专题：简单几何
【知识梳理】
【方法集会】
1、正方体展开图：
（1）“1-4-1”型：
（2）“2-3-1”型：
（3）“3-3”型（4）“2-2-2”型
2、三视图的技巧：主俯长对齐，主左高平齐，俯左宽相等。即主视图和俯视图的长要相等，
主视图和左视图的高要相等，左视图和俯视图的宽要相等。
3、相交线与平行线添加辅助线的技巧：
a、缺角补角：
在图形中有三线，但是八角没有显现出来，可以利用延长线段的方法，将八角补齐。
一般这种添加辅助线的方法在折叠问题中使用。
b、缺线补线：
在图形中，如果三线不齐全，可以添线，通常是在转点出添加平行线的方法。
【考点突破】
小专题：投影与视图
考点 1、立体图形与三视图
例 1、从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、如图放置的四个几何体中，主视图是圆形的几何体共有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式 2、下列几何体主视图相同的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
例 2、如图，左边的图形是右边物体的（ ）
A．左视图 B．右视图 C．主视图 D．什么也不是
变式 1、下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式 2、如图中的右图是由四个相同立方体组成的立体图形的主视图和左视图，则原立体图
形不可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
例 3、如图，若干个小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图，则搭建的几何体至少用多少个小正方体（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式 1、由 n 个大小相同的小正方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则 n 的最大
值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
变式 2、用小立方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示，它最少需要立方体个
数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
例 4、下面平面图形中能围成三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
变式 2、分别把下列图形围起来得到的立体图形是圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
考点 2、立体图形与展开图例 1、下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、下列图形是正方体表面积展开图的是（ ）
A． B． C． D．
例 2、小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，（如图所示），则这们礼品盒的平面
展开图是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、一个三面带有标记的正方体，如果把它展开，应是下列展开图形中的（ ）
A． B． C． D．
例 3、如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字
是（ ）
A．的 B．中 C．国 D．梦
变式 1、一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中
与“价”字相对的字是（ ）A．记 B．心 C．间 D．观
变式 2、把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ）
A．祝 B．你 C．顺 D．利
考点 3、中心投影与平行投影
例 1、下列投影一定不会改变△ABC 的形状和大小的是（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC 平行投影面时的平行投影
例 2、太阳发出的光照在物体上是_____，车灯发出的光照在物体上是_____．（ ）
A．中心投影，平行投影 B．平行投影，中心投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
例 3、请指出下列小明的影子，平行投影是 ①② ，中心投影是 ③④ ．
①一个晴天的上午，小明身后的影子；②一个晴天的中午，小明脚下的影子；③夜晚，小明
在路灯下的影子④小明在幻灯机前经过时投在屏幕上的影子．
小专题：直线、射线、线段
考点 1、基本概念的辨析
例 1、下列说法正确的个数是（ ）
（1）射线 AB 和射线 BA 是一条射线
（2）两点之间的连线中直线最短
（3）若 AP=BP，则 P 是线段 AB 的中点
（4）经过任意三点可画出 1 条或 3 条直线．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个变式 1、下列说法错误的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．作射线 OB=3 厘米
D．延长线段 AB 到点 C，使得 BC=AB
变式 2、下列语句中，正确的是（ ）
A．反向延长线段 AB，得到射线 BA
B．延长线段 AB 到点 C，使 BC=AC
C．若 AB=a，则射线 AB=a
D．取直线 AB 的中点 C
例 2、对于线段的中点，有以下几种说法：①若 AM=MB，则 M 是 AB 的中点；②若 AM=MB= AB，
则 M 是 AB 的中点；③若 AM= AB，则 M 是 AB 的中点；④若 A，M，B 在一条直线上，且 AM=MB，
