知识点033 直线与圆的位置关系2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. (2016浙江衢州，9，3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C.　　　　　　　　D. ‎ O E C B A ‎【答案】A.‎ ‎【逐步提示】要求sin∠E的值，可寻求直角三角形，或求得∠E的大小即可，于是由EC是⊙O的切线，此时可连接OC，得到OE⊥CE，即△ECO是直角三角形，且∠ECO＝90°，又由OA＝OC，∠A＝30°，得到∠EOC＝60°，从而有∠E＝30°，进而求解.‎ ‎【解析】连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OE⊥CE，即△ECO是直角三角形，且∠ECO＝90°，又∵OA＝OC，∠A＝30°，∴∠EOC＝60°，即∠E＝30°，∴sin∠E＝sin∠30°＝，故选择A.‎ ‎【解后反思】利用圆的切线性质求得∠E的大小是求解问题的关键.‎ ‎【关键词】圆的切线、锐角三角函数 ‎(2016浙江台州，10，4分)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是(　　 )‎ A．6　 B．　 C．9　 D．‎ A B C O P Q 第10题 ‎【答案】C ‎【逐步提示】第一步：不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法都是把不在圆上的那个点和圆心相连接画直线，那么与圆会有两个交点，如图1，PB的长度就是最短离，PC的长度就是最长距离.本题中P、Q都是动点，通过观察可以判断当P与B重合，如图2的位置，PQ最长，如图3，过点O，作OP⊥BC时，PQ最短.第二步：在图2中，先求出OB的长度，作OM⊥AC，利用中位线的性质，求出OM的长度，就求出了圆的半径,由PQ＝OB＋OQ即可算出PQ的最长长度；在图3中，连接OC，由等腰三角形三线合一，可以求出BP的长度，再由勾股定理求出OP的长度，由PQ＝OP–OQ即可算出PQ的最短长度；把两者相加，就求出了PQ长的最大值与最小值的和.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 M Q O A B C ‎(P)‎ 图2‎ Q O A B C P 图3‎ ‎【解析】 如图2，当P与B重合时，作射线PO交半圆于点Q，则PQ最长，‎ 作OM⊥AC，‎ ‎∵△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，‎ ‎∴OM// BC ‎∵O是AB中点，‎ ‎∴OM＝3，OB＝5，‎ ‎∴最长PQ＝8，‎ 如图3，作OP⊥BC，PQ最短 连接OC， ‎ ‎∵Rt△ABC，O是AB中点，AB＝10，‎ ‎∴OC＝OB＝5，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴最短PQ＝OP–OQ＝4–3＝1，‎ ‎∴8＋1＝9.‎ 故答案为C . ‎ M Q O A B C ‎(P)‎ 图2‎ Q O A B C P 图3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】构图能力很重要，只有熟练掌握不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法，才能想到怎么去画图，这是解这一题的基础，把图想好了，下面的解题都不难了.‎ ‎【关键词】点和圆的位置关系 ；中位线；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；‎ 二、填空题 ‎1. （ 2016山东泰安，22，3分）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B＝30°，则线段AE的长为 . ‎ O A E D B C 第22题图 ‎【逐步提示】本题考查了切线的性质及解直角三角形，解题的关键是利用切线的性质构造直角三角形求解．连接OD，因为AB切⊙O于D，所以OD⊥AB，又知道半径为3，∠B＝30 °，所以∠DOC＝60 °，OB＝2OD，所以△COD为等边三角形，∠OCD＝60 °，然后在Rt△AOB中利用tan30°＝求出OA，在Rt△COE中利用tan60°＝求出OE，OE－OA即为AE． 【详细解答】解：连接OD，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵∠B＝30 °，OD＝3，∴OB＝2OD＝6，∠DOC＝60 °，∵OD＝OC，∴△COD为等边三角形，∴∠OCD＝60 °，‎ 在Rt△AOB，tanB＝，∴，∴OA＝，在Rt△COE中，tan∠OCE＝，‎ ‎∴，∴OE＝．∴AE＝OE－OA＝－＝． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 O A E D B C 第22题图 ‎ 【解后反思】解答本题时易出现以下错误：利用特殊角的锐角三角函数值计算时出现错误，一定要熟记特殊角的三角函数值．‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sinα cosα tanα ‎1‎ ‎【关键词】 切线的性质；特殊角三角函数值的运用．‎ ‎2. （2016山东淄博，17，4分）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4．有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【逐步提示】本题考查切线的性质，菱形，解直角三角形，解题关键是掌握相关图形的性质，并能灵活添加辅助线. 先画出符合题意的图形，再添加辅助线求解即可. 过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，过点A作AG⊥l于G. 根据题意求出EF的长，得到AG的长，最后利用三角函数计算即可．‎ ‎【详细解答】解：过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，过点A作AG⊥l于G，‎ 由题意得，EF=2+4=6.‎ ‎∵四边形AGFE为矩形，∴AG=EF=6.‎ 在Rt△ABG中，AB= ==．故填.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎【解后反思】本题考查切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．‎ ‎【关键词】切线的性质，菱形，解直角三角形.‎ ‎3. （ 2016四川泸州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,0），B（1-a,0）,C(1+a，0)(a＞0)，点P在以D（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【逐步提示】连接AD并延长交⊙D与点P，则此时a的值最大.然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及勾股定理的知识求出AP的长，从而求出a的最大值. 