专题：方程与不等式（2）
【知识梳理】
【方法集会】
本专题主要讲解分式方程与一元二次方程：
1、解分式方程去分母时，所有项都要乘以最简公分母，尤其是整式部分
例： 243
1
x
x
x
x
最简公分母为 )1( xx
常见错误： 2)2)(43(2 xxx
正解： )1(2)2)(43(2 xxxxx
2、解分式方程需要检验3、增根与无解
①如果说分式方程有增根，则增根一定是使分母为 0，可以求出。然后将分式方程化为整式
方程，增根是整式方程的解。
②如果说分式方程无解，则含有两种情况，一种是方程有增根，一种是分式方程化为整式方
程时，整式方程无解。
4、因式分解： cbxax 2 ，若 acb 42 是完全平方数（式），则可以选用因式分解法进行
因式分解。
5、在题目中，如果明确说明是一元二次方程，则二次项系数不为 0.若只是说方程，则需讨
论二次项系数是否为 0.注意严谨审题。
例：（1）若关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
（2）若关于 x 的方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
（3）若关于 x 的方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有两个实数根，则 a 的取值范围为 ．
6、整数根问题：一般这类问题都是知道一个根为整数，另一个为含字母的式子，讨论字母
的取值来确定方程含有两个整数根。
例：已知：关于 x 的一元二次方程 2 2 2 0kx x k （ 1k ）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当 k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
分析：
k
kxx 21 21
使方程的两个实数根均为整数，只需让 2x 为整数即可。
kx 212 （分离常数)当 21 kk ， 时，取得整数根。
练习：如何分离参数：
1
34
1
m
mx
【考点突破】
考点 1：分式方程的定义
例 1、下列方程是关于 x 的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
① =5；② +2= ；③ ；④ ；⑤1+ =2﹣ ；⑥
；⑦ ；⑧ ；⑨ ．变式 1、下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
变式 2、下列是关于 x 的分式方程的是（ ）
A． ﹣3= B． =3﹣x C． ﹣ =1 D． =5
考点 2：解分式方程
例 1、解方程： ．
变式 1：解方程： ．
变式 2：解方程： ．
变式 3：解方程： ﹣ =
例 2、解方程： =1﹣ ．
变式 1：解方程：
例 3、解方程： = ．
变式 1：解方程： ．
例 4、解方程： ．
例 5、若 k 是正整数，关于 x 的分式方程 + =1 的解为非负数，求 k 的值；
考点 3：增根问题
例 1、若关于 x 的分式方程 ﹣ = 总无解，求 a 的值．
变式 1：若关于 x 的方程 =2+ 无解，求 k 的值．例 2、若关于 x 的方程 有增根，则 m 的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
变式 1：若关于 x 的方程 + =2 有增根，求 m 的值？
变式 2：若关于 x 的方程 + =2 有增根，则 m 的值是 ．
考点 4：分式方程的实际应用
例 1、甲、乙两人同时分别从 A，B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地．已知 A，C 两地间的
距离为 110 千米，B，C 两地间的距离为 100 千米．甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米/
时．结果两人同时到达 C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度
为 x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
变式 1：A，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行驶的长途客车平
均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h．若设原来的平均车速为 xkm/h，则
根据题意可列方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
例 2、某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 800 台所需时间与原计划
生产 600 台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程
正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
变式 1：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、
乙两队的投标书测算，有如下方案：
Ⅰ、甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
Ⅱ、乙队单独完成这项工程要比规定日期多 6 天；
Ⅲ、若甲、乙两队合做 3 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
例 3、东营市某学校 2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，
购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买一个
乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元．（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球
共 50 个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了
10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了 10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不
超过 2900 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
变式 1、绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的
进价每件少 5 元，其用 90 元购进甲种牛奶的数量与用 100 元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的 3 倍少 5 件，两种牛奶的总数不超过 95
件，该商场甲种牛奶的销售价格为 49 元，乙种牛奶的销售价格为每件 55 元，则购进的甲、
乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过 371 元，请通过计算
求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【强化训练】
1、八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍．设骑车
学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ =20 B． ﹣ =20 C． ﹣ = D． ﹣ =
2、两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距 7500 米，第一组的步行速度
是第二组的 1.2 倍，并且比第二组早 15 分钟到达乙地．设第二组的步行速度为 x 千米/小时，
根据题意可列方程是（ ）
A． ﹣ =15 B． ﹣ =
C． ﹣ =15 D． ﹣ =
3、为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天
比原计划多植树 30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300 棵所需时间相同，设现
在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
4、A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 40 千
克，A 型机器人搬运 1200 千克所用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所用时间相等．设 B 型机器人每小时搬运化工原料 x 千克，根据题意可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
5．在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正确答案小 5．依上
述情形，所列关系式成立的是（ ）
A． = ﹣5 B． = +5 C． =8x﹣5D． =8x+5
6、穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两
城市相距 480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前 4h 到达，已知高铁列车的平均行驶
速度比普通列车快 160km/h，设普通列车的平均行驶速度为 xkm/h，依题意，下面所列方程
正确的是（ ）
A． ﹣ =4 B． =4
C． =4 D． =4
7、小亮从家出发去距离 9 千米的姥姥家，他骑自行车前往比乘汽车多用 20 分钟，乘汽车的
平均速度是骑自行车的 3 倍，设骑自行车的平均速度为 x 千米/时，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
8．李庄村原来用 10hm2 耕地种植粮食作物，用 80hm2 耕地种植经济作物，为了增加粮食作
物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种
植面积与经济作物的种植面积之比为 5：7，设有 x hm2 种植经济作物的耕地改为种植粮食作
物，那么 x 满足怎样的分式方程？
9．某市今年 1 月 1 日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气费上涨 25%．小明家去年
12 月份的天然气费是 96 元，而今年 5 月份的天然气费是 90 元．已知小明家今年 5 月份的
用天然气量比去年 12 月份少 10m3，求该市今年居民用天然气的价格．如果设去年用气价为
x 元，怎么列方程？
10、2016 年“母亲节”前夕，宜宾某花店用 4000 元购进若干束花，很快售完，接着又用 4500
元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的 1.5 倍，且每束花的进价
比第一批的进价少 5 元，求第一批花每束的进价是多少？
小专题：一元二次方程考点 1：一元二次方程的定义
例 1、下面关于 x 的方程中：①ax2+x+2=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④x2
﹣a=0（a 为任意实数）； ⑤ =x﹣1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式 1：下列方程中，一元二次方程共有（ ）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③ +3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式 2：下列方程中，关于 x 的一元二次方程有（ ） ①x2=0； ②ax2+bx+c=0；
