知识点018 与二次函数有关代数方面应用2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016江苏省宿迁市，8，3分）若二次函数的图像经过点（－1，0），则方程的解为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】C ‎【逐步提示】先求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的轴对称性可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，两个交点的横坐标就是方程ax2－2ax+c=0的解， 【详细解答】‎ 解：抛物线的对称轴是：直线，又∵图象经过（－1，0），设另一个交点为(x2，0)，则，解得x2=3，因此图象与x轴的两个交点坐标分别为（－1，0），（3，0），∴方程ax2－2ax+c=0的解为－1，和3，故选择C． 【解后反思】二次函数的轴对称性是二次函数的重要特征；要熟练各种情况下对称轴的计算：‎ 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 对称轴：直线 顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0) 对称轴：直线x=h 交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 对称轴： 直线．‎ ‎ 在二次函数中，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标． ‎ ‎【关键词】 二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；数形结合思想；‎ 三、解答题 ‎1. （ 2016福建福州，27，13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）． ‎ ‎（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；‎ ‎（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．‎ ‎【逐步提示】本题综合考查了二次函数、反比例函数和不等式等知识，解题的关键是会用待定系数法解决问题．（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）由抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，抛物线y＝tx2（t≠0）经过A点，，把点的坐标代入函数表达式，列出方程组，消去k和h即可解决．（3）由点A在抛物线y＝x2－x上，得到，再由抛物线经过原点，得到利用反比例函数的性质，分类讨论可得答案. 【详细解答】解：根据题意，设抛物线的解析式为 ‎（1）∵‎ ‎∴‎ ‎ ∵抛物线经过原点，‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴即 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）∵抛物线经过点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵抛物线经过原点，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎（3）∵点在抛物线上，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∵抛物线经过原点，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 分两类讨论：‎ ‎①当-2≤h≤0时，由反比例函数性质可知 ‎∴；‎ ‎②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知＞1,‎ ‎∴＞0.‎ 综上所述，的取值范围是或＞0. ‎ ‎【解后反思】中考中在求函数解析式时，运用待定系数法．‎ ‎ 使用待定系数法解题的一般步骤是：‎ ‎(1)确定所求问题含待定系数的解析式；‎ ‎(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；‎ ‎(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．‎ 本题第（3）问也可以直接解不等式来解决.∵，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．‎ ‎【关键词】二次函数的表达式；分类讨论思想；数形结合思想；反比函数的性质；‎ ‎2. （ 2016甘肃省天水市，24，10分）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成 ，约定这批粽子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系．‎ ‎（1）（3分）李红第几天生产的粽子数量为260只？‎ ‎（2）（7分）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）‎ O x（天）‎ P（元/只）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎19‎ ‎【逐步提示】本题是分段函数应用题，考查了一次函数和二次函数在实际生活中的应用，需要利用一次函数和二次函数的增减性求最值，解题的关键是读懂题目信息，列出函数关系式．