则 M 是 AB 的中点．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②④ D．①②③④
例 3、一条直线上有 n 个不同的点，则该直线上共有线段 条．
变式 1、两条直线相交有 1 个交点，三条直线两两相交有 3 个交点，四条直线两两相交有 6
个交点，n 条直线两两相交有 个交点．
例 4、阅读表：
线段 AB 上的点数 n（包括 A，B 两点） 图例 线段总条数 N
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
6 15=5+4+3+2+1
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数 N 与线段上的点数 n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于 A，B 两地，中途停靠三个站点，
如果任意两站间的票价都不同，问：①有 种不同的票价？②要准备 种车票？（直接写答案）
变式 1、如图所示，线段 AB 上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段 AB 上有 3 个点时，
线段总数共有 3 条，如果 AB 上有 4 个点时，线段总数共有 6 条，如果线段 AB 上有 5 个点时，
线段总数共有 10 条，…
（1）当线段 AB 上有 6 个点时，线段总数共有多少条？
（2）当线段 AB 上有 n 个点时，线段总数共有多少条？（用含 n 的式子表示）
（3）当 n=100 时，线段总数共有多少条？
变式 1、（1）观察思考
如图，线段 AB 上有两个点 C、D，请分别写出以点 A、B、C、D 为端点的线段，并计算图中
共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有 m 个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论
的正确性；
（3）拓展应用
8 位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比
赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
考点 2、直线和线段的性质
例 1、在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1 枚 B．2 枚 C．3 枚 D．任意枚
变式 1、木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数
学道理是（ ）A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线
D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
变式 2、下列现象：
（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．
（2）从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设．
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
例 2、如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，
能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
变式 1、如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长
比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
变式 2、如图，在利用量角器画一个 40°的∠AOB 的过程中，对于先找点 B，再画射线 OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线
段最短．你认为 同学的说法是正确的．
例 3、如图所示，在一条笔直公路 p 的两侧，分别有甲、乙两个村庄，现要在公路 p 上建一
个汽车站，使汽车站到甲、乙两村的距离之和最小，你认为汽车站应该建在 处（填 A
或 B 或 C），理由是 ．
变式 1、阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小聪、小明、小敏三位同学在黑板上分别画出了设计方案：
根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ．
变式 2、画一画
如下图所示，河流在两个村庄 A、B 的附近可以近似地看成是两条折线段（图中 l），A、B
分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向 A、B 两村供水，为了节约建设的费
用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从 B 向河道作垂线交 l 于 P，则点 P 为水泵站的位置．
（1）你是否同意甲的意见？ （填“是”或“否”）；
（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，
并说明作图的依据．
考点 3、两点间的距离
例 1、如图，AB=8cm，AD=BC=5cm，则 CD 等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
变式 1、已知线段 AB，延长 AB 至点 C，使 BC= AB，反向延长 AB 至点 D，使 AD= AB，若
AB=12cm，则 CD= cm．
变式 2、已知线段 AB=6cm，在直线 AB 上画线段 AC=2cm，则线段 BC 的长是（ ）
