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专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
名师点金：
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．[来源:学科网ZXXK]
(第1题)
[来源:学科网ZXXK]
有直角、无三角形的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
(第2题)
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有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值．
(第3题)
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值．
(第4题)
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答案
1．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，[来源:Z,xx,k.Com]
∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝x.
∵BC＝1＋，∴x＋x＝1＋，
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cos B＝，
∴AB＝＝＝2.
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，延长BC，AD交于点E.
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos 30°＝2×＝.
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝AB·BE－CD·ED＝×2×2－×1×＝.
点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．
3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.
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在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝＝，∴BC＝3BE.
∴CE＝＝2BE，
∴CD＝CE＝BE＝AC.
∴tan A＝＝＝.
点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．[来源:Zxxk.Com]
(第3题)
(第4题)
4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC.
∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得[来源:Zxxk.Com]
AE＝＝＝3，
∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝＝.
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