【详细解答】解：如图：连接AD并延长交⊙D与点P，过点D作DE⊥x轴，则DE=4，AE=3，所以AD=5，所以AP=6，又因为点A是BC的中点，且∠BPC=90°所以AP=AC=AB=6,所以OC=7,又因为点C（1+a，0），所以1+a=7，所以a=6，故答案为6.‎ ‎ 【解后反思】确定出点P在什么位置时a的值最大是解决本题的关键.由于直接三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以当AP最大时，a的值最大，从而确定出点P的位置. 【关键词】直角三角形斜边的中线等于斜边的一般；勾股定理；直线和圆的位置关系 三、解答题 ‎1. ．（2016山东东营，21，8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．‎ ‎(1)求证：AB是圆的切线；‎ ‎(2)若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=，AB∶BC=2∶3，求圆的直径．‎ ‎【逐步提示】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)由圆周角定理的推论得出∠ACB+∠DBC=90°，再由∠ABD=∠ACB，等量代换得出AB⊥BC，即AB是圆的切线．(2)在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再由AB∶BC=2∶3，求出BC的长，即圆的直径．‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：∵BC是直径，‎ ‎∴∠BDC=90º，‎ ‎∴∠ACB+∠DBC=90º，‎ 又∵∠ABD=∠ACB，‎ ‎∴∠ABD+∠DBC=90º，‎ ‎∴AB⊥BC， …………………………………………3分 又∵点B在圆上，‎ ‎∴AB是圆的切线. ……………………………………………..4分 ‎（2）解：在Rt△AEB中，tan∠AEB=，‎ ‎∴，即AB=BE=×4=，……………………………………………………6分 在Rt△ABC中，，∴BC=, …………………………………7分 ‎∴圆的直径为10. …………………………………………………………………………….8分 ‎【解后反思】解决与圆有关的问题，要充分关注与圆有关的条件带来的结论．常见的有以下几种：‎ 由弧的中点想到垂径定理 连半径，同圆或等圆的半径均相等 直径所对的圆周角是直角 由弧相等想到对应的弦相等 过切点的直径(半径)垂直于切线 由直径、切线得到的两个直角想到相似三角形、面积法等 ‎ 【关键词】切线的判定；锐角三角函数 ‎2. （2016山东菏泽，21，10分）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PC＝3，PF＝1，求AB的长．‎ O ‎ A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎【逐步提示】（1）由于点C在⊙O上，故连结OC，只需证明OC⊥PC，这可通过角的等量转换，借助∠A＋∠AED=90°得到；（2）在Rt△OCP中利用勾股定理先求半径OC的长，进而可得直径AB的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：如图，连结OC． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵直角△ABC内接于⊙O，∴圆心O是斜边AB的中点．‎ ‎∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．‎ ‎∵PD⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°．‎ 又∵∠ECP=∠AED，∴∠A＋∠ECP=90°，∴∠OCA＋∠ECP=90°，即∠OCP=90°．‎ ‎∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．‎ O ‎ A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为r，由（1）得OC⊥PC，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得 OC2＋PC2=OP2，即r2＋32=( r＋1)2，解得r=4．‎ ‎∴直径AB的长为8．‎ ‎【解后反思】（1）判定圆的切线的方法有：①直线与圆只有一个公共点；②若已知直线与圆有公共点，则连结过该点的半径，证明这条半径与直线垂直；③若题意没有说明直线与圆有公共点，那么过圆心作该直线的垂线段，证明它等于半径．‎ ‎（2）相似三角形、勾股定理，等腰三角形，特殊四边形，锐角三角形函数等知识常融于圆中进行综合应用，证明角或线段相等以及求值问题，因此，遇到该类问题，多注意探究图形里面所蕴含的相似三角形与直角三角形，利用方程思想，联想相关知识则助于解证思路的沟通．‎ ‎【关键词】切线的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质；解一元一次方程；方程思想 ‎3. (2016山东威海，22，9)(9分)如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，F为OC与⊙O的交点，连接AF.‎ ‎(1)求证：CB是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积.‎ 第22题图 第22题图 ‎【逐步提示】(1)连接OD，可证得∠CBO=∠CDO=90°，则OB⊥BC，从而说明CB是⊙O的切线；(2)OD、AF交于点G，把图中阴影部分的面积通过“割”、“补”，使其转化规则图形。‎ ‎【详细解答】解：(1)如图，连接OD，与AF相交于点G.‎ ‎∵ CE与⊙O相切于点D，∴ OD⊥CE，∴ ∠CDO=90°.‎ ‎∵ AD∥OC，∴ ∠ADO=∠1，∠DAO=∠2.‎ ‎∵ OA=OD，∴ ∠ADO=∠DAO，∴ ∠1=∠2.‎ 在△CDO和△CBO中，∵ OD=OB，∠1=∠2，OC=OC，∴ △CDO≌△CBO.‎ ‎∴ ∠CBO=∠CDO=90°，即OB⊥BC，∴ CB是⊙O的切线；‎ ‎(2)由(1)得，△CDO≌△CBO，∴ ∠3=∠OCB，∠1=∠2.‎ ‎∵ ∠ECB=60°，∴ ∠3=∠ECB=30°.∴ ∠1=∠2=60°.∴ ∠4=60°.‎ ‎∵ OA=OD，∴ △OAD为等边三角形.∴ AD=OD=OF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由(1)得，∠1=∠ADO.‎ 在△ADG和△FOG中，∵ ∠1=∠ADG，∠FGO=∠AGD，AD=FO，‎ ‎∴ △ADG≌△FOG，∴ S△ADG=S△FOG.‎ ‎∵ AB=6，∴ ⊙O的半径r=3，‎ ‎∴ S阴影=S扇形DOF= 。‎ ‎【解后反思】1．圆的切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径；2.证明一条直线为圆的切线，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”；3．扇形面积的计算公式：S=，S=lR，求阴影面积(或不规则图形面积）时常用图形割补的方法(图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求．