A．4cm B．3cm 或 8cm C．8cm D．4cm 或 8cm
例 2、如图所示，点 P，Q，C 都在直线 AB 上，且 P 是 AC 的中点，Q 是 BC 的中点，若 AC=m，
BC=n，则线段 PQ 的长为（ ）
A． B． C． D．
变式 1、如图，点 C 在线段 AB 上，点 M、N 分别是 AC、BC 的中点．
（1）若 AC=8cm，CB=6cm，求线段 MN 的长；
（2）若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC+CB=a，其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？写
出你的结论并说明理由；
（3）若 C 为直线 AB 上线段 AB 之外的任一点，且 AC=m，CB=n，则线段 MN 的长为 ．
变式 2、如图，已知点 A、B、C 在同一直线上，M、N 分别是 AC、BC 的中点．（1）若 AB=20，BC=8，求 MN 的长；
（2）若 AB=a，BC=8，求 MN 的长；
（3）若 AB=a，BC=b，求 MN 的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
小专题：角
考点 1、角的度量与换算
例 1、下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°=38°46′48″ B．50°42′=50.7°
C．98°45′+2°35′=101°20′ D．108°18′﹣57°23′=51°55′
变式 1、用“度分秒”来表示：8.31 度= 度 分 秒．
变式 2、把 118°20′42″用度表示为 ．
考点 2、互余与互补
例 1、下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A． B．
C． D．
变式 2、如图，△ABC 是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB 互余的角有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 2、已知∠A=60°，则∠A 的补角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°变式 1、如图，AB、CD 相交于 O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠AOC 与∠BOD 是对顶角 B．∠AOC 与∠COE 互为余角
C．∠BOD 与∠COE 互为余角 D．∠COE 与∠BOE 互为补角
变式 2、如果一个角的补角比它的余角度数的 3 倍少 10°，则这个角的度数是（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
考点 3、角平分线的性质
例 1、如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB 等于
（ ）
A．50° B．75° C．100° D．120°
变式 1、如图，已知直线 AB 和 CD 相交于 O 点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE，∠COF=34°，
则∠BOD 的大小为（ ）
A．22° B．34° C．56° D．90°
例 2、如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D′、C′的位置．若∠
AED′=50°，则∠DEF 等于（ ）A．50° B．65° C．75° D．60°
变式 1、如图所示的是一个长方形纸片 ABCD 沿其上一条线 EF 折叠后的图形，已知∠
BEF=105°，则∠B′EA 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
变式 2、如图，将长方形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠（点 F 在 BC 上，不与 B，C 重合），
使点 C 落在长方形内部点 E 处，若 FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α=90°
D．α随折痕 GF 位置的变化而变化
小专题：相交线与平行线
考点 1、补角、余角、对顶角
例 1、下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
变式 1、如图，∠1 和∠2 是对顶角的图形的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
例 2、如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，∠EOD=70°，则∠BOD 的大小为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
变式 2、一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2= 度．
例 3、如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 把∠BOD 分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC 的对顶角为 ，∠BOE 的邻补角为 ；
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE 的度数．
变式 1、如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O．
（1）写出∠COE 的邻补角；
（2）分别写出∠COE 和∠BOE 的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF 和∠FOC 的度数．
