知识点027 平行四边形2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1.‎ ‎（ 2016四川省广安市，8，3分）下列说法：‎ ‎①三角形的三条高一定都在三角形内；‎ ‎②有一个角是直角的四边形是矩形；‎ ‎③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎④两边及一角对应相等的两个三角形全等；‎ ‎⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．‎ 因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误． 【详细解答】解：只有③正确，故选择A. 【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：‎ 判断下列说法是否正确：‎ ‎（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.‎ 由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.‎ 所以DE＝AC＝AB，∠AED ＝∠C＝∠B.‎ 即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE和BD不平行也不相等）.‎ ‎（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.‎ 由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.‎ ‎ 【关键词】 中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定 ‎2. c（2016四川泸州，8，3分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）‎ A.10 B.14 C.20 D.22‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】首先根据平行四边形的对角线互相平分，求出AO+BO的长度，然后根据平行四边形对边相等这一性质求出AB的长，进而求出△ABO的周长. 【详细解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，AO=CO=AC,BO=DO=BD，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长=AO+BO+AB=8+6=14，故选择B . 【解后反思】平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的两组对边相等；平行四边形的两组对角相等. 【关键词】平行四边形的性质 ‎3. （ 2016四川省绵阳市，7，3分）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 （　　）‎ A．3cm B．4cm C．5m D．8cm ‎【答案】B．‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质．由□ABCD的周长是26cm，得到□ABCD两邻边的和，即为AD＋AB＝13；由△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，得到□ABCD两邻边的差，即AD－AB＝3．联立方程组解得BC＝8．最后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AE长．‎ ‎【详细解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC．因为□ABCD的周长是26cm，所以AD＝BC且AB＋BC＝13①．因为△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，所以AD－AB＝3，即BC－AB＝3②．①＋②，得2BC＝16，所以BC＝8．因为AC⊥AB，所以∠BAC＝90°，又因为E是BC中点，所以AE＝BC＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎×8＝4．，故选择B．‎ ‎【解后反思】（1）在直角三角形中出现斜边中点时，一般利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求斜边上的中线长．（2）平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．‎ ‎4. （2016山东菏泽，6，3分）在□ABCD中，AB=3，BC=4，当□ABCD的面积最大时，下列结论①AC=5；②∠A＋∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD，正确的有（ ）‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】结合已知条件先判断当□ABCD的面积最大时，它的形状为矩形，然后再利用矩形的性质，及正方形的判定与性质逐一对各选项作出判断，获取正确答案．‎ ‎【详细解答】解：根据平行四边形的面积公式及“垂线段最短”的性质可知，当其面积最大时，其一边上的高与邻边重合，即其形状为矩形．此时，AC===5，故①正确；∠A=∠C=90°，∴∠A＋∠C=180°，故②正确；若AC⊥BD，则此矩形又为正方形，有AB=BC，显然不符合题意，故③错误；根据矩形的对角线相等的性质，可知AC=BD，故④正确，综上可知，①②④正确，故选择B． ‎ ‎【解后反思】（1）特殊四边形、全等三角形、直角三角形及等腰三角形的性质是证明线段相等与角相等的重要依据，联想相关性质与判定定理并能有机地进行融合应用是沟通几何解证思路的重要途径．另外，方程模型在几何计算求值问题中应用较广，应予以关注．‎ ‎（2）“两点之间，线段最短”（或三角形的三边关系定理），“垂线段最短”是解决有关几何最值问题的常用依据．‎ ‎【关键词】平行四边形的面积；垂线段最短；矩形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质 ‎5 （ 2016山东泰安，7，3分）如图，在中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ 第7题图 A B C D E F ‎【答案】C ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的性质及判定，熟练运用相关知识是解题的关键．利用角平分线的定义和平行线的性质，可以得到线段BC和BF的关系；AE与AF的关系．再根据已知提供的数据即可求得． 