③ x2﹣3= x； ④a2+a﹣x=0； ⑤（m﹣1）x2+4x+ =0； ⑥ + = ；⑦ =2；
⑧（x+1）2=x2﹣9．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
例 2、如果方程（m﹣3） ﹣x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
变式 1：若（a﹣3）x +4x+5=0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
变式 2：已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= ．
变式 3：若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围
是（ ）
A．m≠±1 B．m≥﹣1 且 m≠1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1 且 m≠1
考点 2：一元二次方程的解
例 1、若关于 x 的一元二次方程 x2﹣x﹣m=0 的一个根是 x=1，则 m 的值是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
变式 1：已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+2）x+2k=0，若 x=l 是这个方程的一个根，则
求 k= ．
变式 2：方程 2x﹣4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值为 ．
变式 3：已知 m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根，则 2m2﹣4m= ．
例 2、小明在探索一元二次方程 2x2﹣x﹣2=0 的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x 1 2 3 4
2x2﹣x
﹣2
﹣
1
4 13 26
A．4 B．3 C．2 D．1
变式 1：根据方程 x2﹣3x﹣5=0 可列表如下：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6
x2﹣3x
﹣5
13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13
因此方程 x2﹣3x﹣5=0 的根 x 满足（ ）
A．﹣2＜x＜﹣1 或 4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1 或 5＜x＜6
C．﹣1＜x＜0 或 3＜x＜4 D．﹣3＜x＜﹣2 或 4＜x＜5
变式 2：根据下面表格中列出来的数据，判断方程 ax2+bx=1（a≠0，a，b，c 均为常数）的
一个解 x 的取值范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27
ax2+bx﹣1 ﹣0.87 ﹣0.02 0.98 1.02 1.17
A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27
考点 3：解一元二次方程
直接开平方法
例 1、方程（x﹣2）2+4=0 的解是（ ）
A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=0，x2=4 D．没有实数根
变式 1：一元二次方程 x2﹣16=0 的根是（ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=4，x2=﹣4
变式 2：方程（x+5）2=1 的解为 ．
配方法：
例 2、解方程：x2+4x﹣1=0．
变式 1：解方程：x2﹣2x=4．
变式 2：用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．
公式法：
例 3、解方程：x2﹣6x+3=0．
变式 1：解方程：x2﹣5x+3=0．变式 2：解方程：2x2﹣5x﹣1=0．
因式分解法：
例 4、解方程：
（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
（2）x2+4x+3=0．
变式 1：解方程：6x2﹣3x﹣1=2x﹣2．
变式 2：解方程：x2﹣5x﹣6=0．
例 5、解方程：2x2﹣3x+1=0．
变式 1：解方程：2x2﹣7x+3=0
换元法：
例 6：若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则 x2+y2= ．
变式 1：用换元法解（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0，设 x2﹣1=y，则原方程变形成 y 的形式为 ．
变式 2、若（a2+1）2﹣2（a2+1）﹣3=0，则 a2 等于 ．
变式 3：已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，那么 a2+b2= ．
例 7、已知方程 x2﹣7x+12=0 的两根恰好是 Rt△ABC 的两条边的长，则 Rt△ABC 的第三边
长为 ．
变式 1：已知等腰三角形的一边长为 9，另一边长为方程 x2﹣8x+15=0 的根，则该等腰三角
形的周长为 ．
考点 4：一元二次方程根的判别式
例 1、若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范
围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且 k≠1 C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5
变式 1、关于 x 的一元二次方程 x2+ax﹣1=0 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
变式 2、若关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
变式 3、a，b，c 为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是
（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为 0
例 2、已知关于 x 的方程 x2+mx+m﹣2=0．
（1）若此方程的一个根为 1，求 m 的值；
（2）求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
变式 1、关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．
变式 2、已知关于 x 的方程 x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根．
例 3、关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
变式 1、已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+2）x+m2﹣4=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求 m 的值．
变式 2、已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣3x﹣2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为小于 2 的整数，且方程的根都是整数，求 k 的值．
例 4、已知关于 x 的方程 x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5 的值（要求先化简再求值）．
变式 1、已知关于 x 的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0①有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围：
（2）若 m 为整数，且 m＜3，a 是方程①的一个根，求代数式 的值．
变式 2、已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）当 时，求 的值．
考点 5、一元二次方程的实际应用
例 1、受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤 16 元下调到每斤 9
元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x，则根据题意可列方程
为 ．
变式 1、光华机械厂生产某种产品，1999 年的产量为 2000 件，经过技术改造，2001 年的产
量达到 2420 件，平均每年增长的百分率是多少？
例 2、 根据下列问题列方程并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个长方形的长比宽多 1cm，面积是 132cm2，长方形的长和宽各是多少？
（2）参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手 10 次，有多少人参加聚会？
（3）某人在一家银行存款 5 万元，两年后连本带利共得 6.05 万元，问这家银行的年利率为
多少？小明是这样列式的：5×2x=6.05﹣5；小颖是这样列式的：5（1+x）2=6.05．你认为
谁的想法是正确的？为什么？
变式 1、（1）参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 30 场，共有多少
个队参加比赛？（2） 从前一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高
2 尺，有个人教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去，你知
道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
（3）某公司在 2013 年的盈利额为 200 万元，预计 2015 年的盈利额达到 242 万元，若每年
比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
例 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 45 元，为了扩大销售、
增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价
1 元，商场平均每天可多售出 4 件，若商场平均每天盈利 2100 元，每件衬衫应降价多少元？
请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价 x 元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件
（用含 x 的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出 x 的值．
变式 1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增
加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价
