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一、选择题
1. （ 2016山东泰安，16，3分）如图，轮船沿正南方向以30海里／时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°＝0．9272
sin46°＝0．7193 sin22°＝0．3746 sin44°＝0．6947）
M
N
P
第16题
A．22．48 B．41．68 C．43．16 D．55．63
【答案】B
【逐步提示】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是把与已知有关的角与直角三角形结合起来．由因为航行至灯塔最近距离，即过P点作直线MN的垂线，垂足为A，线段PA的长即为所求．由题意可以知道∠PMN＝22°，∠PNA＝44°， 因而可以知道MN与PN的关系．最后在Rt△PAN中，利用sin44°＝即可求得．
【详细解答】解：过P点作直线MN的垂线，垂足为A，
∵∠PMN＝90°－68°＝22°，∠PNA＝90°－46°＝44°，∠PNA＝∠PMN＋∠MPN
∴∠PMN＝∠MPN，∴PN ＝MN＝30×2＝60(海里)，在Rt△PAN中，∵sin∠PNA＝，
∴0．6947＝，∴PA＝60×0．6947＝41．68(海里)．故答案为B .
M
N
P
第16题
A
【解后反思】本题是一道典型的解直角三角形的应用问题，解决直角三角形有关的应用题最常用的方法是作垂线，构造直角三角形，根据所给数据，理清题中的线段之间的关系，
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选用恰当的三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解．注意点：（1）注意方程思想的运用；（2）注意结果必须根据题意要求进行保留．
【关键词】 锐角三角函数值；方位角．
2. (2016天津，2，3分)的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【逐步提示】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【解析】= ，故选择C .
【解后反思】熟记特殊角的三角函数值，不要将60°的正弦与余弦、正切相混，也不要将60°的正弦与30°或45°的正弦相混.
【关键词】特殊角的三角函数值
3.
4. （2016四川达州，7，3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为
第7题图
A. B.2 C. D.
【答案】C
【逐步提示】本题主要考查了圆中有关计算.解题的关键是把∠OBC的正切值转化到直角三角形中求解．解题是：如图，连接CD，则CD是⊙A的直径，且∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中可求得tan∠ODC.
【详细解答】解：连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中，OD==4，∴tan∠ODC=＝故选择C.
【解后反思】解答这类问题时，往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度，进而化归到直角三角形中，应用三角函数定义求得三角函数值．
求锐角三角函数的方法：（1）直接定义法；（2）构造直角三角形；（3）借助三角函数关系求值．
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【关键词】圆周角定理及推论；三角函数
4. （ 2016四川省绵阳市，9，3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【逐步提示】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是发现并证明△CBE∽△CAB，求出AE长．具体思路是：在等腰三角形ABC中求出∠ABC＝72°，∠A＝36°．又由题意知DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE，于是∠ABE＝∠A＝36°．再求得∠C＝∠BEC＝72°，所以BC＝BE．由∠C＝∠C，∠A＝∠EBC＝36°得△CBE∽△CAB，有＝，即＝，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中求出cosA的值．
【详细解答】解：因为AB＝AC，∠C＝72°，所以ABC＝∠C＝72°，所以∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－72°－72°＝36°．因为DE⊥AB，D是AB中点，所以DE是线段AB的垂直平分线，所以AD＝AB＝×4＝2，AE＝BE，所以∠ABE＝∠A＝36°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝72°－36°＝36°．所以∠BEC＝180°－∠CBE－∠C＝180°－36°－72°＝72°，所以∠BEC＝∠C，所以BC＝BE．因为∠C＝∠C，∠A＝∠EBC＝36°，所以△CBE∽△CAB，于是＝，即＝，解得AE＝．在Rt△ADE中，cosA＝＝＝＝，故选择C．
【解后反思】（1）求一个锐角的三角函数值，一般利用锐角三角函数的定义求解，即sinA＝，cosA＝，tanA＝．（2）底角为72°的等腰三角形，即顶角为36°的等腰三角形，也就是黄金三角形，它具有结论：底角平分线分黄金三角形为一个等腰三角形和一个新的黄金三角形．
【关键词】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质；垂直平分线的性质．
二、填空题
1. (2016山东临沂，19，3分)一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α－β)=sinα·cosβ－cosα·sinβ．
例如：sin90°=sin(60°+30°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是_____________．
【答案】
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【逐步提示】本题考查锐角三角函数的计算，特殊角的锐角三角函数值，阅读理解问题等．先阅读求任意角三角函数值的方法，然后将sin15°转化为sin(45°-30°)，套用相应的公式求解即可．
【详细解答】解：sin15°=sin(45°－30°)=sin45°·cos30°－cos45°·sin30°=×－×=．故答案为.
【解后反思】1．解答本题时易出现两处错误：一是理解错误或不理解而用错公式；二是记错特殊角的锐角三角函数值．2．解答本题需掌握特殊角的锐角三角函数值：
值 角
函 数
30°
45°
60°
sin
cos
tan
1
【关键词】锐角三角函数的计算；特殊角的锐角三角函数值；阅读理解问题
2. (2016浙江杭州，11，4分)tan60°＝ ．
【答案】．
【逐步提示】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据60°的正切值，直接得出答案．
【解析】利用30°的直角三角形三边关系1﹕﹕2及正切函数的定义可知，tan60°＝＝＝．故填．
【解后反思】 特殊角的锐角三角函数值表
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
在直角三角形中，由于sinA=； cosA=；tanA=，一般只需已知直角三角形三边的长，根据这个关系可求出该直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切．这样，我们就可以利用手中一副三角板，轻松地记住特殊角的三角函数值了：30°的直角三角形三边关系1﹕﹕2，45°的直角三角形三边关系1﹕1﹕，利用三角函数定义即可求出30°、45°、60°的三角函数值．
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【关键词】锐角三角函数值
3. （2016四川省自贡市，15，4分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值=_______；tan∠APD的值=______.
第15题图
【答案】3；2
【逐步提示】通过AC∥BD及AC与BD的比值不难求出AP与BP的比；如图，连接小正方形BCED的对角线BE，构造直角△BFP，进而利用BF与FP的比值求出tan∠BPC，从而求出tan∠APD.
【详细解答】解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，
∴，
连接BE，
∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，
故答案为：3，2．
.
【解后反思】求两条线段的比，应该通过转化的想法将其转化为其他线段的比，尤其是当两条线段在同一条直线上时，应该注意平行线所构成的比例式；求三角函数值首要是将角转移到一个直角三角形中，利用锐角三角函数的定义求解．
【关键词】 正方形的性质；锐角三角函数值的求法；相似三角形的判定；相似三角形的性质
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