变式 2、如图，已知直线 AB、CD 相交于 O，OE⊥AB，∠1=25°，则∠2= ，∠3= ，
∠4= ．考点 2、垂直、垂线段、点到直线的距离
例 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是边 BC 上一点，且∠ADC=60°，那么下列说法中错
误的是（ ）
A．直线 AD 与直线 BC 的夹角为 60°
B．直线 AC 与直线 BC 的夹角为 90°
C．线段 CD 的长是点 D 到直线 AC 的距离
D．线段 AB 的长是点 B 到直线 AD 的距离
变式 1、在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=2，AC=2 ，BC=4，则点 A 到直线 BC 的距离为 ．
变式 2、如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 ．
例 2、如图，要把池中的水引到 CD 处，可过 A 点引 AB⊥CD 于 B，然后沿 AB 开渠，可使所
开渠道最短，试说明设计的依据： ．
变式 1、如图，城建局在河提上 A 处向河岸修排水渠时，要求施工人员沿与河岸 l 垂直的方
向开挖，以保证管道铺设最省，这种做法的依据是 ．考点 3、平行线的性质与判定
例 1、完成下面的证明：
已知：如图．BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD．
变式 1、如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD．问 CD∥AB 吗？为什么？
例 2、如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理由．变式 1、如图，已知：AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G，∠E=∠1．求证：AD 平分∠BAC．
例 3、已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．
变式 1、如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
例 4、如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠α的度数等于（ ）
A．50° B．60° C．75° D．85°
变式 1、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=（ ）
A．130° B．50° C．65° D．125°
例 5、如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB、∠PCD 的关系，请你从所
得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）变式 1、如图，已知直线 l1∥l2，l3、l4 和 l1、l2 分别交于点 A、B、C、D，点 P 在直线 l3 或 l4
上且不与点 A、B、C、D 重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点 P 在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点 P 在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3 之间的关系；
（3）若点 P 在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3 之间的关系并给予证明．
例 6、如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，∠1 与∠2 互补．
（1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一点，
且 GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH 上一点使∠PHK=∠HPK，作 PQ 平分∠
EPK，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．变式 1、如图 1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足 ，
过 C 作 CB⊥x 轴于 B．
（1）求△ABC 的面积．
（2）若过 B 作 BD∥AC 交 y 轴于 D，且 AE，DE 分别平分∠CAB，∠ODB，如图 2，求∠AED
的度数．
（3）在 y 轴上是否存在点 P，使得△ABC 和△ACP 的面积相等？若存在，求出 P 点坐标；若
不存在，请说明理由．
考点 4、两平行线之间的距离
例 1、如图，A、P 是直线 m 上的任意两个点，B、C 是直线 n 上的两个定点，且直线 m∥n；
则下列说法正确的是（ ）
A．AB∥PC B．△ABC 的面积等于△BCP 的面积
C．AC=BP D．△ABC 的周长等于△BCP 的周长
变式 1、如图，直线 AB∥CD，P 是 AB 上的动点，当点 P 的位置变化时，三角形 PCD 的面积将（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点 P 向左还是向右移动
例 2、如图，直线 a∥b∥c，且 a，b 之间的距离为 1，△ABC 和△CDE 是两块全等的直角三
角形纸板，其中∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=∠DCE=30°，它们的顶点都在平行线上，则 b，c
之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