具体地，（1）把y＝260代入，解方程即可求得．（2）根据图像，运用待定系数法求得p与x之间的函数表达式，然后根据“利润＝出厂价－成本”得“w＝(4－p)×y”，分情况代入数或式整理即得w与x之间的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的增减性求解最大利润．‎ ‎【详细解答】解：（1）将y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝．‎ 此时，x值不满足0≤x≤5，故这种情况不存在．‎ ‎∴5＜x≤19时，则有20x＋60＝260，解得x＝10．‎ ‎∴李红第10天生产的粽子数量为260只．‎ ‎（2）由图可知p1＝2(0≤x≤9)．‎ 设p2＝kx＋b(9≤x≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得 ‎，解得．‎ ‎∴p2＝0.1x＋1.1(9≤x≤19)．‎ 当0≤x≤5时，w＝(4－2)×32x＝64x，由一次函数的性质，知当x＝5时，w最大＝320．‎ 当5＜x≤9时，w＝(4－2)×(20x＋60)＝40x＋120，由一次函数的性质，知当x＝9时，w最大＝480．‎ 当9＜x≤19时，w＝[4－(0.1x＋1.1)]×(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函数的性质，知当x＝13时，w最大＝512．‎ ‎∴w与x之间的函数表达式为，由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大利润是512元．‎ ‎【解后反思】此题第（1）问不难，难在解答第（2）问，需要分情况讨论．根据已知条件中的0≤x≤5，5＜x≤19，及由函数图像分析得出的0≤x≤9，9≤x≤19这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0≤x≤5，5＜x≤9，9＜x≤19这三种利润计算情况．‎ ‎【关键词】解一元一次方程；一次函数的图像与性质；实际问题；二次函数的表达式；二次函数的性质；分类讨论思想；数形结合思想；方程与函数思想；待定系数法；配方法．‎ ‎3. （2016广东省广州市，24，14分）已知抛物线y=mx2+(1－2m)x+1－3m与x轴相交于不同的两点A，B．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由．‎ ‎【逐步提示】（1）根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系，可直接求得m的取值范围；（2）抛物线过定点，也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m取值的影响，所以只要含m的项其和为0即可，这样先求得所过定点的横坐标x的值，然后再代入解析式计算纵坐标y的值，不在坐标轴上的点即为所求的点P；（3）△ABP的AB边上的高即为点P的纵坐标4，故在＜m≤8的范围内，求得线段AB的值，再利用三角形面积公式易于得到其最值，线段AB的值可通过解一元二次方程直接得到．‎ ‎【详细解答】解：（1）∵y=mx2+(1－2m)x+1－3m是二次函数，∴m≠0．∵抛物线与x轴相交于不同的两点，∴△=(1－2m)2－4m(1－3m)=16m2－8m+1=(4m－1)2＞0，∴4m－1≠0，解得m≠．‎ 综上可知，m的取值范围是m≠0，且m≠．‎ ‎（2）y=mx2+(1－2m)x+1－3m=mx2+x－2mx+1－3m=m(x2－2x－3)+x+1，故只要x2－2x－3=0，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点．解x2－2x－3=0，得x1=3，x2=－1．‎ 当x=3时，y=9m+3－6m+1－3m=4，即P(3，4)；‎ 当x=－1时，y=m－1+2m+1－3m=0，点(－1，0)是x轴上的一点，不合题意，舍去．‎ ‎∴该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，点P的坐标为(3，4)．‎ ‎（3））一元二次方程mx2+(1－2m)x+1－3m=0中，由求根公式，得 ‎∴x=，即x=，∴x1=3－，x2=－1．‎ 当＜m≤8时，3－＞－1，∴AB=3－－(－1)=4－；‎ S△ABP=×(4－)×4=2(4－)．‎ ‎∵＜m≤8，∴≤＜4， ‎ ‎∴当取最小值时，2(4－)有最大值，‎ 即△ABP的面积有最大值，此时m=8．‎ ‎【解后反思】（1）二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．‎ ‎（2）以形定数，抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根；以数定形，求出方程ax2+bx+c=0的两实根，便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．特别地，一元二次方程ax2+bx+c=m的解，即为二次函数y=ax2+bx+c当y=h时的两点的横坐标．‎ ‎（3）函数图象过定点问题，一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为0时，则函数值不受字母参数的影响，据此可求定点的坐标．