‎ ‎【关键词】圆的切线性质；圆的切线判定方法；图中阴影部分面积 ‎4. （2016山东省烟台市，23，10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD平分∠PBC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．‎ ‎【逐步提示】（1）题目中出现切线，一般通过连接半径构造直角三角形.比如本题中PB是切线，可以通过连接OB，得到∠PBD+∠OBD=90°，再利用已知条件∠DBE+∠BDO=90°即可解决问题．‎ （2） 充分利用两问之间的联系，利用角平线的性质定理，过点D作PB的垂线，从而得出DE=DK，根据题意得到PD=3DK，然后证明△BEO∽△PKD，利用对应边成比例即可求解.‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：连接OB．‎ ‎∵PB是⊙O切线，‎ ‎∴OB⊥PB，‎ ‎∴∠PBO=90°，‎ ‎∴∠PBD+∠OBD=90°，‎ ‎∵OB=OD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠OBD=∠ODB，‎ ‎∴∠PBD+∠ODB=90°，‎ ‎∵OP⊥BC，‎ ‎∴∠BED=90°，‎ ‎∴∠DBE+∠BDE=90°，‎ ‎∴∠PBD=∠EBD，‎ ‎∴BD平分∠PBC．‎ ‎（2）过点D作DK⊥PB，垂足为K，‎ ‎∵BD是角平分线，‎ ‎∴DE=DK，‎ ‎∵PD=3DE，‎ ‎∴PD=3DK，‎ 又∵PB是切线，‎ ‎∴OB⊥PB，‎ ‎∴，∴∠PDK=∠POB，∠BEO=∠PKD，∴△BEO∽△PKD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE=，‎ ‎∵OP⊥BC，‎ ‎∴BE=CE，‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴，‎ 而∵∠C=∠C ‎∴△CEO∽△CBA，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴,‎ ‎∴AB=2OE=.‎ ‎【解后反思】1.本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线，通常利用勾股定理或利用三角形相似求解，三角形相似通常与方程思想联袂出场，根据对应边成比例列出方程从而求得线段的长.另外，定要熟悉常用的基本图形和基本数量关系，有利于把问题向熟悉的方向转化，这是在圆中常用的求线段长度的方法. ‎ ‎2.在圆中遇见切线，一般连接过切点的半径，从而构造出直角三角形.‎ ‎3.对于问题较多的题目，后面的问题经常要用到前面问题的结论，比如本题的第二问紧密连接着第一问，辅助线的添加深深的受第一问的启发，既然第一问证明BD平分∠PBC，应该立刻想到角平分线的性质定理，如此，辅助线的添加便水到渠成，过点D作PB的垂线即可.‎ 但是本题第二问只是单纯利用三角形相似便可求解.‎ ‎【关键词】垂线的性质；三角形中位线定理；角平分线的性质定理；三角形外接圆；三角形相似的判定和性质定理；直线与圆的位置关系；切线的与性质定理；‎ ‎5. （ 2016山东省枣庄市，23，8分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．‎ ‎⑴求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎⑵连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为，求BC得长．‎ A B P C O ‎【逐步提示】本题考查了切线的判定及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握图形的性质和判定．⑴连接OB．AC是⊙O的直径，得∠ABC＝90°，再利用∠PBA＝∠C，证明∠ABC＝∠OBP＝90°，切线得证；⑵根据OP∥BC，可得∠BOP＝∠C，再通过△ABC∽△PBO，即可列式求出BC．‎ ‎【详细解答】解：⑴证明：如图，连接OB． ‎ ‎∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°，‎ ‎∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA．‎ ‎∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A B P C O ‎⑵解：∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝．‎ ‎∵OP∥BC，∠BOP＝∠OBC＝∠C．‎ 又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，‎ 又∵＝，即＝，∴BC＝2．‎ ‎【解后反思】切线的证明：①若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆有交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证半径．‎ ‎【关键词】切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质 ‎6.(2016天津，21，10分)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点.‎ ‎(Ⅰ)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；‎ ‎(Ⅱ)如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC 并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小.‎ ‎【逐步提示】(Ⅰ)由圆的切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质求解；‎ ‎(Ⅱ)由垂径定理，得到AC⊥OD，根据直角三角形的性质，得到∠AOD的度数，根据圆周角定理求得∠ACD的度数，根据三角形外角的性质可得∠P的度数.‎ ‎【解析】(Ⅰ)如图，连接OC，‎ ‎∵⊙O与PC相切于点C，‎ ‎∴OC⊥PC，即∠OCP=90°.‎ ‎∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°.‎ 在Rt△OPC中，∠P+∠COP=90°，‎ ‎∴∠P=90°-∠COP=36°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅱ)∵E为AC,∴OD⊥AC，即∠EAO=90°.‎ 在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°-∠EAO=80°.‎ ‎∴∠ACD=∠AOD=40°.‎ ‎∵∠ACD是△ACP的一个外角，‎ ‎∴∠P=∠ACD-∠CAP=30°.‎ ‎ 【解后反思】1.涉及圆的切线的问题，通常是连接圆心和切点，得到垂直关系；2.垂径定理的实质可以理解为：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧，这5个量中，已知2个量即可得出3个结论.