变式 1、如图，已知 AB∥CD，OA、OC 分别平分∠BAC 和∠ACD，OE⊥AC 于点 E，且 OE=2，
则 AB、CD 之间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例 3、如图，已知，l1∥l2，C1 在 l1 上，并且 C1A⊥l2，A 为垂足，C2，C3 是 l1 上任意两点，点
B 在 l2 上．设△ABC1 的面积为 S1，△ABC2 的面积为 S2，△ABC3 的面积为 S3，小颖认为 S1=S2=S3，
请帮小颖说明理由．变式 1、如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD 面积相等的三角形（不包括
△ABD）有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式 2、如图，已知点 B 在线段 CF 上，AB∥CD，AD∥BC，则 S△AEF 与 S△BCE 的大小关系 ．
例 4、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好
线”：如图①在四边形 ABCD 中，取对角线 BD 的中点 O，连接 OA、OC．显然，折线 AOC 能
平分四边形 ABCD 的面积，再过点 O 作 OE∥AC 交 CD 于 E，则直线 AE 即为一条“好线”．
（1）试说明直线 AE 是“好线”的理由；
（2）如图②，AE 为一条“好线”，F 为 AD 边上的一点，请作出经过 F 点的“好线”，并对画图
作适当说明（不需要说明理由）．
变式 1、（1）观察发现：
如图（1），已知直线 m∥n，点 A、B 在直线 n 上，点 C、P 在直线 m 上，当点 P 在直线 m上移动到任意一位置时，总有 与△ABC 的面积相等．
（2）实践应用
①如图（2），在△ABC 中，已知 BC=6，且 BC 边上的高为 5，若过 C 作 CE∥AB，连接 AE，
BE，则△BAE 的面积= ；
②如图（3），A、B、E 三点在同一直线上，四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是邻边相等的平
行四边形，若 AB=5，AC=4，求△ACF 的面积．
（3）拓展延伸
如图（4），在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，AB≠CD，且 S△ABC＜S△ACD，过点 A 画一条
直线平分四边形 ABCD 面积（简单介绍作法，不必说明理由）
【模考链接】
1.（2016 北京东城初三一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°
时，∠1=（ ）
A．52° B．38° C．42° D．62°
2．（2016 北京房山初三一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D 在 AC 边上，DE∥AB，
如果∠ADE=46°，那么∠B 等于A．34° B．54° C．46° D．44°
A
B
E
D
C
4 题图
3.（2016 北京丰台初三一模）如图，直线 AB∥CD，BE 平分∠ABC，交 CD 于点 D，
∠CDB=30°，那么∠C 的度数为
A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°
4.（2016 北京丰台中考二模）将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于
A. 90° B. 75°
C. 60° D. 45°
5．（2016 北京海淀初三一模） 如图，等腰直角三角板的顶点 A，C 分别在直线 a ，b 上．若
a ∥b ， 1=35 ，则 2 的度数为
A．35 B．15
C．10 D． 5
6、（2016 北京怀柔初三二模）如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1 等于
（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°
7.（2016 北京怀柔初三一模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，
∠2=50°，则∠3 的度数为
A．50° B. 40° C．30° D．20°
8．（2016 北京平谷初三二模）如图，直线 a∥b，直线 l 分别与直线 a，b 相交于点 P，Q，
PM 垂直于 l，若∠1=58°，则∠2 的度数为
A．58° B．90° C．32° D．38°
9．（2016 北京平谷初三一模）如图，直线 a // b，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则∠1 的度数为
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．（2016 北京石景山初三一模）如图，直线 m∥n，△ABC 的顶点 B，C 分别在直线 n，m
上，且∠ACB= 90°，若∠1= 40°，则∠2 的度数为
A．140° B．130° C．120° D．110°11．（2016 北京通州初三一模）如图，把含有 45角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形
纸条的对边上．如果∠1= 20，那么∠2 的度数是
A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
12、（2016 北京通州中考二模）将一副三角板如图放置，使点 D 落在 AB 上，如果 EC//AB，
那么∠DFC 的度数为
A. 45° B. 50°
C. 60° D. 75°
A BD
E C
F
13.（2016 北京西城初三一模）如图，直线 AB CDP ，直线 EF 分别与 AB ，CD 交于点 E ，