‎ ‎（3）抛物线中三角形的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式确定最值．‎ 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键 ‎【关键词】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二次函数的解析式；二次函数的图象和性质；二次函数与一元二次方程的关系；解一元二次方程；一元二次方程根的判别式；点的坐标；完全平方式；三角形的面积 ‎4. （ 2016湖南省郴州市，26，12分）如图1，矩形ABCD中，AB＝‎7cm，AD＝‎4cm，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DF＝acm，点P从A点出发，沿AB边向点B以‎2cm／s的速度运动．连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为y．当0≤t≤1时，△PAE的面积y（）关于时间t（s）的函数图象如图2所示．连结PF，交CD于点H．‎ ‎ （1）t的取值范围为 ．AE＝ cm；‎ ‎ （2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM．当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；‎ ‎ （3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以‎1cm／s的速度运动．如果P、Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连结PQ、QH，若cm，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由． ‎ ‎【逐步提示】本题考查的是矩形为背景下的动点问题，翻折问题．解题的关键是巧妙的运用相似三角形，寻找线段间的数量关系和比例关系．（1）由于点P在AB边上运动，且速度为‎2cm／s，即0≤2t≤7，可以确定t的取值范围；结合0≤t≤1时，图2的函数图象，能得到y与t的函数关系式，因为，即y＝，可以求出AE的长．‎ ‎（2）将△HDF沿线段DF进行翻折，可得到HD＝DM，若四边形PAMH为菱形，则有AP＝AM＝MH＝2DM，因为AD＝4，∠ADM＝90°，由勾股定理可以求出DM，即可求出AP，又因为AP＝2t，即可列式求出t值．‎ ‎（3）因为△PQH若构成直角三角形，则可能有∠PQH＝90°，或∠PHQ＝90°，每种情况下都可构造“一线三等角”证明相似．由于Q比P晚走1s，所以EQ＝t－1，所以QD表示为4－t，因为知道cm，所以DH也可以用“A”字型相似表示出来，写出正确的比例式就可计算出每种情况下的t值了． ‎ ‎【详细解答】解：（1）∵P在边AB上运动，速度为‎2cm／s，∴0≤2t≤7，∴0≤t≤；‎ ‎ ∵由图2可得当0≤t≤1时，y＝t，∵，∴y＝，即t＝，∴AE＝1．‎ ‎（2）∵将△HDF沿线段DF进行翻折得到△MDF，∴HD＝DM＝，又∵四边形PAMH为菱形，∴AP＝AM＝MH＝2DM，∵AD＝4，∠ADM＝90°，∴在Rt△ADM中，，∴，∴DM＝，∴AP＝2t＝，‎ ‎∴t＝． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）∵P先出发1s后Q再从E出发，∴AP＝2t，EQ＝t－1，∴QD＝4－1－（t－1）＝4－t．∵四边形ABCD是矩形，AB∥CD，∴△FDH∽△FAP，∴，∴，‎ ‎∴．由题意可知，若△PQH为直角三角形，则有两种情况：∠PQH＝90°，或∠PHQ＝90°．当∠PQH＝90°时，∵∠A＝∠QDH＝90°，∴∠APQ＋∠AQP＝90°，∵∠AQP＋∠DQH＝90°，∴∠APQ＝∠DQH，∴△APQ∽△DQH，∴，∴，∴t＝2；．当∠PHQ＝90°时，过P作PM⊥CD于点M，同理可证△PMH∽△HDQ，∴‎ ‎，∵PM＝AD＝4，∴，解得．∴当t＝2或时△PQH为直角三角形．‎ ‎ 【解后反思】动点问题本身就是初中数学的一个难点，根据运动的路径判断取值范围较为常见，要认真审题，看在哪些线段上运动，由动点和函数结合的题，往往求出的解析式是分段函数．此题还体现了一线三等角的构造，这是解决相似三角形时常用的方法．体现了数学中的转化思想、分类讨论思想． 【关键词】 菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；动点题型 ‎5.‎ ‎6.‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ ‎11.‎ ‎12.‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎19.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20.‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎24.‎ ‎25.‎ ‎26.‎ ‎27.‎ ‎28.‎ ‎29.‎ ‎30.‎ ‎31.‎ ‎32.‎ ‎33.‎ ‎34.‎ ‎35.‎ ‎36.‎ ‎37.‎ ‎38.‎ ‎39. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费