一元，市场每天可多售 2 件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大
利润．
例 4、某学校为美化校园，准备在长 35 米，宽 20 米的长方形场地上，修建若干条宽度相同
的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有 3 位同学各设计了一种方案，
图纸分别如图 l、图 2 和图 3 所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图 l，设计草坪的总面积为 600 平方米．
②乙方案设计图纸为图 2，设计草坪的总面积为 600 平方米．
③丙方案设计图纸为图 3，设计草坪的总面积为 540 平方米．
变式 1、在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为多少？
解：设修建的路宽应为 米，余下的面积表示为 米 2，则根据题意得： ．
考点 5：一元二次方程的拓展题目
例 1、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式 y2+4y+8 的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8 的最小值是 4．
（1）求代数式 m2+m+4 的最小值；
（2）求代数式 4﹣x2+2x 的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上建一个长方形花园 ABCD，花园
一边靠墙，另三边用总长为 20m 的栅栏围成．如图，设 AB=x（m），请问：当 x 取何值时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
变式 1、“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配
方法”解决下列问题：
（1）填空：因为 x2﹣4x+6=（x ﹣2 ）2+ 2 ；所以当 x= 2 时，代数式 x2﹣4x+6 有
最 小 （填“大”或“小”）值，这个最值为 2 ．
（2）比较代数式 x2﹣1 与 2x﹣3 的大小．
变式 2、小明遇到下面的问题：
求代数式 x2﹣2x﹣3 的最小值并写出取到最小值时的 x 值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分
析过程如下：
x2﹣2x﹣3
=x2﹣2x+1﹣3﹣1
=（x﹣1）2﹣4
所以，当 x=1 时，代数式有最小值是﹣4．
（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．
①x2﹣2x 的最小值是 ﹣1
②x2﹣4x+y2+2y+5 的最小值是 0 ．
（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：
问题：当 x 为实数时，求 x4+2x2+7 的最小值．
解：∵x4+2x2+7
=x4+2x2+1+6
=（x2+1）2+6
∴原式有最小值是 6
请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．
例 2、阅读下面的例题，
范例：解方程 x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当 x≥0 时，原方程化为 x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当 x＜0 时，原方程化为 x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是 x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
例 3、如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是 Rt△ABC 和 Rt△BED
边长，易知 ，这时我们把关于 x 的形如 的一元二次方程称为“勾
系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 6 ，求△ABC 面积．
例 4、阅读下列材料：求函数 的最大值．
解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 ．
∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为 4．
根据材料给你的启示，求函数 的最小值．
例 5、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式 x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0 可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得 x＞2，
解不等式组②，得 x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2，
即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2．
（1）一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 ；（2）分式不等式 的解集为 ；
（3）解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0．
【模考链接】
一、选择题
1．（2016 北京西城初三一模）关于 x 的一元二次方程 21 3 02 x x k 有两个不相等的实数
根，则 k 的取值范围是（ ）
A． 9
2k B． 9
4k C． 9
2k D． 9
4k
2．（2016 北京顺义初三一模）若关于 x 的一元二次方程 0322 mxx 有两个不相等的
实数根，则 m 的取值范围是
A． 2m B． 4m C． 4m D． 4m
3．（2016 北京平谷初三一模）已知，关于 x 的一元二次方程 22 2 1 0m x x 有实数
根，则 m 的取值范围是
A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3 且 m≠2 D．m≤3 且 m≠2
二、填空题
1．（2016 北京朝阳初三一模）关于 x 的方程 04222 kxx 有两个不相等实数根，写出
一个满足条件的 k 的值：k =____________
2．（2016 北京东城中考二模）关于 x 的一元二次方程 0122 xkx 有两个不相等的实数
根，则 k 的取值范围是 ．
3.（2016 北京丰台初三一模）关于 x 的一元二次方程 x2+ 2 ( m + 1 ) x + m2- 1 = 0 有实
数根，则实数 m 的取值范围是 .
三、解答题
1.（2016 北京通州中考二模）解方程： 14
1
2 2 xx
x
2.（2016 北京石景山中考二模）解方程： 2
2 1 11 1
x x
x x
．3．（2016北京西城初三二模）已知关于x 的方程 2 24 4 9 0x mx m ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 1 2,x x ，其中 1 2x x ．若 1 22 1x x ，求 m的值．
4. （2016 北京通州初三一模）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x k x k k .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为 5 时，求 k 的值.
5. （2016 北京丰台中考二模）已知关于 x 的一元二次方程 0132 mxx 有两个不相
等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为负．整数．．，求此时方程的根．
6．（2016 北京海淀中考二模）已知关于 x 的方程 2 6 7 0x x k 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 为正整数时，求方程的根．
7．（2016 北京燕山初三一模）为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校
决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的 55 台由甲队完成，北楼安装的 50
台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任
务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？
8．（2016北京西城初三二模）列方程或方程组解应用题：
为祝贺北京成功获得2022 年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会
成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4 盒，乙种原料3 盒；
生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000 盒和30000 盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬
奥印”各多少枚？
9．（2016 北京通州初三一模）通州区运河两岸的“运河绿道”和步行道是健身 的主要场地
之一. 杨师傅分别体验了 60 公里的“运河绿道”骑行和 16 公里的健步走，已知骑行的
平均速度是健步走平均速度的 4 倍，结果健步走比骑行多用了 12 分钟，求杨师傅健步走
的平均速度是每小时多少公里？
10．（2016 北京顺义初三二模）某地为了打造风景带，将一段长为 360m 的河道整治任务由
甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 20 天，已知甲工程队每天整治 24m，乙工程队每
天整治 16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
11．（2016 北京顺义初三一模）进入春季，大家都喜欢周末户外踏青郊游，住在顺义同一小
区的大明和小丽都和全家自驾车到金海湖旅游，下图是网上提供的驾车路线方案：实际出行时，大明选择了方案 1，小丽选择了方案 2，小丽平均每小时比大明多行 35 公里，
结果大明所用时间是小丽的 1.5 倍，求两人去金海湖各用了多长时间？
12．（2016 北京平谷初三二模）列方程或方程组解应用题
我区为缓解某景区的交通拥挤状况，区政府对通往景区的道路进行了改造．某施工队承
包道路改造任务共 3300 米，为了减少施工对周边居民及交通的影响，施工队加快了速度，
比原计划每天多改造 10％，结果提前 3 天完成了任务，求原计划每天改造道路多少米？
13.（2016 北京怀柔初三一模）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实
施后，每购买一台，客户可获得 500 元财政补贴．某校用 6 万元购买此款空调，补贴后可购
买的台数是补贴前的 1.2 倍，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？14．（2016 北京海淀中考二模）为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小静经
过 2 个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字，现在读 9100
字的文章与原来读 3500 字的文章所用的时间相同．求小静现在每分钟阅读的字数.