F ， FP EF ，且与 BEF 的平分线交于 P ，若 1 20 ，则 2 的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
14.（2016 北京燕山初三一模）如图，直线 m∥n，1＝70，∠2＝30，则∠A 等于
A．30° B．35° C．40° D．50°专题：简单几何
考点突破：
小专题：投影与视图
考点 1、立体图形与三视图
例 1、解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，故选：A．
变式 1、解：圆柱的主视图是矩形，圆柱体的主视图是三角形，球体的主视图是圆形，正方
体的主视图是正方形．
故选：A．
变式 2、解：①正方体的主视图是正方形；
②圆锥的主视图是三角形；
③三棱台的主视图是梯形；
④正四棱锥的主视图是三角形．
主视图相同的是②和④．
故选：D．
例 2、解：三视图如下：
故选 C．
变式 1、解：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，它的主视图与俯视图不同；
圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图式圆，它的主视图与俯视图不同；
球体的三视图均为圆，故它的主视图和俯视图相同；
正方体的三视图均为正方形，故它的主视图和俯视图也相同；
所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥，故选 B．
变式 2、解：①主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形；
②主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形；
③主视图左往右 2 列正方形的个数均依次为 1，2，不符合所给图形；
④主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形．
故选 C．
例 3、解：主视图的小立方体搭成 3 层，而俯视图共有 4 个小正方形．所以搭建这样的几何
体至少用 7 个．故选 C．
变式 1、解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有 2 层，3 列，最底层最多有 3×3=9 个正方体，第二层有 4 个正方体，则搭成
这个几何体的小正方体的个数最多是 9+4=13 个；故选 C．
变式 2、解：由俯视图易得最底层有 7 个小立方块，由主视图可得第二层最少有 2 个小立方
块，第三层最少有 1 个小立方块，则搭成这个几何体最少需要 7+2+1=10 个小立方块．故选B．
例 4、解：A、能围成三棱柱，故选项正确；
B、折叠后有两个面重合，不能围成三棱柱，故选项错误；
C、不能围成三棱柱，故选项错误；
D、折叠后有两个侧面重合，不能围成三棱柱，故选项错误．
故选：A．
变式 1、解：A、折叠后少一面，故本选项错误；
B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；
C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；
D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．
故选 C．
变式 2、解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，选项 C 满足要求，故选 C．
考点 2、立体图形与展开图
例 1、A．可以作为一个正方体的展开图，
B．可以作为一个正方体的展开图，
C．不可以作为一个正方体的展开图，
D．可以作为一个正方体的展开图，
故选；C．
变式 1、解：A、无法围成立方体，故此选项错误；
B、无法围成立方体，故此选项错误；
C、无法围成立方体，故此选项错误；
D、可以围成立方体，故此选项正确．
故选：D．
例 2、解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
观察各选项，A、C、D 都有同一个图案是相邻面，只有 B 选项的图案符合．故选 B．
变式 1、解：A、三角形和正方形是对面，不符合题意；
B、不符合题意；
C、三角形和正方形是对面，不符合题意；
D、符合题意．
故选 D．
例 3、解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“们”与“中”是相对面，
“我”与“梦”是相对面，
“的”与“国”是相对面．
故选：D．
变式 1、解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“价”与“记”是相对面，
“值”与“间”是相对面，
“观”与“心”是相对面，故选 A．
变式 2、解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，
面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对．故选 C．
考点 3、中心投影与平行投影
例 1、解：一定不会改变△ABC 的形状和大小的是当△ABC 平行投影面时的平行投影，
故选：D．
例 2、解：∵太阳发出的光是平行光线，灯发出的光线是不平行的光线，
∴太阳发出的光照在物体上是平行投影，车灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选 B．
例 3、解：∵①一个晴天的上午，小明身后的影子；
②一个晴天的中午，小明脚下的影子都是太阳形成的影子，故属于平行投影；
③夜晚，小明在路灯下的影子④小明在幻灯机前经过时投在屏幕上的影子，都是灯光形成的
影子，故属于中心投影，
得到平行投影是：①②，投影为中心投影的为③④．
故答案为：①②，③④．
小专题：直线、射线、线段
考点 1、基本概念的辨析