‎ ‎【关键词】 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形外角的性质 ‎6 (2016新疆，22，10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交AC．BC于D．E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB，‎ ‎(1)求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AB=5，，求BD．BF的长．‎ O B F E A D C ‎【逐步提示】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形，锐角三角函数的定义等，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题．(1)证AB⊥BF；(2)先求BE，进而可得BC的值，利用勾股定理列方程求出CD，进一步求出BD，最后利用相似三角形的性质求BF的长.‎ ‎【解析】(1)如图，连接AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC.∵∠CBF＝∠BAC，∴∠CBF＝∠BAE.∵∠BAE＋∠ABE＝90°.∴∠CBF＋∠ABE＝90°.∴AB⊥BF∴直线BF是⊙O的切线.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 O B F E A D C ‎(2)由(1)可知∠CBF＝∠BAE.在Rt△ABE中，BE＝AB·sin∠BAE＝AB·sin∠CBF＝5×＝.∴BC＝2BE＝2，设CD=ｘ，则AD=5－x，AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴AB2－BD2=BC2－CD2，∴，x=2，AD=3，则BD=4，∴△ABD∽△BFD∴，即∴BF＝.‎ ‎【解后反思】本题考查圆与三解形综合，解题(1)时从直径所对的圆周角是90°入手，由等腰三角形三线合一的性质得∠BAE＝∠BAC.由已知得∠CBF＝∠BAE.进而可证得结论.‎ ‎()问题(2)中也可以用面积来求BD：BE＝， BC＝2，AE=2，在△ABC中 ‎×AE×BC=×BD×AC，即：×2×2=×BD×5，BD=4.‎ ‎【关键词】圆周角定理；切线的判定 ；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形；锐角三角函数的定义 ‎7. (2016浙江金华，22，8分)四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E，圆心为O. ‎ C B A D E O B A D E C O F ‎（第22题图1） （第22题图2）‎ ‎(1)利用图1，求证：四边形ABCD是菱形.‎ ‎(2)如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8.‎ ‎①连结OE,求△OBE的面积.‎ ‎②求弧AE的长.‎ ‎【逐步提示】(1)先由对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直证明平行四边形为菱形；‎ ‎(2)①连接OF，由CF为圆的切线得到AB，CD间的距离，进而求得S△ABD，再由中线的性质逐步求得S△OBE；②过点D作DH⊥AB于点H，由矩形的判定及性质知DH为AD的一半，从而得到∠DAH=30°.再由中位线的判定及性质求得∠EOB =30°，从而求得∠AOE的度数，再由弧长公式计算出弧AE的长. ‎ ‎【解析】(1)∵AE=EC,BE=ED,‎ ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形. ‎ ‎∵AB为直径，且过点E，‎ ‎∴∠AEB=90°，即AC⊥BD. ‎ 而四边形ABCD是平行四边形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴四边形ABCD是菱形. ‎ ‎（第22题图）‎ ‎(2)①连结OF. ‎B A D E C O F H ‎∵CD的延长线与半圆相切于点F，‎ ‎∴OF⊥CF. ‎ ‎∵FC∥AB,‎ ‎∴OF即为△ABD的AB边上的高.‎ S△ABD.‎ ‎∵点O，E分别是AB,BD的中点，‎ ‎∴, ‎ 所以，S△OBE=S△ABE=4. ‎ ‎②过点D作DH⊥AB于点H.‎ ‎∵AB∥CD，OF⊥CF,‎ ‎∴FO⊥AB,‎ ‎∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.‎ ‎∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.‎ 在Rt△DAH中，sin∠DAB＝＝, ∴∠DAH=30°. ‎ ‎∵点O,E分别为AB,BD中点，‎ ‎∴OE∥AD,‎ ‎∴∠EOB＝∠DAH=30°.‎ ‎∴∠AOE＝180°－∠EOB＝150°. ‎ ‎∴弧AE的长=. ‎ ‎【解后反思】要判定一个四边形为菱形可以先判定此四边形为平行四边形，再判定此平行四边形为菱形；也可以根据菱形四边相等的四边形为菱形判定直接判定；等底等高、同底等高、等底同高的两个三角形面积相等，三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形；求弧长需要知道弧所对圆心角度数及圆的半径大小．‎ ‎【关键词】圆的切线；矩形性质；三角函数；弧长计算；‎ ‎8. (2016淅江丽水，22，10分)如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．‎ ‎⑴求证：AD是半圆O的切线；‎ ‎⑵连接CD，求证：∠A=2∠CDE；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎⑶若∠CDE =27°，OB=2,求的长．‎ ‎【逐步提示】⑴经过半径的外端，垂直于半径的直线为圆的切线；‎ ‎⑵由各角间的关系进行推导得出结论；‎ ‎⑶由同角的余角相等等推出∠DOC的度数，再求出的长．‎ ‎【解析】⑴连接OD，BD，∵AB是半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°．‎ ‎∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，‎ ‎∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线．‎ ‎⑵由⑴，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD．‎ 而∠DOC=180°-∠BOD∴∠A=∠DOC，‎ ‎∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE =90°．‎ ‎∵BC是直径，∴∠ODC+∠BDO =90°．‎ ‎∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠ DOC =2∠BDO ‎∴∠DOC =2∠CDE，∴∠A =2∠CDE．‎ ‎⑶∵∠CDE=27°，∴由⑵得，∠ DOC =2∠CDE=54°，∴∠BDO =180°-54°=126°，‎ ‎∵OB=2，∴==π．‎ ‎【解后反思】从同一点引两圆的两条切线，切线长相等；直径所对的圆周角相等；同角或等角的余角相等．