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阶段检测5 三角形
一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)
1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
2．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短
第2题图 第3题图 第5题图 第6题图
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
4．已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝∠C，那么△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
5．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m－n等于( )
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．50° B．100° C．120° D．130°
7．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
A. B. C. D.
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第7题图 第8题图
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
10． 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( )
第10题图
A．86 B．64 C．54 D．48
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝75°，则∠PNM等于 度．
12．若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为 cm. 13．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，
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它的题意可以由图获得，则井深为____________________尺．
第11题图 第13题图 第14题图
14．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是 度．
第15题图 第16题图
15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.
其中所有正确结论的序号是 .
16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ .
三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)
17．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
第17题图
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(1)求证：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
18．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
第18题图
(1)求证：BD＝CE；
(2)求证：∠M＝∠N.
19．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD.垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
第19题图
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20．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
第20题图
21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
第21题图
22． 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
第22题图
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
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23．在等边△ABC中，
第23题图
(1)如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连结AM，PM.
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．
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24．如图，△ABC中，AB＝AC，点P是三角形右外一点，且∠APB＝∠ABC.
第24题图
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA＝2，求PB的长；
(2)如图2，若∠BAC＝60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
(3)如图3，若∠BAC＝120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．
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参考答案
阶段检测5 三角形
一、1—5.DDDAB 6—10.BBDAC
二、11.30 12.2 13.57.5 14.90 15.①②③ 16.9
三、17.(1)略； (2)∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∵AB＝CF，∠B＝30°，∴AB＝BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D＝∠A＝×(180°－30°)＝75°.
18．(1)略； (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由(1)得：△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N.
19．∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(m)．
20．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝＝＝2.
21．(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB(AAS)； (2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∴AF＝2CD.
22.
第22题图
如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解之得：x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
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23.(1)∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP＋∠B＝80°； (2)①如图所示；②如想法1：∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP＋∠PAC＝∠MAC＋∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM.
第23题图
24.(1)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠APB＝∠ABC，∴∠APB＝60°，又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∠ABP＝30°，∴∠PAB＝90°，∴BP＝2AP，∵AP＝2，∴BP＝4； (2)结论：PA＋PC＝PB.证明：如图1，在BP上截取PD，使PD＝PA，连结AD，∵∠APB＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠1＝∠2，PA＝AD，又AB＝AC，∴△ABD≌△ACP，∴PC＝BD，∴PA＋PC＝PB；(3)结论：PA＋PC＝PB.证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连结AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，∴AP＝AD，∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，∴∠APB＝30°，∴∠DAP＝120°，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴△ABD≌△ACP，∴BD＝PC，∵AF⊥PD，∴PF＝AP，∴PD＝AP，∴PA＋PC＝PB.
第24题图
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