例 1、解：（1）射线 AB 和射线 BA 是一条射线，说法错误；
（2）两点之间的连线中直线最短，说法错误；
（3）若 AP=BP，则 P 是线段 AB 的中点，说法错误；
（4）经过任意三点可画出 1 条或 3 条直线，说法正确；故选：A．
变式 1、解：A、两点之间线段最短，正确，不合题意；
B、两点确定一条直线，正确，不合题意；
C、作射线 OB=3 厘米，错误，射线没有长度，符合题意；
D、延长线段 AB 到点 C，使得 BC=AB，正确，不合题意；
故选：C．
变式 2、解：A、反向延长线段 AB，得到射线 BA，正确；
B、延长线段 AB 到点 C，使 BC=AB，错误；
C、射线不能用一个小写字母表示，错误；
D、取线段 AB 的中点 C，直线不能取中点，错误；
故选 A
例 2、解：①若 AM=MB，则 M 是 AB 的中点；错误，因为点 A，B，M 要在一条直线上，
②若 AM=MB= AB，则 M 是 AB 的中点；正确，
③若 AM= AB，则 M 是 AB 的中点；错误，
④若 A，M，B 在一条直线上，且 AM=MB，则 M 是 AM 的中点．正确．
所以正确的有②④．
故选：B．
例 3、解：当直线上有三个不同点，共有线段 3 条，当直线上有四个不同的点，共有线段 6条，所以一条直线上有 n 个不同的点时共有线段 n（n﹣1）条，故答案为： n（n﹣1）
变式 1、解：如图（1），可得三条直线两两相交，最多有 3 个交点；
如图（2），可得 4 条直线两两相交，最多有 6 个交点；
∵ =3， =6；
∴可得，n 条直线两两相交，最多有 个交点（n 为正整数，且 n≥2）．
故答案为： ．
例 4、解：（1）由表格可知：点数 n 时，N=（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1= ，
（2）由题意可知：n=5，
∴N=10，
由于客车是往返行使，故准备 2×10=20 种车票．
故答案为：10；20
变式 1、解：（1）AB 上有 3 个点时，线段总数共有 3= 条；
AB 上有 4 个点时，线段总数共有 6= 条；
AB 上有 5 个点时，线段总数共有 10= 条；
…
AB 上有 n 个点时，线段总数共有： ，
故当线段 AB 上有 6 个点时，线段总数共有 =15 条；
（2）当线段 AB 上有 n 个点时，线段总数共有： ；
（3）当 n=100 时，线段总数共有 =4950 条．
变式 1、解：（1）∵以点 A 为左端点向右的线段有：线段 AB、AC、AD，
以点 C 为左端点向右的线段有线段 CD、CB，
以点 D 为左端点的线段有线段 DB，
∴共有 3+2+1=6 条线段；
（2） ，理由：设线段上有 m 个点，该线段上共有线段 x 条，
则 x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有 x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），
∴2x= =m（m﹣1），
∴x= ；
（3）把 8 位同学看作直线上的 8 个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上 8 个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行 =28 场比赛．
考点 2、直线和线段的性质
例 1、解：∵两点确定一条直线，
∴至少需要 2 枚钉子．
故选 B．
变式 1、解：在木板两端用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是两点确定一条直
线．故选：A．
变式 2、
解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设，根据是两点之间线段最短；
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一
条直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故选：B．
例 2、解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定
一条直线．故选：A．
变式 1、解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶
的周长要小，∴线段 AB 的长小于点 A 绕点 C 到 B 的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选 D．
变式 2、解：在利用量角器画一个 40°的∠AOB 的过程中，对于先找点 B，再画射线 OB 这一
步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最
短．你认为 喜羊羊同学的说法是正确的，故答案为：喜羊羊．
例 3、解：汽车站应该建在 B 处，理由是两点之间线段最短．
故答案为：B；两点之间线段最短．
变式 1、解：∵AD+BD＞AB，小聪方案中 AC＜小敏的方案中 AC
∴小聪同学的方案最节省材料，
理由是两点之间线段最短；点到直线垂线段最短．
故答案为：小聪；两点之间线段最短；点到直线垂线段最短．变式 2、解：（1）否；
（2）连接 AB，交 l 于点 Q，
则水泵站应该建在点 Q 处；
依据为：两点之间，线段最短．
考点 3、两点间的距离
例 1、解：∵AB=8cm，AD=5cm，
∴BD=AB﹣AD=3cm，
∵BC=5cm，
∴CD=CB﹣BD=2cm，
故选：B．
变式 1、解：如图
∵AB=12cm，∴BC= AB=8cm，AD= AB=3cm，
∴CD=DA+AB+BC=3+12+8=23cm．
变式 2、解：如上图所示，可知：
①当点 C 在线段 AB 上时，BC=AB﹣AC=4；
②当点 C 在线段 BA 的延长线上时，BC=AB+AC=8．故选 D．
例 2、解：∵P 是 AC 的中点
∴PC= AC