‎ ‎【关键词】圆的切线的判定和性质；圆周角；；；‎ ‎ 9.(2016浙江宁波，23，10分)如图，已知⊙0的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙0于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点 E. ‎ ‎(1)求证：DE是⊙0的切线.‎ ‎(2)求DE的长.‎ ‎【逐步提示】本题考查了圆切线的判定以及与圆有关线段长度的计算，解题的关键是掌握圆切线的判定方法以及应用垂经定理进行计算．‎ ‎ (1) 连结 OD，由题意可得∠ODA=∠DAO=∠DAE,推出OD∥AE，再由DE⊥AC得出OD⊥DE，即DE是⊙0的切线；(2)画OF⊥AC于点F，则四边形OFED为矩形，推出DE=OF,OF的长可通过Rt△OAF求得.‎ ‎【解析】(1)连结 OD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∵AD 平分∠BAC，‎ ‎ ∴∠DAE=∠DAB，‎ ‎ ∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，‎ ‎ ∴∠ODA=∠DAE,‎ ‎ ∴OD∥AE. ‎ ‎ ∵DE⊥AC，‎ ‎ ∴OD⊥DE.‎ ‎ ∴DE是⊙0的切线.‎ ‎ (2)过点0作OF⊥AC于点F，‎ ‎ ∴AF= CF= 3 ,‎ ‎∴.‎ ‎ ∵∠0FE=∠DEF=∠ODE= 90°,‎ ‎ ∴四边形OFED是矩形.‎ ‎ ∴DE= OF=4 .‎ ‎【解后反思】1．有关切线的证明，遵循有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径的原则．‎ ‎2．圆中涉及弦长的条件，通常是构造半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解.‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质；平行线的判定；切线的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；垂径定理；勾股定理 ‎10 (2016浙江衢州，21，8分)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.‎ ‎(1)求证：直线BF是⊙O的切线.‎ ‎(2)若CD＝2，OP＝1，求线段BF的长.‎ ‎ ‎O D B A P F C ‎【逐步提示】要证直线BF是⊙O的切线，依题意和图形，只要证明AB⊥BF，此时由条件可得到CD∥BF，进而证得.(2)连结OD，容易得到△APD∽△ABF，进而列式求解.‎ ‎【解析】(1)∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，∴∠AFB＝∠ADC，∴CD∥BF，∴∠APD＝∠ABF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线.(2)连结OD.∵CD⊥AB，∴PD＝CD＝，∵OP＝1，∴OD＝2.∵∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF＝90°，∴△APD∽△ABF，∴＝，∴＝，∴BF＝.‎ ‎【解后反思】(1)证明一条直线是圆的切线，一般思路为：①如果这条直线与圆有交点，则只需要说明该直线与过该交点的半径垂直；②如果知道垂直于某条半径，只需要说明该垂足与圆心的连线的长度等于半径即可.(2)利用圆的性质的相关计算一般需要运用勾股定理、相似三角形等知识.‎ ‎【关键词】切线的判定、相似三角形、与圆相关的计算.‎ ‎11 (2016浙江舟山，21，8分)如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(－4，m)，且以点C为圆心的圆与x轴、y轴分别相切于点D，B.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)求一次函数的表达式；‎ ‎(3)根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围.‎ ‎【逐步提示】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，反比例函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出C，B点坐标以及能从数形结合的角度写出x的取值范围.(1)注意到点A在反比例函数的图象上，因此把点A的坐标适合反比例函数表达式，即可求出m的值；(2)连结CB．CD，先说明四边形BODC是正方形，即点C的横、纵相等，结合反比例函数的表达式可求得点C的坐标，进而得出点B的坐标，最后根据点A．B的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式；(3)利用数形结合思想，将“y1＜y2＜0”转化为“在x轴下方，一次函数的图象(直线y1=x+2)位于反比例函数的图象(双曲线y2=)下方”，由此确定自变量x的取值范围.‎ ‎【解析】(1)把点A(－4，m)的坐标代入y2=，得m=－1；‎ ‎(2)如图，连结CB．CD.‎ ‎∵⊙C与x轴、y轴分别相切于点D，B，‎ ‎∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，‎ ‎∴四边形BODC是正方形，‎ ‎∴BO=OD=DC=CB，‎ ‎∴设C(a，a)，代入y2=，得a2=4，‎ ‎∵a＞0，∴a=2，‎ ‎∴C(2，2)，B(0，2)，‎ 把A(－4，－1)和B(0，2)代入y1=kx+b中，得，解得.‎ ‎∴所求一次函数的表达式为y1=x+2；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)x＜－4.‎ ‎【解后反思】(1)若点在函数图象上，则点的坐标适合函数表达式，因此把图象上点的坐标代入函数表达式，可以确定点的坐标或者函数表达式中的参数；(2)本题利用待定系数法确定一次函数的表达式时，利用切线的性质、正方形的判定与性质求出点B的坐标是关键之一；(3)“根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围.”的过程经历了“从数到形、再到数”，体现了数学中的数形结合思想.‎ ‎【关键词】一次函数的表达式；正方形的判定与性质；切线的性质；待定系数法；数形结合思想 ‎ ‎ ‎12.‎ ‎13. （ 2016四川省巴中市，28，8分）如图，在平面直角坐标xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N，劣弧的长为，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.‎ ‎(1)求证：直线AB与⊙O相切；‎ ‎(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用表示)‎ ‎【逐步提示】本题考查了切线的判定、阴影部分面积（扇形）的求法，关键是掌握切线的判定方法和把不规则图形转化为规则图形的和或差.（1）由劣弧的长求得⊙O的半径，作OC⊥AB于点C.，通过面积证得点O到直线AB的距离OC与⊙O的半径相等，从而说明直线AB与⊙O相切；（2）通过△AOB的面积与扇形OMN的面积之差求得阴影部分的面积 【详细解答】解：(1)作OC⊥AB于点C.