15. （2016 北京丰台中考二模）2016 年 5 月 29 日，北京园博园迎来了“挑战 100，一起跑”
百公里接力路跑赛事，活动里程共 100 公里，采用 10 人×10 公里的方式展开接力竞赛．王
刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共 12 公里．为参加此次活动，
王刚计划加强训练，速度提高到原来的 1.2 倍，结果提前 10 分钟到单位．问王刚原来
每小时跑多少公里？
16．（2016 北京海淀初三一模）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可
以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现小琼步行 12 000 步与小博步行 9
000 步消耗的能量相同.若每消耗 1 千卡能量小琼行走的步数比小博多 10 步，求小博每消耗
1 千卡能量需要行走多少步.
17．（2016 北京朝阳初三二模）每年的 4 月 23 日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园
小区”1 号楼的住户一年内共阅读纸质图书 460 本，2 号楼的住户一年内共阅读纸质图
书 184 本，1 号楼住户的人数比 2 号楼住户人数的 2 倍多 20 人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是
多少本？
18. （2016 北京丰台初三一模）根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到 2020 年底，我
国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的 2 倍. 其中建设城际轨道交通约投入 8000
亿元，客运专线约投入 3500 亿元. 据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需
1.5 亿元. 预计到 2020 年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？
19．（2016 北京东城初三一模）列方程或方程组解应用题：
在“春节”前夕，某花店用 13 000 元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市
场需求情况，该花店又用 6 000 元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一
批所购鲜花的 1
2
，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少 10 元．问第二批鲜花每盒的进价是
多少元？
20.（2016 北京房山初三二模）列方程（组）解应用题：
为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为 9000 元，第二次
捐款总额为 12000 元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多 50 人．求该
校第二次捐款的人数．专题：方程与不等式（1）
【知识梳理】
【方法集会】
本专题主要讲解分式方程与一元二次方程：
5、解分式方程去分母时，所有项都要乘以最简公分母，尤其是整式部分
例： 243
1
x
x
x
x
最简公分母为 )1( xx
常见错误： 2)2)(43(2 xxx
正解： )1(2)2)(43(2 xxxxx
6、解分式方程需要检验
7、增根与无解①如果说分式方程有增根，则增根一定是使分母为 0，可以求出。然后将分式方程化为整式
方程，增根是整式方程的解。
②如果说分式方程无解，则含有两种情况，一种是方程有增根，一种是分式方程化为整式方
程时，整式方程无解。
8、因式分解： cbxax 2 ，若 acb 42 是完全平方数（式），则可以选用因式分解法进行
因式分解。
5、在题目中，如果明确说明是一元二次方程，则二次项系数不为 0.若只是说方程，则需讨
论二次项系数是否为 0.注意严谨审题。
例：（1）若关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
（4）若关于 x 的方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．
（5）若关于 x 的方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有两个实数根，则 a 的取值范围为 ．
7、整数根问题：一般这类问题都是知道一个根为整数，另一个为含字母的式子，讨论字母
的取值来确定方程含有两个整数根。
例：已知：关于 x 的一元二次方程 2 2 2 0kx x k （ 1k ）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当 k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．
分析：
k
kxx 21 21
使方程的两个实数根均为整数，只需让 2x 为整数即可。
kx 212 （分离常数)当 21 kk ， 时，取得整数根。
练习如何分离参数：
1
34
1
m
mx
【考点突破】
考点 1：分式方程的定义
例 1、解：① =5 是整式方程，故①错误；
② +2= 是整式方程，故②错误；
③ 是整式方程，故③错误；
④ 是分式方程，故④正确；
⑤1+ =2﹣ 是分式方程，故⑤正确；⑥ 是分式方程，故⑥正确；
⑦ 是分式方程，故⑦正确；
⑧ 是整式方程，故⑧错误；
⑨ 是分式方程，故⑦正确；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
变式 1、解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程属于无理方程，故本选项正确；
C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
故选：B．
变式 2、解：A、该方程属于整式方程，故本选项错误；
B、该方程属于整式方程，故本选项错误；
C、该方程属于整式方程，故本选项错误；
D、该方程属于分式方程，故本选项正确；
故选：D．
考点 2：解分式方程
例 1、解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
3x+3﹣x﹣3=0，
解得 x=0．
检验：把 x=0 代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=0．
变式 1：解方程： ．
解：方程两边乘（x﹣2）（x+2），
得 x（x+2）﹣8=x﹣2，
x2+x﹣6=0，
（x+3）（x﹣2）=0，
解得 x1=﹣3，x2=2．
经检验：x1=﹣3 是原方程的根，x2=2 是增根．∴原方程的根是 x=﹣3．
变式 2：解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
x（x﹣2）+（x+2）2=8，
x2﹣2x+x2+4x+4=8，
整理得 x2+x﹣2=0．
解得 x1=﹣2，x2=1．
经检验，x2=1 为原方程的根，x1=﹣2 是增根（舍去）．
∴原方程的根是 x=1．
变式 3：解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），
得 2（x﹣1）﹣3（x+1）=6，
∴2x﹣2﹣3x﹣3=6，
∴x=﹣11．
经检验：x=﹣11 是原方程的根．
例 2、解： =1﹣
方程两边同乘以 x﹣2，得
1﹣x=x﹣2﹣3
解得，x=3，
检验：当 x=3 时，x﹣2≠0，
故原分式方程的解是 x=3．
变式 1：解：设 y= ，则原方程化为 y﹣ ﹣2=0，
∴y2﹣2y﹣3=0，
解得：y1=3，y2=﹣1．
当 y1=3 时， =3，解得 x1=﹣ ；
当 y2=﹣1 时， =﹣1，解得 x2=﹣ ．
经检验，原方程的解是 x1=﹣ ，x2=﹣ ．
例 3、解：去分母得：2x﹣2=x+3，
解得：x=5，
经检验 x=5 是分式方程的解．变式 1：解：去分母得：2+2x﹣x=0，
解得：x=﹣2，
经检验 x=﹣2 是分式方程的解．
例 4、解：设 =y，则原方程化为 y= +2y，
解之得，y=﹣ ．
当 y=﹣ 时，有 =﹣ ，解得 x=﹣ ．
经检验 x=﹣ 是原方程的根．
∴原方程的根是 x=﹣ ．
例 5、解：去分母得：（x+k）（x﹣2）﹣k（x+2）=x2﹣4，
整理得：x=2﹣2k，
由 x 为非负数，得到 2﹣2k≥0，即 k≤1，
由 k 为正整数，得到 k=1；
考点 3：增根问题
例 1、解：去分母得：3﹣x﹣a（x﹣2）=﹣2，即（a+1）x=2a+5，
当 a=﹣1 时，显然方程无解；
当 a≠﹣1 时，x= ，
当 x=2 时，a 不存在；
当 x=3 时，a=2，
综上，a 的值为﹣1，2．