【详细解答】解：∵四边形ABCD是，AB∥CD，AD∥BC，∴∠F＝∠FCD，∠AEF＝∠BCF，∵CE平分∠BCD，∴∠BCF＝∠FCD，∴∠F＝∠BCF，∠F＝∠AEF．‎ ‎∴BF＝BC＝8，AE＝AF，∵AB＝6，∴AF＝BF－AB＝8－6＝2，∴AE＝AF＝2，∴AE＋AF＝4，故选择C . 【解后反思】平行四边形的定义：两组对边分别平行．平行线的性质：两直线平行，内错角相等（同位角相等）；一般角平分线与平行条件相结合，图形中必然会出现等腰三角形． 【关键词】 平行四边形；平行线的性质；角平分线的定义．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6. （2016山东淄博，7，4分）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影的面积是（ ）‎ A. 3 B. 4‎ C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查三角形的面积的计算，平行四边形的性质，及整体思想，解题关键是能整体求解. 这里两阴影部分以公共边GH为底，则高的和=△ABC的BC边的高. 【详细解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2．‎ S△ABC=BC•h=16，‎ S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+ GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．‎ ‎∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，‎ ‎∴GH=BD=BC.‎ ‎∴S阴影= ×（BC•h）= S△ABC=4．故选择B 【解后反思】具有整体思想，发现两阴影面积的高的和与△ABC的高的关系是解题关键.‎ ‎【关键词】三角形的面积，平行四边形的性质，整体思想 ‎ ‎ 二、填空题 ‎1. （2016山东东营，14，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是___________________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【逐步提示】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短等． 【详细解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD．由平行线间的距离处处相等，垂线段最短可知，当DE⊥BC时，DE的值最小，此时DE=AB=4．故答案为4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【解后反思】线段最短的考虑思路：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③线段和最短一般考虑轴对称． 【关键词】平行线的性质；垂线段最短 ‎2. (2016新疆，15，5分)如图，在中，P是CD边上一点，且AP、BP分别平分∠DAB．∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是________.‎ D C A P B ‎【答案】24‎ ‎【逐步提示】：本题考查了平行四边形和等腰三角形等知识，解题的关键是平行四边形的性质和等腰三角形判定的综合运用．根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB，由平行和角一部分线得到AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，求出BP的长，从而得到△APB的周长．‎ ‎【解析】(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)=90°，∴在△APB中，∠APB=180﹣(∠PAB+∠PBA)=90°，∵AP平分∠DAB且AB∥CD，∴∠DAP=∠PAB=∠DPA，∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5同理：PC=CB=5即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长是6+8+10=24，故答案为24 .‎ ‎【解后反思】本题中含有两个基本模型：一是两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直；二是角平分线+平行线→等腰三角形.‎ ‎【关键词】四边形；平行四边形；平行四边形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理 ‎(2016浙江金华，14，4分)如图,已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是 . ‎ ‎ ‎ ‎【答案】80°‎ ‎【逐步提示】延长DE交AB于F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定∠AED的度数．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】延长DE交AB于F，因为AB∥CD，BC∥DE，所以四边形BCDF为平行四边形，因为∠C＝120°，所以∠BFD＝120°，所以∠AFD＝60°，又∠A＝20°，所以∠AED＝60°+20°＝80°，故答案为80° .‎ ‎【解后反思】解决此问题的关键在于构造△AFE，从而将已知条件转化到同一个图形中，进而解决问题．‎ ‎【关键词】平行四边形的性质；三角形的外角和 ‎3. （ 2016四川省巴中市，17，3分）如图，□ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是 .‎ ‎【答案】1＜a＜7.‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质、三角形三边之间的关系， 解题关键是根据平行四边的性质，把AC、BD、AD转化到同一三角形中，然后根据三角形三边之间的关系使问题获解. 【详细解答】解：□ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA=OC=4，OB=OD=3，在△OAD中，OA-OD＜AD＜OA+OD，即1＜a＜7，故答案为1＜a＜7.‎ ‎ 【解后反思】平行四边形的性质有对边平行，对边相等，对角线互相平分；三角形三边之间的关系为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.