‎ ‎∵=‎ ‎∴.‎ 当x=0时，y=4.则OB=4.‎ 当y=0时，x=3.则OA=3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△AOB中，AB=.‎ ‎∵S△AOB=×OC×AB=×OA×‎OB ‎∴5OC=12‎ OC=.‎ ‎∴OC=r ‎∴直线AB与⊙O相切.‎ ‎(2) ∵S△AOB=×3×4=6，‎ S扇形OAB==，‎ ‎∴S阴影=6-.‎ ‎【解后反思】判定直线与圆是否相切，有两种常用的思路与方法：①定理法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 即如果直线与圆有交点，则连结交点与圆心，只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直；②距离法：根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径这一数量关系来判定圆的切线. 当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时，可以经过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于圆的半，.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.‎ 不规则图形的面积，直接求解，复杂繁琐，甚至无从下手，常通过割补拼接，把不规则图形转化为规则图形的和或差，使复杂问题简单化. 在求与圆有关的阴影部分的面积时,常将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形、梯形面积的和或差，使问题迎刃而解.‎ ‎【关键词】切线的判定；扇形；‎ ‎13. （ 2016四川乐山，24，10分）如图13，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线； ‎ ‎（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长.‎ ‎【逐步提示】（1）连接OD，证明OD⊥EF即可，由AB=AC，OD=OC得OD∥AB，获证；（2）在Rt△ODF 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 和Rt△AEF中，抓住sin∠CFD=，设OD=3x，可用x表示OF、AB、AC、AE与AF，再由AE：AB=3：5建立方程求解.‎ ‎【详细解答】解：（1）证明：连接OD，如图所示， ‎ ‎∵AB=AC，∴∠B=∠ACD.‎ ‎∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB.‎ ‎∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）在Rt△ODF和Rt△AEF中，‎ ‎∵sin∠CFD=，∴. ‎ 设OD=3x，则OF=5x.，∴AB=AC=6x，AF=8x.‎ ‎∵EB=，∴AE=6x-，‎ ‎∴，解得x=，‎ ‎∴⊙O的半径长为 ，AE=6.‎ ‎【解后反思】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.通常证明切线有两种类型，即 “有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径”的辅助线作法，本题即是“有切点，证垂直”的类型.‎ ‎【关键词】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的判定；锐角三角函数的定义 ‎14. （ 2016四川省凉山州，24，8分）阅读下列材料并回答问题：‎ ‎ 材料1：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为。 ①‎ 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年） ，在数学史上以解决几何测量问题而闻名。他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式。‎ 我国南宋数学家秦九韶（约1202——约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎。 ②‎ 下面我们对公式②进行变形：‎ ‎。‎ 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦——秦九韶公式。‎ C A B E F D O ‎（第24题图）‎ 问题：如图，在中，，，，内切于，切点分别是、、。‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎ （2）求的半径。‎ ‎【逐步提示】（1）将△ABC三边长直接代入海伦—秦九韶公式计算出面积；（2）连接O与三角形的三个顶点，这样△ABC被分割成3个小的三角形，而这三个小三角形的一边上的高都是△ABC的内切圆半径，利用面积法可求出这个半径的大小.‎ ‎【详细解答】解：（1）在△ABC中，c=AB=13，a=BC=12，b=AC=7，∴ ，∴ .‎ ‎（2）连接OA、OB、OC，连接OD、OE、OF，∵内切于且D、E、F为切点，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，设的半径为r，则OD=OE=OF=r，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵ ‎ ‎∴ ，∴ ，即△ABC的内切圆的半径为. ‎ ‎【解后反思】本题的首要的是阅读材料，找到可利用的内容，就是海伦—秦九韶公示，这个公式的实质是通过三角形三边长计算面积；第2问承接第1问，将内切圆半径作为未知数，用面积法建立方程，求得内切圆面积.‎ ‎【关键词】学习型阅读；面积法；三角形内切圆 ‎14. （2016四川泸州，24，12分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与 AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A=∠EBC.‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A=∠EBC.‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF,求AH的值.‎ ‎【逐步提示】（1）连接CD，根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠DBE为90°；（2）首先根据CG∥EB得到相等的角，进而根据AA得到相似三角形，从而求出线段BC的长，再结合直角三角形斜边的高线分成的两个三角形相似，求出线段BF和DF的长，再结合勾股定理求出线段CG和AG的长，最后根据△ABC∽△CBG求出线段AH的长. 