变式 1：解：去分母得：x=2x﹣6+k，
解得：x=6﹣k，
由分式方程无解，得到 x﹣3=0，即 x=3，
可得 6﹣k=3，
则 k=3．
例 2、解：方程两边都乘（x﹣2），得
m=1﹣x
∵最简公分母（x﹣2）
∴原方程增根为 x=2，∴把 x=2 代入整式方程，得 m=﹣1．
故选 C．
变式 1：解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得，
2（x+2）+x+m=2（x+2）（x﹣2），
∵原方程增根，
∴x=2 或 x=﹣2，
把 x=2 代入 2（x+2）+x+m=2（x+2）（x﹣2），得 m=﹣10；
把 x=﹣2 代入 2（x+2）+x+m=2（x+2）（x﹣2），得 m=2，
即 m=﹣10 或 2 时，分式方程有增根．
变式 2：解：方程两边都乘以（x﹣2）得，
2﹣x﹣m=2（x﹣2），
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，
解得 x=2，
∴2﹣2﹣m=2（2﹣2），
解得 m=0．
故答案为：0．
考点 4：分式方程的实际应用
例 1、解：设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，由题意得：
= ，
故选：A．
变式 1：解：设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为：
﹣ =1．
故选：A．
例 2、解：设原计划平均每天生产 x 台机器，
根据题意得： = ，
故选：A．
变式 1：解：（1）由题意可得，
把工作总量看作单位 1，设甲队单独完成这项工程需要 x 天，则乙队单独完成这项工程需要（x+6）天，则甲的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ，
故答案为：1，x， ；1，x+6， ；
（2）根据题意及表中所得到的信息列出方程是：（ ）×3+（x﹣3）× =1，
故答案为：（ ）×3+（x﹣3）× =1．
例 3、解：（1）设购买一个甲种足球需 x 元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验 x=50 是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需 50 元，则购买一个乙种足球需 70 元；
（2）设这所学校再次购买 y 个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）
y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买 18 个乙种足球，
答：这所学校最多可购买 18 个乙种足球．
变式 1、解：（1）设乙种牛奶的进价为每件 x 元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得， = ，解得 x=50．
经检验，x=50 是原分式方程的解，且符合实际意义．
（2）设购进乙种牛奶 y 件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得 ，解得 23＜y≤25．
∵y 为整数，
∴y=24 或 25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶 67 件，乙种牛奶 24 件；
方案二：购进甲种牛奶 70 件，乙种牛奶 25 件．
【强化训练】
1、解：由题意可得，﹣ = ，
故选 C．
2、解：设第二组的步行速度为 x 千米/小时，则第一组的步行速度为 1.2x 千米/小时，
第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x；
第二组到达乙地的时间为：7.5÷x；
∵第一组比第二组早 15 分钟（ 小时）到达乙地，
∴列出方程为： ﹣ = = ．
故答案为 D．
3、解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，
根据题意，可列方程： = ，
故选：A．
4、解：设 B 型机器人每小时搬运化工原料 x 千克，则 A 型机器人每小时搬运化工原料（x+40）
千克，
∵A 型机器人搬运 1200 千克所用时间与 B 型机器人搬运 800 千克所用时间相等，
∴ = ．
故选 A．
5．解：根据题意，可列方程： = +5，
故选：B．
6、解：设普通列车的平均行驶速度为 xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，根
据题意，可得： ﹣ =4，故选：B．
7、解：设骑自行车的平均速度为 x 千米/时，则乘汽车的平均速度是 3x 千米/时，
根据题意，可列方程： ﹣ = ，
故选：D．
8．解：设有 xhm2 种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，根据题意得
= ．
9．解：设去年用气价为 x 元，则今年用气价为（1+25%）x 元，由题意得， ﹣ =10．
10、解：设第一批花每束的进价是 x 元/束，
依题意得： ×1.5= ，
解得 x=20．
经检验 x=20 是原方程的解，且符合题意．
答：第一批花每束的进价是 20 元/束．
小专题：一元二次方程
考点 1：一元二次方程的定义
例 1、解：关于 x 的方程中：①ax2+x+2=0，不一定是；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1，是；③
x+3= ，不是；④x2﹣a=0（a 为任意实数），是； ⑤ =x﹣1，不是，
则一元二次方程的个数是 2，
故选 B
变式 1：解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为 0 这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③ +3x﹣5=0 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是 1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有 2 个．
故选：B．
变式 2：解：①x2=0；③ x2﹣3= x 是关于 x 的一元二次方程，共 2 个，
故选：A．
例 2、解：由一元二次方程的定义可知 ，
解得 m=﹣3．
故选 C．
变式 1：解：∵（a﹣3）x +4x+5=0 是关于 x 的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，a2﹣7=2，解得，a=﹣3，
故选：B．
变式 2：解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0 是关于 x 的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
变式 3：解：根据题意得 ，解得 m＞﹣1 且 m≠1．故选 D．
考点 2：一元二次方程的解
例 1、解：把 x=1 代入 x2﹣x﹣m=0 得 1﹣1﹣m=0，
解得 m=0．
故选 B．
变式 1：解：把 x=1 代入 x2﹣（k+2）x+2k=0 得 1﹣（k+2）+2k=0，
解得 k=1．
故答案为 1．
变式 2：解：2x﹣4=0，
解得：x=2，
把 x=2 代入方程 x2+mx+2=0 得：
4+2m+2=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
变式 3：解：∵m 是关于 x 的方程 x2﹣2x﹣3=0 的一个根，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m2﹣2m=3，
∴2m2﹣4m=6，
故答案为：6．
例 2、解：根据表格中的数据，知：方程的一个解 x 的范围是：1＜x＜2，所以方程的其中
一个解的整数部分是 1．故选 D．
变式 1：解：根据表格可知，x2﹣3x﹣5=0 时，对应的 x 的值在﹣2～﹣1 与 4～5 之间．
故选 A．变式 2：解：∵ax2+bx=1，
∴ax2+bx﹣1=0，
由表格可知，x=3.24 时，ax2+bx﹣1=﹣0.02，x=3.25 时，ax2+bx﹣1=0.98，
∴方程 ax2+bx=1（a≠0，a，b，c 均为常数）的一个解 x 的取值范围是 3.24＜x＜3.25，
故选 B．
考点 3：解一元二次方程
直接开平方法
例 1、解：由已知方程得到：（x﹣2）2=﹣4，
∵（x﹣2）2≥0，﹣4＜0，
∴该方程无解．
故选：D．
变式 1：解：x2﹣16=0，
x2=16，
∴x=±4，
即 x1=4，x2=﹣4，
故选：D．
变式 2：解：∵（x+5）2=1
∴x+5=±1
∴x+5=1 或 x+5=﹣1
解得 x1=﹣4，x2=﹣6．
配方法：
例 2、解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ．