不会根据平行四边形的性质把AC、BD、AD转化到同一三角形中，或忘记了三角形三边之间的关系，都会导致问题无法获解. 【关键词】平行四边形的性质；三角形三边的关系；化归思想；‎ 三、解答题 ‎1. ．（2016山东菏泽，19，7分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． ‎ ‎（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；‎ ‎（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．‎ M ‎ ‎【逐步提示】（1）△ABC与△OBC有公共边BC，根据三角形的中位线定理，可得DG与EF平行且相等，故 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 四边形DEFG是平行四边形；（2）易证∠BOC=90°，则△OEF是直角三角形，OM是其斜边的中线，故此可求EF的长，即为DG的长度．‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：∵点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点，‎ ‎∴DG为△ABC的中位线，EF为△OBC的中位线，‎ ‎∴DG∥BC且DG=BC，EF∥BC且EF=BC，‎ ‎∴DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形．‎ ‎（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，∴△OBC是直角三角形，∠BOC=90°．‎ ‎∵M为EF的中点，∴OM为Rt△OEF斜边的中线，‎ ‎∴EF=2OM=2×3=6，∴DG=EF=6．‎ ‎【解后反思】（1）当两个三角形有一条公共边时，则它们所对的三角形的中位线相等且平行．当两个直角三角形有公共的斜边时，则它们斜边上的中线相等．‎ ‎（2）平行四边形的判定方法，可分别从边、角、对角线等不同角度去理解与记忆，应用时可根据具体条件灵活选择．‎ ‎【关键词】三角形的中位线定理；平行四边形的判定；余角；直角三角形的判定与性质 ‎2. （ 2016山东青岛，21，8分）已知：如图，在□ABCD中，E, F分别是边AD,BC 上的点，且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G ,H，交BD于点 O.‎ ‎(1 )求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎(2 )连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由.‎ ‎【逐步提示】（1）已知AE=CF，再根据“平行四边形对边相等，对角相等”可得到AB=CD，∠BAE=∠DCF，根据“SAS”即可证明△ABE≌△CDF；（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易证得四边形BEDF是平行四边形，从而得到BO=DO，若DG=BG，则GO是等腰三角形BGD底边上的中线，根据“三线合一”可得GO⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形BEDF是菱形.‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，∠BAE=∠DCF.‎ 又∵AE=CF，∴△BAE≌△DCF.‎ ‎（2）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC.‎ ‎∵AE=CF，∴DE=BF.‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎∴BO=DO.‎ 在△BGD中，∵BG=DG，BO=DO，∴GO⊥BD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴四边形BEDF是菱形.‎ ‎ 【解后反思】1. 三角形全等的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形).‎ ‎2.平行四边形性质： ①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两条对角线互相平分；④平行四边形对角相等，邻角互补；⑤平行四边形是中心对称图形．‎ ‎3.平行四边形判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．‎ ‎4.要判定一个四边形是菱形，有两种思路：①直接说明这个四边形的四条边相等；②先判定它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或对角线互相垂直. 【关键词】 全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；等腰三角形的性质；菱形的判定 ‎3. (2016新疆，19，10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．‎ 求证：四边形ABCD是平行四边．‎ A D F E C B ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC．由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．‎ ‎【详细解答】解证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠CFB=90°，∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB，‎ ‎∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎【解后反思】证明一个四边形是平行四边形的方法很多，可以分别从边、角、对角线三个方面找关系：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分.结合图形和已知条件，构建全等三角形，很容易找到解题的方向．‎ ‎【关键词】四边形 ；平行四边形；平行四边形的判定；三角形全等的识别；全等三角形的性质 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. (2016浙江舟山，22，10分)如图1，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB．BC．CD．DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：‎ ‎(1)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是BC．CD．DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；‎ ‎(2)如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A．C．B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC．CD．DA的中点F、G、H组成正方形CFGH；‎ ‎(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意正确作出图形.(1)连结BD，注意到CH、FG分别为△ABD．△CBD的中位线，根据三角形中位线定理可证出CH∥FG且CH=FG，由平行四边形的判定方法可说明四边形CFGH是平行四边形；(2)由于点F是BC的中点，可以先确定它的位置，即正方形CFGH的边长CF就能确定下来，从图2得到启发，正方形CFGH的另一边长FG⊥AB，且是△CBD的中位线，即FG∥BD，结合AB在网格中的倾斜程度“横2竖4”(或“横1竖2”)，可得BD在网格中的倾斜程度“横2竖1”，由此可确定点D的位置；(3)根据勾股定理先求出BD的长度，注意到正方形CFGH的边长FG是△CBD的中位线，结合三角形中位线定理可以求出FG的长度.‎ ‎【解析】(1)如图2，连结BD，∵C．H是AB．AD的中点，‎ ‎∴CH为△ABD的中位线，‎ ‎∴CH∥BD且CH=BD，‎ 同理：FG∥BD且FG=BD，‎ ‎∴CH∥FG且CH=FG，‎ ‎∴四边形CFGH是平行四边形.‎ ‎(2)点D的位置如图3.(只需作出D点即可)‎ ‎(3)如图3，∵BD=，∴FG=BD=，‎ ‎∴正方形CFGH的边长为.‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图2 图3‎ ‎【解后反思】本题以“三角形的中位线定理”为核心考查知识点，巧妙贯穿于阅读材料、以及第(1)、(2)、(3)题的解答过程之中，本题的难点是第(2)题中格点D的位置的确定，化解该难点的方法是一方面关注图2、图3之间的联系与区别，另一方面关注网格中“横a竖b”与“横b竖a”两直线间的垂直关系.‎ ‎【关键词】平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的判定；勾股定理 ‎ ‎ ‎5. 2016四川省巴中市，24，7分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD，连结CE，求证CE平分∠BCD.‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、性质及平行线的性质.由□ABCD，得对边相等，对边平行，把等式AE+CD=AD，等量代换可得BE=BC，则△BCE为等腰三角形，从而得到∠BCE=∠E，再由两直线平行，内错角相等，等量代换可使问题得证.‎ ‎【详细解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB，AD=BC，BE∥CD，‎ ‎∵AE+CD=AD，‎ ‎∴AE+AB=BC，即BE=BC，∴∠BCE=∠E，‎ ‎∵BE∥CD，∴∠ECD=∠E，‎ ‎∴∠BCE=∠ECD，∴CE平分∠BCD.‎ ‎【解后反思】解题关键是根据平行四边形性质，通过线段转移构等腰三角形，从而实现角的相等. 四边形的性质一览表：‎ 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称 中心对称 菱形 对边平行，四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 轴对称 中心对称 正方形 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称 中心对称 等腰梯形 两底平行，两腰相等 同一底上的两个角相等 两条对角线相等 轴对称 ‎【关键词】平行四边形的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质；‎ ‎6. （ 2016四川省凉山州，20，8分）如图，的对角线、交于点， 过点且与、分别交于点、。试猜想线段、的关系，并说明理由。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A B C E D F O ‎（第20题图）‎ ‎【逐步提示】根据平行四边形的性质得到OA与OC相等，AD∥BC，进而有∠AFE与∠CEF相等，再结合对顶角得出△AOF与△COE全等，得到OE与OF相等，再证明△AOE与△COF全等，从而得到AE与CF的关系.‎ ‎【详细解答】解：AE=CF.‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF；‎ 在△AOF和△COE中 ，∴△AOF≌△COE（AAS），∴OF=OE；‎ 在△AOE和△COF中 ，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF.‎ ‎【解后反思】本题解答的方法还有很多，例如可以通过证明△ABE≌△CDF来证明AE=CF.但是几乎所有方法都需要运用三角形全等，这就需要对三角形全等的条件和三角形全等的性质能够熟练应用.‎ ‎【关键词】平行四边形的性质；三角形全等的判定；三角形全等的性质 ‎7. （2016四川省雅安市，22，10分）巳知Rt△ABC中，∠B =90°，AC = 20，AB= 10, P是边AC上一点(不包括端点 A、C)，过点 P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交 AB 于点F，设PC =x，PE =y. ‎ ‎(1)求y与x 的函数关系；‎ ‎(2)是否存在点 P使△PEF是Rt△，若存在，求此时的x的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行四边形、矩形的性质和判定、锐角三角函数的定义、分类讨论思想，解题的关键是掌握存在性问题的解题思路以及分类讨论思想．‎ ‎(1)由已知条件可得∠C=30°，在Rt△PEC中，根据锐角三角函数的定义可求得y与x 的函数关系；（2）分三种情况：①∠FPE = 90°；②∠PFE=90°；③∠PEF = 90°，对每一种情况分别求解x即可. 【详细解答】解：(1) 在Rt△ABC中，∠B =90°，AC = 20，AB= 10,‎ ‎ ∴sinC=,∴∠C=30°,∠A=60°,‎ 又∵PE⊥BC于点E ‎∴sinC =‎ ‎∵PC =x，PE =y,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴(0