【详细解答】解：（1）连接CD，∵∠CDB和∠CAB所对的弧为，∴∠CDB=∠A，∵DB为直径，∴∠DCB=90°，∴∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CDB=∠A，∠A=∠EBC，∴∠EBC=∠CDB，∴∠EBC+∠CBD=90°，∴∠DBE=90°，即DB⊥BE，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵CG∥EB,∴∠BCG=∠EBC,∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴，即BC2= BGBA=48,∴BC=，∵CG∥EB, ∴CF⊥BD,∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴BC2= BFBD，又∵DF=2BF，∴BF=4，‎ 在Rt△BCF中，CF=，∴CG=CF+FG=,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△BFG中，BG=,∵BGBA=48，∴BA=，即AG=,‎ ‎∴CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=,∵△ABC∽△CBG，∴,∴,∴AH=AC-CH=。 【解后反思】证明一条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直. 【关键词】圆的切线的判定；三角形相似的判定；相似三角形的性质；勾股定理，等角对等边等 ‎15. （ 2016四川省绵阳市，22，11分）‎ 如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．‎ ‎（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若OF＝4，求AC的长度．‎ ‎【逐步提示】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，垂径定理等．（1）连接OD，AD．由D是的中点得＝，所以∠DAO＝∠DAC．由OA＝OD得∠DAO＝∠ODA，所以∠DAC＝∠ODA，于是OD∥AE．而DE⊥AE，所以DE⊥OD，因此DE与⊙O相切．（2）连结BC交OD于H，延长DF交⊙O于G．则由垂径定理得＝，所以＝．由D是的中点得OH⊥BC，又DF⊥AB，所以OH＝OF＝4，点H是BC的中点．又点O是AB的中点，所以AC＝2OH＝8．‎ ‎【详细解答】解：DE与⊙O相切．‎ 证明：连结OD，AD．‎ ‎∵点D是的中点，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴∠DAO＝∠DAC．‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠DAO＝∠ODA．‎ ‎∴∠DAC＝∠ODA．‎ ‎∴OD∥AE．‎ ‎∵DE⊥AE，‎ ‎∴DE⊥OD．‎ ‎∴DE与⊙O相切．‎ ‎（2）连结BC交OD于H，延长DF交⊙O于G．‎ ‎∵D是的中点，O为圆心，‎ ‎∴OH⊥BC，＝．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵DF⊥AB，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴弦心距OH＝OF＝4．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴BC⊥AC．‎ ‎∴OH∥AC．‎ ‎∴OH是△ABC的中位线．‎ ‎∴AC＝2OH＝8．‎ ‎【解后反思】（1）证明切线主要有两种类型：①直线若与圆有公共点，则连半径，证垂直；②若直线与圆公共点不明确，则过圆心作垂线，证半径．（2）与圆有关的问题中，有直径通常作直径所对的圆周角，构造直角三角形．有弧的中点通常连接弧的中点与圆心，构造出垂径定理的基本图形．（3）垂径定理与三角形中位线是一对“孪生兄弟“，常结伴而行．‎ ‎【关键词】切线判定定理；圆周角；垂径定理；圆心角、弧、弦、弦心距四者关系 ‎16.（ 2016四川南充，22，8分）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作圆.‎ ‎(1)求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎ (2)如果tan∠CAO=，求cosB的值.‎ ‎【逐步提示】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线．（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．‎ ‎（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．‎ ‎【详细解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，‎ ‎∴OC=OM，‎ ‎∴AB是⊙O的切线，‎ ‎（2）方法一：设BM=x，OB=y，则y2﹣x2=1 ①，‎ ‎∵cosB= ‎ ‎∴，‎ ‎∴x2+3x=y2+y ②，‎ 由①②可以得到：y=3x﹣1，‎ ‎∴（3x﹣1）2﹣x2=1，‎ ‎∴x= ，y=，‎ ‎∴cosB=．‎ 方法二：∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切线，AC=AD，‎ 在Rt△ABC和Rt△OBD中，∵∠ABC=∠OBD，‎ ‎∴△ABC∽△OBD,‎ ‎∴tan∠CAO= ‎ OC=OD=1，∴AC=AD=3，‎ 设OB为x，则AB=3x，∴BD=AB-AD=3x-3.‎ 在Rt△ODB中，，即 解得= ，=（不合题意，舍去）‎ DB=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴cosB=．‎ ‎【解后反思】在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直” ；当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径” ．‎ ‎【关键词】切线的判定与性质；切线长定理；锐角三角函数值的求法；勾股定理；相似三角形的性质；‎ ‎17. （ 2016四川省内江市，21，10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH.‎ ‎（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求HG·HB的值.‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】本题是一道几何综合题，涉及的知识点较多，但难度一般，解题的关键是熟练掌握相关的定义、定理.‎ ‎（1）猜想BD与⊙O相切，则BD⊥OB .由题意可得∠DBC＝∠C，∠CED＝∠OBE，问题可解；‎ ‎（2）由AB＝BE＝1可得AC的长.证△ABC≌△EBF（AAS），可得AC＝EF，由此⊙O的半径可得，问题可解；‎ ‎（3）由题意可得△EHF是等腰直角三角形，解直角三角形得HF，证△HGF∽△HFB，利用相似三角形的性质可得HG·HB的值.‎ ‎【详细解答】解：（1）BD与⊙O相切，理由：‎ 如图，连接OB.‎ 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，点C是AC的中点，‎ ‎∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠C.