变式 1：解：配方 x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+ ，x2=1﹣ ．变式 2：解：2x2﹣3x﹣3=0，
x2﹣ x﹣ =0，
x2﹣ x+ = + ，
（x﹣ ）2= ，
x﹣ =± ，
解得：x1= ，x2= ．
公式法：
例 3、解：这里 a=1，b=﹣6，c=3，
∵△=b2﹣4ac=36﹣12=24，
∴x= =3± ，
则 x1=3+ ，x2=3﹣ ．
变式 1：解：这里 a=1，b=﹣5，c=3，
∵△=25﹣12=13，
∴x= ，
则 x1= ，x2= ．
变式 2：解：2x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，
x= ，
x1= ，x2= ．
因式分解法：
例 4、解：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
解得：x1=1，x2= ；
（2）x2+4x+3=0
（x+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣3．变式 1：解：6x2﹣5x+1=0，
（3x﹣1）（2x﹣1）=0，
3x﹣1=0 或 2x﹣1=0，
所以 x1= ，x2= ．
变式 2：解：x2﹣5x﹣6=0，
∴（x﹣6）（x+1）=0，
∴x﹣6=0 或 x+1=0，
∴x1=6，x2=﹣1．
例 5、解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）=0，
可得 2x﹣1=0 或 x﹣1=0，
解得：x1= ，x2=1．
变式 1：解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）=0
∴2x﹣1=0 或 x﹣3=0，∴ ．
换元法：
例 6：解：设 x2+y2=t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6=0，即（t﹣6）（t+1）=0，
解得，t=6 或 t=﹣1（不合题意，舍去）；
故 x2+y2=6．
故答案是：6．
变式 1：解：由原方程，得
（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0，
设 x2﹣1=y，则原方程变形为：y2﹣2y﹣3=0．
故答案是：y2﹣2y﹣3=0．
变式 2、解：设 a2+1=t（t＞0），则原方程转化为 t2﹣2t﹣3=0，
整理，得（t﹣3）（t+1）=0，
解得 t=3 或 t=﹣1（舍去），
则 a2+1=3，
所以 a2=2．
故答案是：2．变式 3：解：设 a2+b2=t（t≥0），则 t（t﹣2）=8，
整理，得（t﹣4）（t+2）=0，
解得 t=4 或 t=﹣2（舍去），
则 a2+b2=4．
故答案是：4．
例 7、解：方程 x2﹣7x+12=0 的两个根是 3 和 4．也就是 Rt△ABC 的两条边的长是 3 和 4．
当 3 和 4 都是直角边时，第三边= =5．
当 4 为斜边时，第三边= ．故第三边长是 5 或 ．
故答案为：5 或 ．
变式 1：解：由方程 x2﹣8x+15=0 得：（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0 或 x﹣5=0，
解得：x=3 或 x=5，
当等腰三角形的三边长为 9、9、3 时，其周长为 21；
当等腰三角形的三边长为 9、9、5 时，其周长为 23；
当等腰三角形的三边长为 9、3、3 时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为 9、5、5 时，其周长为 19；
综上，该等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23，
故答案为：19 或 21 或 23．
考点 4：一元二次方程根的判别式
例 1、解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5 且 k≠1．
故选 B．
变式 1、解：∵△=a2+4＞0，
∴，方程有两个不相等的两个实数根．
故选 D．
变式 2、解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0 有实数根，
∴a﹣1≠0 即 a≠1，且△≥0，即有△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）=5﹣4a≥0，解得 a≤ ，
∴a 的取值范围是 a≤ 且 a≠1．
故答案为：a≤ 且 a≠1．
变式 3、解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程 ax2+bx+c=0 中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．
故选 B．
例 2、
解：（1）根据题意，将 x=1 代入方程 x2+mx+m﹣2=0，
得：1+m+m﹣2=0，
解得：m= ；
（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
∴不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
变式 1、
解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0 有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，
解得：m＞﹣ ．
（2）m=1，此时原方程为 x2+3x=0，
即 x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=﹣3．
变式 2、解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将 x=1 代入方程 x2+ax+a﹣2=0 得，1+a+a﹣2=0，解得 a= ；
方程为 x2+ x﹣ =0，即 2x2+x﹣3=0，
设另一根为 x1，则1•x1=﹣ ，
解得 x1=﹣ ．
例 3、解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由求根公式，得 x= ，
∴x1= = ，x2= =1；
∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1= =1+ ，必为正整数，
∴m﹣1=1 或 2，
∴m=2 或 m=3．
变式 1、解：（1）∵一元二次方程 x2+（2m+2）x+m2﹣4=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（2m+2）2﹣4×1×（m2﹣4）=8m+20＞0，
∴ ；
（2）∵m 为负整数，
∴m=﹣1 或﹣2，
当 m=﹣1 时，方程 x2﹣3=0 的根为： ， （不是整数，不符合题意，舍去），
当 m=﹣2 时，方程 x2﹣2x=0 的根为 x1=0，x2=2 都是整数，符合题意．
综上所述 m=﹣2．
变式 2、解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣3x﹣2=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且 k≠0，
∴△=9+8k＞0 且 k≠0，
∴ 且 k≠0；
（2）∵k 为小于 2 的整数，由（1）知道 且 k≠0，
∴k=﹣1，k=1，
∴当 k=﹣1 时，方程﹣x2﹣3x﹣2=0 的根﹣1，﹣2 都是整数，
当 k=1 时，方程 x2﹣3x﹣2=0 的根 不是整数不符合题意，综上所述，k=﹣1．
例 4、解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0 是此方程的一个根，
∴把 x=0 代入方程中得到 m（m+1）=0，
∴m=0 或 m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把 m=0 代入 3m2+3m+5 得：3m2+3m+5=5；
把 m=﹣1 代入 3m2+3m+5 得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．
变式 1、解：（1）∵关于 x 的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得，m＞0，且 m≠1；
∴m 的取值范围是：m＞0，且 m≠1；
（2）∵m 为整数，m＜3，
由（1）知，m＞0，且 m≠1；
∴m=2，
∴关于 x 的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0 的解析式是：2x2﹣4x+1=0；
∵a 是方程的一个根，
∴2a2﹣4a+1=0（或者 2a2=4a﹣1）；
∴ =2a2﹣4a+1﹣ +2=0﹣0+2=2，
即 =2．
变式 2、解：（1）根据题意列出方程组
