知识点017 二次函数概念、性质和图象2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016福建福州，11，3分）已知点A（－l，m），B ( l，m），C ( 2，m＋l）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是 x y O x y O x y O x y O ‎ A B C D ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了函数的图象．由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【详细解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故D错误，故答案为C .‎ ‎【解后反思】注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．‎ ‎【关键词】图像法；正比例函数的图像；反比函数的图像；二次函数的图像；‎ ‎2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，10，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90º，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反应y与x函数关系的图像是（ ）‎ ‎ ‎ 第10题图 A B C D ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查的知识点较多，主要有动态问题、等腰三角形的性质，分段函数和分类讨论的数学思想，解题的关键把整个运动过程分为两段，针对每一种情况求出函数表达式，值得注意的是点P是在一条折线上运动，当点P分别在边AB和边AC上时，情况是不一样的，所以应该分类讨论；其次，解决动态问题一个很重要的能力是把相关线段用含有x的代数式表示出来，然后构建方程或函数关系式； 【详细解答】解：①当点P在AB上时 即0＜x≤2，如图所示：‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°，∴∠B=45°，而PD⊥BC，∴∠PDB=90°，∴∠BPD=45°，∴PD=BD=x，∴，其中；‎ ‎②当点P在AC上时 即2＜x＜4，如图所示：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵△ABC是等腰直角三角形，且∠A=90°，∴∠C=45°，而PD⊥BC，∴∠PDC=90°，∴∠CPD=45°，∵BD=x，∴CD=4－x，∴，其中；‎ 综上所述：，再根据分段函数的图像可得B选项正确，‎ 故选择B . 【解后反思】在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面、全程的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，其次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是x=2，根据不同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间t或者自变量x的代数式表示出来，然后考虑构建方程、不等式或函数关系式； 【关键词】 等腰三角形的性质；二次函数；动态问题；分段函数；分类讨论；数形结合； ‎ ‎3. （2016甘肃兰州，8，4分）二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式，下列正确的是（ ）‎ A．y=(x-1)2+2 B．y=(x-1)2+‎3 C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-2)2+4‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】先将y=x2-2x+4中的右边前两项结合在一起，放在括号中，再在括号中加上x系数一半的平方，同时减去x系数一半的平方，最后把小括号里的前三项写成完全平方式，而小括号里最后一项则与括号外的常数项合并即得二次函数的顶点式. 【详细解答】解：y=x2-2x+4=( x2-2x) +4=( x2-2x+1-1)+4=(x-1)2－1＋4= y=(x-1)2+3 ，故选择B . 【解后反思】将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2＋k的方法：‎ ① 配方法：y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a[x2+x+()2－()2]+c= a(x+)2+‎ ‎= a[x－(-)]2+.‎ ‎②公式法：对照y=a(x－h)2＋k，这里h=－，k=.‎ ‎【关键词】二次函数解析式；二次函数的一般式与顶点式互化；配方法 ‎4. （2016甘肃兰州，11，4分）点P1(-1，yl)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+ c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）‎ ‎ A．y3>y2>y1 B．y3>y1=y‎2 C．y1>y2>y3 D．y1=y2>y3‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】先分别计算出自变量为-1，3和5的函数值，再比较函数值的大小.‎ ‎【详细解答】解：当x=-1时y1=-(-1)2+2(-1)+c=-3+c；当x=3时y2=-32+2×3+c=-3+c；当x=5时y3=-52+2×5+c=-15+c，因为-3+c=-3+c>-15+c，所以y1=y2>y3，故选择D . 【解后反思】抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种： ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小； ‎ ‎（2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；‎ ‎（3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小.‎ ‎【关键词】二次函数的图象上点的纵坐标比较大小；顶点式；对称轴 ‎5. （2016甘肃兰州，13，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1．有以下结论：①abc>0，②‎4ac2其中正确的结论的个数是（ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】先根据抛物线在坐标系中的位置，确定a、b、c的符号，再结合对称轴、特殊点、抛物线与x轴交点情况，可以逐项判断所给结论是否正确 . 【详细解答】解：根据抛物线的开口向下可知a＜0；根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a、b同号，则b＜0，且；根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c＞0.①∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0正确；‎ ‎②∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴b2－‎4ac>0，∴‎4ac2，∴a-b-c>2正确，故选择C . 【解后反思】解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x轴、y轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a、b、c关系，再结合对称轴x＝，确定a、b之间等量关系，判断与x轴交点情况则利用判别式b2－‎4ac．‎ ‎ 【关键词】 二次函数图像与性质 ‎6.（ 2016甘肃省天水市，10，4分）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上．开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）‎ x y O A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ A′‎ B′‎ B′‎ A′‎ ‎(C′)B A C C′‎ l ‎【答案】B ‎【逐步提示】这是一道动面问题，需要分段思考，求解关键是根据函数的表达方法（解析式法，列表法和图像法）之间的联系，先确定函数解析式，再选择图像 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．其中，在图形运动过程中，确定三种运动状态下的图形形态是重中之重．如图所示，观察图1～图7，当x＝1时，运动至图3位置；当x＝2时，运动至图5位置；当x＝3时，运动至图7位置．于是，确定三种运动状态：（1）当0≤x＜1；（2）当1≤x≤2；（3）当2＜x≤3．然后根据重合部分的图形形状（等边三角形），求出y关于x的函数关系式，再结合相应的函数性质讨论求解即可．‎ A′‎ B′‎ ‎(C′ )B A C l 图1‎ A′‎ B′‎ B C C′‎ l 图2‎ A′‎ B(B′ )‎ C C′‎ l 图3‎ A A A′‎ B C C′‎ l 图4‎ A B′‎ A′‎ B ‎(C′ )C l 图5‎ A B′‎ B′‎ A′‎ B A C C′‎ l 图6‎ A′‎ B A C(B′ )‎ 图7‎ C′‎ l ‎【详细解答】解：如图1，‎ A′‎ B′‎ B A C C′‎ l P 图1‎ 由平移知PB∥A′B′，PC′∥AC，‎ ‎∴∠PBC′＝∠A′B′C′，∠PC′B＝∠ACB．‎ 又△A′B′C′与△ABC都是等边三角形，‎ ‎∴∠A′B′C′＝60°，∠ACB＝60°．‎ ‎∴∠PBC′＝60°，∠PC′B＝60°．‎ ‎∴∠BPC′＝180°－∠PBC′－∠PC′B＝60°．‎ ‎∴△PBC′是等边三角形．‎ 同理，可知图2中的△PB′C也是等边三角形．‎ A′‎ B′‎ B′‎ A′‎ ‎(C′)B A C C′‎ l P 图2‎ 于是有：‎ ‎（1）当0≤x＜1时，BC′＝x，y＝BC′2＝x2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）当1≤x≤2时，重合部分的面积就是△A′B′C′的面积，y＝B′C′2＝．‎ ‎（3）当2＜x≤3时，B′C＝3－x，y＝(3－x)2，即y＝(x－3)2．‎ 综上，发现y关于x的函数图象由三部分组成，第一部分是抛物线y＝x2的对称轴右侧的部分图象，中间部分是直线y＝上的一部分，第三部分是抛物线y＝(x－3)2的对称轴左侧的部分图象，只有选项B符合要求，故选择B．‎ ‎【解后反思】解决动态图形问题，要能化动为静，再由静生动，动静结合思考问题．其中关键是确定图形变化联系瞬间的静态图形位置，从而得到分界点，然后再作动态思考，确定各种情况下的取值范围．最后求出各部分对应的函数关系式，运用函数的图像、性质分析作答．有时，直接根据各运动状态（如前后图形的对称状态带来函数图像的对称，前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等），就能求解．‎ ‎【关键词】等边三角形；二次函数的表达式；二次函数的图像；二次函数的性质；动面题型；分类讨论思想；数形结合思想．‎ ‎7. （2016广东省广州市，9，3分）对于二次函数y=x2＋x－4，下列说法正确的是（ ）‎ A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3‎ C．图象的顶点坐标为（－2，－7） D．图象与x轴有两个交点 ‎【答案】B ‎【逐步提示】通过配方或直接套用顶点公式计算出二次函数的对称轴，根据抛物线的开口方向与增减性可判断选项A是否正确；求出抛物线的顶点坐标，同时结合开口方向即可知选项B与C的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，通过计算判别式的大小，即可判断抛物线与x轴的交点情况，进而可判断选项D正确与否．‎ ‎【详细解答】解：二次函数y=x2＋x－4的对称轴为x=－=－=2，其顶点坐标为(2，－3)，显然选项C错误；∵a=＜0，∴抛物线开口向下，顶点为最高点，当x=2时，y有最大值－3；故选项B正确；由抛物线开口向下，对称轴为x=2可知，当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；一元二次方程x2＋x－4=0中，△=b2－‎4ac=1－4×()×(－4)=－3＜0，∴抛物线y=x2＋x－4与x轴没有交点，故选项D错误．故选择B． ‎ ‎【解后反思】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质：‎ a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最大(小)值 a＞0‎ 向上 直线 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大（左减右增）.‎ 当x=时，‎ y最小值=.‎ a＜0‎ 向下 直线 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小（左增右减）.‎ 当x=时，‎ y最大值=.‎ ‎（2）二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．‎ ‎【关键词】二次函数的图象和性质；二次函数与一元二次方程的关系 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8. （2016贵州省毕节市，14，3分）一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是（ 　 ）‎ x y O A x y O B x y O D x y O C ‎（第14题图）‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图像与解析式之间的关系．先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a的正负，再由抛物线的开口方向判断a的正负，若两者所得a的符号一致，则图象正确． 【详细解答】解：当x＝0时，都有y＝c，所以直线和抛物线都过点（0，c），排除A；对于B，由直线知a