‎ ‎∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.‎ ‎∵∠CED＝∠OEB， ‎ ‎∴∠CED＝∠OBE，‎ ‎∵DF⊥AC，∠CED＋∠C＝90°， ‎ ‎∴∠DBC＋∠OBE＝90°.‎ ‎∴BD⊥OB .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即BD与⊙O相切.‎ ‎（2）如图，连接AE .‎ ‎∵AB＝BE＝1‎ ‎∴AE＝ .‎ ‎∵DF垂直平分AC，‎ ‎∴CE＝AE＝ .‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC＝‎ ‎＝‎ ‎＝.‎ ‎∵∠CAB＋∠C＝90°, ∠CAB＋∠F＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠F，‎ 在△ABC和△EBF中 ‎∵‎ ‎∴△ABC≌△EBF（AAS）. ‎ ‎∴AC＝EF.‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎∴⊙O的面积为＝＝(1+‎ ‎（3）如图，连接HE.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵EF是⊙O的直径，‎ ‎∴∠EHF＝90°，‎ ‎∵BH平分∠EBF，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∴HE＝HF， ‎ ‎∴△EHF是等腰直角三角形.‎ ‎∴∠HEF＝∠3＝45°， ‎ 在Rt△EHF中，‎ ‎∴HF＝EF·cos∠3‎ ‎＝EF·cos45°‎ ‎＝·‎ ‎＝.‎ ‎∴HF2＝＝.‎ ‎∵∠1＝∠2，‎ ‎∵∠1＝∠3，‎ ‎∴∠2＝∠3，‎ ‎∵∠H＝∠H，‎ ‎∴△HGF∽△HFB.‎ ‎∴.‎ ‎∴HG·HB＝HF2.‎ ‎∴HG·HB＝.‎ ‎【解后反思】由上面的解题过程可以看出，适当添加辅助线是解本题的关键： ‎ ‎（1）猜想BD与⊙O相切，证切线连半径是圆中常用的作法；‎ ‎（2）由DF垂直平分AC，想到线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，于是连接AE构造出等腰直角三角形ABE；‎ ‎（3）由BH平分∠EBF，联想到相等的圆周角所对的弦相等，添加辅助线，构造等腰直角三角形EHF，已知∠HFE和边EF, HF可求. ‎ ‎【关键词】切线的判定与性质；全等三角形的性质；三角形全等的识别；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形中的基本类型；圆周角 ‎18. （ 2016四川省宜宾市，23，10分）如图1，在△APE中，∠PAE=900，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G.‎ ‎（1） 求证：直线PE是⊙O的切线 ‎ （2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH、点D是⊙O的劣弧AH上的一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C.已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=,求EH的长.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎ 23题图1 23题图2‎ ‎ 【逐步提示】(1)要证明PE是⊙O的切线，因为没有点明具体的切点，所以只能利用定义来证：即证点O到PE的距离等于圆的半径OA,因此需要过点O作PE垂线，并证明垂线段长等于OA(2)根据切线长定理知，△PBC的周长为4即两切线长的和为4，可求出PA=PH=2,已知tan∠EAH=，所以AH、PO均可求出，结合△AHE∽△POE，列出比例式子，EH可求.‎ ‎【详细解答】解：（1）过点O作OF⊥PE,交PE于点F.因为PO是△APE的角平分线，所以OF=OA，∠PAE=900，而OA是⊙O的半径，故PE是⊙O的切线.‎ ‎(2)连接GH.‎ ‎ 因为PA、PH是⊙O的切线，所以PA=PH.‎ ‎ BC切⊙O于点D，交PA、PH于点B、C,所以BA=BD,CD=CH ‎ 又已知△PBC的周长为4，所以PA+PH=4,即PA=PH=2‎ ‎ 如图，∠EAH=∠APO,半径AO=GO=1‎ ‎ AG是直径，所以∠AHG=900.AG=2.tan∠EAH=,所以AH=‎ ‎ PO=‎ 在三角形AHE和三角形POE中，∠EAH=∠OPE，∠E=∠E 所以△AHE∽△POE，所以 设EG=x，EH=y，所以，解得x=，y=‎ ‎【解后反思】证明圆的切线一般有两种情况：一是已知切点或间接告诉切点的，应运用切线的判定定理证明，即证明所证直线过圆的一条半径外端，并和这条半径垂直.二是没有告诉切点，一般运用定义证明，即过圆心作所证切线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径. 【关键词】 圆的有关概念；切线的性质与判定；相似三角形的性质与判定；锐角三角函数；切线长定理 ‎19.（2016四川省自贡市，21，10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E.‎ ‎（1）求证：∠1=∠BAD；‎ ‎（2）求证：BE是⊙O的切线.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第21题图 ‎【逐步提示】利用圆周角定理将∠1转移为∠BDA，再由BA=BD得到∠BAD=∠BDA，完成转换；证明切线首先要连接交点和圆心，只需证明OB⊥BE，由已知BE⊥CD，可得只需证明OB∥CD，由∠1=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°可得∠1+∠BCD=180°，由OB=OC可得∠1=∠OBC，从而∠OBC+∠BCD=180°，得到OB∥CD，问题得解.‎ ‎【详细解答】证明：（1）∵BD=BA，‎ ‎∴∠BDA=∠BAD，‎ ‎∵∠1=∠BDA，‎ ‎∴∠1=∠BAD；‎ ‎（2）连接BO，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ 又∵∠BAD+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠BCO+∠BCD=180°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠BCO=∠CBO，‎ ‎∴∠CBO+∠BCD=180°，‎ ‎∴OB∥DE，‎ ‎∵BE⊥DE，‎ ‎∴EB⊥OB，‎ ‎∵OB是⊙O的半径，‎ ‎∴BE是⊙O的切线．‎ ‎【解后反思】（1）在圆中，要注意圆周角定理及其推论的应用，尤其是直径构造的直角，及圆周角定理对转移角的作用；（2）要证明直线与圆相切，通常有两个办法：若已知点在圆上，只需连接过该点的半径，证明这条直线垂直于该半径即可；‚若未给出公共点，就需要过圆心作已知直线的垂线段，证明垂足与圆心的距离等于半径．‎ ‎【关键词】圆周角；切线的判定与性质；等腰三角形的性质 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费