解之得 0≤m＜1 且 m≠ ．（2）∵
∴ = =11﹣2=9
∴ =±3
又由（1）得 m＜1 且 m≠
所以 ＜0
因此应舍去 3
所以 =﹣3
考点 5、一元二次方程的实际应用
例 1、解：第一次降价后的价格为 16（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格
的基础上降低 x，为 16（1﹣x）（1﹣x），
则列出的方程是 16（1﹣x）2=9，
故答案为：16（1﹣x）2=9．
变式 1、解：设平均每年增产的百分率为 x，因为 1999 年的产量为 2000 件，所以 2000 年的
产量为 2000（1+x）件，2001 年的产量为 2000（1+x）2 件，依题意列方程：
2000（1+x）2=2420
解方程得：（1+x）2=1.21
1+x=±1.1
1+x=1.1 或 1+x=﹣1.1
∴x=0.1=10%或 x=﹣2.1（不合题意，舍去）
故增产率为 10%．
答：平均每年增长的百分率为 10%．
例 2、 解：（1）设长方形的长为 xcm，则宽为（x﹣1）cm，
∴x（x﹣1）=132，
即：x2﹣x﹣132=0；
（2）设有 x 人参加聚会，根据题意得：
x（x﹣1）=2×10，
即：x2﹣x﹣20=0．（3）小颖的列式正确．理由如下：
设这家银行的年利率为 x，则
存款 5 万元，一年后，连本带利为 5（1+x）．
两年后，连本带利为 5（1+x）（1+x）=6.05，即 5（1+x）2=6.05．
故小颖的列式正确．
变式 1、
解：（1）设共有 x 个队参加比赛．
由题意得，x（x﹣1）=30．
解得，x1=6，x2=﹣5．
经检验，x1=6 符合题意，x2=﹣5 不符合题意舍去．
∴x1=6．
答：共有 6 个队参加比赛．
（2）∵竹竿的长为 x 尺，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺．
∴门框的长为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，
∴可列方程为（x﹣4）2+（x﹣2）2=x2．
（3）解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x，
由题意得，200×（1+x）2=242，
解得：x=0.1．
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是 0.1．
例 3、解：（1）20×45=900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价 x 元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售
出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故 x=30．
答：每件衬衫应降价 30 元．
变式 1、解：设每件衬衫应降价 x 元，利润为 w 元，
根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，则有 w=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250
即当 x=15 时，w 有最大值，为 1250，
答：每件衬衫应降价 15 元，可获得最大利润，最大利润为 1250．
例 4、解：①设道路的宽为 x 米．依题意得：
（35﹣2x）（20﹣2x）=600；
②设道路的宽为 x 米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600；
③设道路的宽为 x 米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
变式 1、在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若
耕地面积需要 551 米 2，则修建的路宽应为多少？
解：设修建的路宽应为 x 米，余下的面积表示为 30x+20x﹣x2 米 2，则根据题意得：
20×30﹣（30x+20x﹣x2）=551 ．
解：设修建的路宽为 x 米．余下的面积表示为：30x+20x﹣x2 米 2，
则列方程为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）=551，
故答案为：x，30x+20x﹣x2，20×30﹣（30x+20x﹣x2）=551．
考点 5：一元二次方程的拓展题目
例 1、解：（1）m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则 m2+m+4 的最小值是 ；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则 4﹣x2+2x 的最大值为 5；
（3）由题意，得花园的面积是 x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x 的最大值是 50，此时 x=5，
则当 x=5m 时，花园的面积最大，最大面积是 50m2．
变式 1、解：（1）x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，
所以当 x=2 时，代数式 x2﹣4x+6 有最小值，这个最值为 2，
故答案为：﹣2；2；2；小；2；
（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2；
=（x﹣1）2+1＞0，
则 x2﹣1＞2x﹣3．
变式 2、
解：（1）①x2﹣2x=x2﹣2x+1﹣1=（x﹣1）2﹣1，
∴当 x=1 时，代数式 x2﹣2x 有最小值是﹣1；
②x2﹣4x+y2+2y+5=x2﹣4x+4+y2+2y+1=（x﹣2）2+（y+1）2，
∴当 x=2，y=﹣1 时，代数式 x2﹣4x+y2+2y+5 有最小值是 0，
故答案为：①﹣1，②0；
（2）小明的结论错误，
理由：∵x2+1=0 时，x 无解，
∴（x2+1）2+6 最小值不是 6，
∵x2≥0，
∴当 x2=0 时，（x2+1）2+6 最小值是 7．
例 2、解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，
（1）当 x≥1 时，原方程化为 x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．
（2）当 x＜1 时，原方程化为 x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是 x1=1，x2=﹣2．例 3、解：（1）解：当 a=3，b=4，c=5 时
勾系一元二次方程为 3x2+5 x+4=0；
（2）证明：根据题意，得
△=（ c）2﹣4ab=2c2﹣4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 x=﹣1 时，有 a﹣ c+b=0，即 a+b= c
∵2a+2b+ c=6 ，即 2（a+b）+ c=6
∴3 c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC= ab=1．
例 4、解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，
∵x 为实数，
∴△=（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，
∴y≥ ，
因此 y 的最小值为 ．
例 5、解：（1）∵x2﹣16=（x+4）（x﹣4）
∴x2﹣16＞0 可化为
（x+4）（x﹣4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得 x＞4，解不等式组②，得 x＜﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）＞0 的解集为 x＞4 或 x＜﹣4，
即一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 x＞4 或 x＜﹣4．
（2）∵
∴ 或
解得：x＞3 或 x＜1
（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0 可化为
x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
或
解不等式组①，得 0＜x＜ ，
解不等式组②，无解，
∴不等式 2x2﹣3x＜0 的解集为 0＜x＜ ．
模考链接
一、选择题
ADD
二、填空题
1． 1k （
5
2k
的任意实数）
2． 01 kk 且＞
3. -1m ³ ；
三．解答题
1.解方程： 14
1
2 2 xx
x ．解：
1 12 2 2
x
x x x
，
2 1 2 2x x x x ，
2 22 1 4x x x
∴ 3
2x ，
经检验： 3
2x 是原方程的解，
∴原方程的解是 3
2x .
