一般采用待定系数法进行解答，一次函数的解析式需要找到直线上两个点的坐标代入求值，反比例函数只需要求得一个点的坐标代入即可.‎ ‎【关键词】反比例函数表达式；一次函数的表达式；待定系数法；数形结合思想 ‎5. （ 2016山东省枣庄市，22，8分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上一动点(F不与A，B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 重合)，过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．‎ ‎⑴当F为AB的中点时，求该函数的解析式；‎ ‎⑵当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？‎ x y O E B F A C ‎【逐步提示】本题考查了反比例函数解析式求法及二次函数的最值问题，解题的关键是抓住函数图象过E、F两点，从这两点入手解决实际问题．⑴根据F为AB的中点，求出点F的坐标，代入反比例函数解析式中，即可求解；⑵根据E，F分别在BC、AB上，把E，F的坐标表示出来(用含k的式子)，根据S△EFA＝AF·BE列出函数关系式，即可求值．‎ ‎【详细解答】解：⑴在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B(3，2) ．‎ ‎∵F为AB的中点，∴F(3，1) ．‎ ‎∵点F在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，‎ ‎∴该函数的解析式为y＝．‎ ‎⑵ 由题意，知E，F两点坐标分别为E(，2)，F(3，)，‎ ‎∴S△EFA＝AF·BE＝×(3－)＝－k2＋k＝－(k－3)2＋，‎ 所以当k＝3时，S有最大值，S最大值＝．‎ ‎【解后反思】⑴求函数解析式一般采用待定系数法进行解答，一次函数的解析式需要找到直线上两个点的坐标代入求值，反比例函数只需要求得一个点的坐标代入即可．⑵求解三角形面积时，可以找到对应三角形的底和高，利用三角形的面积公式去求解．对应的底的长与高的长度可利用点到点的距离或者点到线的距离去求．⑶二次函数y=ax2+bx+c中，当a＞0且x＝－时，二次函数有最小值；当a＜0且x＝－时，二次函数有最大值．‎ ‎【关键词】反比例函数的表达式；三角形的面积 ；二次函数的性质；方程与函数思想；‎ ‎6.(2016新疆，21，分)如图，直线y=2x+3与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为(1，0)．‎ ‎(1)求反比例函数的解析式； ‎ ‎(2)点D(a，1)是反比例函数图像上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题及依据轴对称性质求最短路线问题，解题的关键是待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及理解最短路线问题．‎ 解题的步骤是：(1)先根据直线y=2x+3求出点B坐标，再利用待定系数法可求得反比例函数解析式；(2)先根据反比例函数解析式求出点D 的坐标，若要在x轴上找一点P，使PB+PD最小，可作点D关于x的轴的对称点D′，连接BD′，直线BD′与x轴的交点即为所求点P．‎ ‎【解析】(1)∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)，∴在直线y=2x+3中，当x=1时，y=2+3=5，∴点B的坐标为(1，5)，又∵点B(1，5)在反比例函数y=上，‎ ‎∴k=1×5=5，∴反比例函数的解析式为：y=；‎ ‎(2)将点D(a，1)代入y=，得：a=5，∴点D坐标为(5，1)‎ 设点D(5，1)关于x轴的对称点为D′(5，﹣1)，过点B(1，5)、点D′(5，﹣1)的直线解析式为：y=kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y=﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y=0时，得：﹣x+=0，解得：x=，故点P的坐标为(，0)．‎ ‎【解后反思】1.已知点在函数图象上，那么这点一定满足其函数解析式，反之也成立；理解反比例函数与一次函数的交点意义：交点坐标同时满足两个函数解析式.‎ ‎2. 针对最短路线问题，在直线L上的同侧有两个点A．B，在直线L上有到A．B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．‎ ‎【关键词】反比例函数 ；反比例函数的表达式；一次函数的图像；轴对称变换；在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标 ‎7. (2016浙江金华，21，8分)如图，直线与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数(k＞0)图象 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 交于点C,D,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E. ‎‎（第21题图）‎ A C D E B O x y ‎(1)求点A的坐标.‎ ‎(2)若AE=AC.‎ ‎①求k的值.‎ ‎②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由.‎ ‎【逐步提示】(1)求当y=0时x的值，即可得到点A的坐标 ‎(2)①过点C作CF⊥x轴于点F.根据三角函数的相关知识计算出点C的坐标，由C．E两点坐标及反比例函数性质建立方程，求得k值；②根据一次函数的解析式表示出点D的坐标，检验点D是否在反比例函数图象上，根据点E与点D的坐标特征判断此两点是否关于原点O成中心对称．‎ A C D E B O x y F ‎【解析】(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3. ‎ ‎∴点A的坐标为(3,0). ‎ ‎(2)①过点C作CF⊥x轴于点F. ‎ A C D E B O x y F ‎ 设AE=AC=t, 点E的坐标是. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 在Rt△AOB中， tan∠OAB=,∴∠OAB=30°.‎ ‎ 在Rt△ACF中，∠CAF=30°, ∴，‎ ‎∴点C的坐标是.‎ ‎ ∴, 解得(舍去)，. ‎ ‎ 所以，. ‎ ‎ ②点E的坐标为(3，2)，‎ ‎ 设点D的坐标是,‎ ‎ ∴，解得，,‎ ‎ ∴点D的坐标是, ‎ 所以，点E与点D关于原点O成中心对称. ‎ ‎【解后反思】已知一次函数的解析式可以求得直线与两坐标轴的交点坐标；函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可以用以检验一个点是否在函数的图象上；关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数．‎ ‎【关键词】一次函数；反比例函数；三角函数 ‎8. (2016浙江台州，21，10分)请用学过的方法研究一类新函数(k为常数，)的图象和性质．‎ （1） 在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；‎ （2） 对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【逐步提示】第(1)问是画图象，在不知道图象形状的情况下，那么就采用描点法来画图；‎ 第(2)问观察图象就可确定函数的增减性，不过，要注意对k情况的讨论，第(1)问的图象是k>0的情况.‎ ‎【解析】(1)函数图象如图所示，‎ ‎(2)若k>0，当x0时，y随x的增大而减小；‎ 若k