2. 解：去分母得： 2( 1) (2 1) 1x x x x
解得： 2x
经检验， 2x 是原方程的解
∴原方程的解为 2x
3、（1） 036＞ ，∴有两个不等实数根
（2）m=5
4、（1）证明：△= 2 22 1 4k k k
= 2 24 4 1 4 4k k k k
=1 0
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为 5，
∴ 2 25 5(2 1) 0k k k ，
2 9 20 0k k
∴ 1 4k ， 2 5k
5. （1）∵原方程有两个不相等的实数根,
∴ 9 4(1 )m 4 5 0m ，即 5
4m .
（2）∵ m 为负整数，∴ 1m .∴方程为 2 3 2 0x x ，即 ( 1)( 2) 0x x .
解得 1 21, 2x x .
6．解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ 0Δ＞ ．
即 36 4( 7) 0k ．
∴ 2k ．
（2）∵ 2k 且 k 为正整数，
∴ 1k ．
∴ 0862 xx ．
∴ 1 22 4x x ， ．
7．解：设甲队每天安装空气净化器 x 台，则乙队每天安装（x－2）台，
依题意得
2
5055
xx
，
解方程得 x＝22．
经检验，x＝22 是原方程的解且符合实际意义．
x－2＝22－2＝20（台）．
答：甲队每天安装空气净化器 22 台，乙队每天安装 20 台．
8．（2016北京西城初三二模）列方程或方程组解应用题：
为祝贺北京成功获得2022 年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会
成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4 盒，乙种原料3 盒；
生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别
为20000 盒和30000 盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬
奥印”各多少枚？
9．解：设杨师傅健步走的平均速度是每小时 x 公里.
根据题意得： 16 60 12
4 60x x
.
解得： 5x ，
经检验： 5x 是原方程的根且符合实际问题的意义，
答：杨师傅健步走的平均速度是每小时 5 公里.
10．解：设甲工程队整治了 x 米的河道，则乙工程队整治了 (360 )x 米的河道.
根据题意得： 360 2024 16
x x
解得： 120x
∴360 240x
答：甲工程队整治了 120 米的河道，乙工程队整治了 240 米的河道
11．解：设小丽用 x 小时，则大明用 1.5x 小时．
依题意可列：
60 75351.5x x
解得： 1x
经检验： 1x 是原方程的解，且符合题意．
答：小丽用 1 小时，大明用 1.5 小时．
12．解：设原计划每天改造道路 x 米,实际每天改造（1+10％）x 米．
3300 3300 3
1 10x x%
解得 x=100…
经检验 x=100 是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天改造道路 100 米．
13.解：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元,
由题意，得： ,500x
600001.2x
60000
解得：x=3000.
经检验,x=3000 是原方程的解，且符合题意．
答：该款空调补贴前的售价为每台 3000 元．
14．解：设小静原来每分钟阅读 x 个字．
由题意，得
3002
91003500
xx
.
解得 500x .
经检验， 500x 是原方程的解，且符合题意.
∴ 130030050023002 x ．
答：小静现在每分钟阅读 1300 个字.
15. 解：设王刚原来每小时跑 x 公里，则现在每小时跑 1.2 x 公里.
由题意，得12 12 1 .1.2 6x x
解得 12x .
经检验， 12x 是所列方程的解，并且符合实际意义.
答：王刚原来每小时跑 12 公里.
16． 解：设小博每消耗 1 千卡能量需要行走 x 步．
由题意，得
xx
9000
10
12000
.
解得 30x .
经检验， 30x 是原方程的解，且符合题意.
答：小博每消耗 1 千卡能量需要步行 30 步.
17．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为 x 本．
由题意，得 460 2 184 20x x
．
解得 4.6x ．
经检验， 4.6x 是原方程的解，且符合题意
答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为 4.6 本．
18. 解：设到 2020 年底，我国将建设客运专线约 x 公里. 则建设城际轨道交通约 2x 公里.
由题意，得 .5.1=3500+2
8000
xx
解得 5000x .
经检验， 5000x 是原方程的解，且符合题意.
2 10000. x
答：到 2020 年底，我国将建设城际轨道交通约 10000 公里，客运专线约 5000 公里.
19． 解：设第二批鲜花每盒的进价是 x 元.
依题意有
6000 1 13000
2 10x x
.
解得 x=120.
经检验：x=120 是原方程的解，且符合题意．
答：第二批鲜花每盒的进价是 120 元．
20.解：设该校第二次有 x 人捐款，则第一次有（x－50）人捐款.根据题意，得 9000 12000
50x x
.
解这个方程，得 x=200.
经检验，x=200 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
答：该校第二次有 200 人捐款.
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