∵Q 是 BC 的中点
∴CQ= BC
若 AC=m，BC=n
则 PQ=PC+CQ= AC+ BC=
故选 C．
变式 1、解：（1）MN=MC+CN= AC CB=7cm；
（2）MN=MC+CN= AC = ；
（3）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，MN= （m﹣n）；当点 C 在线段 BA 的延长线上时，MN= （n﹣m）；
综合以上情况得：MN= ．
变式 2、解：（1）∵AB=20，BC=8，
∴AC=AB+BC=28，
∵点 A、B、C 在同一直线上，M、N 分别是 AC、BC 的中点，
∴MC= AC=14，NC= BC=4，
∴MN=MC﹣NC=14﹣4=10；
（2）根据（1）得 MN= （AC﹣BC）= AB= a；
（3）根据（1）得 MN= （AC﹣BC）= AB= a；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段 NM 始终等于线段 AB 的一半，与 B 的点的位置无
关．
小专题：角
考点 1、角的度量与换算
例 1、解：A、38.78°=38°46′48″，故 A 正确；
B、50°42′=50.7°，故 B 正确；
C、98°45′+2°35′=101°20′，故 C 正确；
D、108°18′﹣57°23′=50°55′，故 D 错误；故选：D．
变式 1、解：∵0.31°=0.31×60′=18.6′，0.6×60″=36″，
∴8.31°=8°18′36″．
故答案为 8、18、36．
变式 2、解：把 118°20′42″用度表示为 118.345°，故答案为：118.345°．
考点 2、互余与互补
例 1、解：∵三角形的内角和为 180°，
∴选项 B 中，∠1+∠2=90°，即∠1 与∠2 互为余角，故选 B．
变式 1、解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选 C．变式 2、解：∵CD 是 Rt△ABC 斜边上的高，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A 互余的角有∠B 和∠ACD 共 2 个．
故选 B．
例 2、解：设∠A 的补角为∠β，则∠β=180°﹣∠A=120°．故选 C．
变式 1、解：A、∵AB、CD 相交于 O，∴∠AOC 与∠BOD 是对顶角，本选项正确；
B、∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠AOC 与∠COE 互为余角，本选项正确；
C、∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，且∠AOC 与∠COE 互为余角，∴∠BOD 与∠COE 互为余角，本
选项正确；
D、∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE 与∠DOE 互为补角，本选项错误．故选 D．
变式 2、解：设这个角为 x，
由题意得，180°﹣x=3（90°﹣x）﹣10°，
解得 x=40°．
故选 D．
考点 3、角平分线的性质
例 1、解：∵OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，∠COD=25°，
∴∠AOD=∠COD=25°，∠AOB=2∠AOC，
∴∠AOB=2∠AOC=2（∠AOD+∠COD）=2×（25°+25°）=100°，
故选：C．
变式 1、解：∵∠COE 是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选 A．
例 2、解：∵∠AED′=50°，
∴∠DED′=180°﹣∠AED′=180°﹣50°=130°，
∵长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF= ∠∠DED′= ×130°=65°．
故选 B．
变式 1、解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=∠B=90°，
∵∠BEF=105°，
∴∠CFE=75°，
由折叠的性质得到∠FEB′=∠BEF=105°，
∵AD∥CD，
∴∠AEF=∠CFE=75°，
∴∠B′EA=30°，
故选 B．
变式 2、解：∵∠CFG=∠EFG 且 FH 平分∠BFE．
∠GFH=∠EFG+∠EFH
∴∠GFH=∠EFG+∠EFH= ∠EFC+ ∠EFB= （∠EFC+∠EFB）= ×180°=90°．
故选 C．
小专题：相交线与平行线
考点 1、补角、余角、对顶角
例 1、解：A、∠1 与∠2 不是对顶角，故此选项错误；
B、∠1 与∠2 不是对顶角，故此选项错误；
C、∠1 与∠2 是对顶角，故此选项正确；
D、∠1 与∠2 不是对顶角，故此选项错误；
故选：C．
变式 1、解：只有图③中的两个角是对顶角；
故选：A．
例 2、解：∵∠EOD=70°，
∴∠EOC=180°﹣70°=110°，
∵OA 平分∠EOC，
∴∠AOC= ∠EOC=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°；
故选：D．
变式 2、解：如图，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：90．
例 3、解：（1）∠AOC 的对顶角为∠BOD，∠BOE 的邻补角为∠AOE；
（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD 及∠BOE：∠EOD=2：3，
∴得 ，
∴ ，
∴∠BOE=28°，
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．
变式 1、解：（1）∠COE 的邻补角为∠COF 和∠EOD；
（2）∠COE 和∠BOE 的对顶角分别为∠DOF 和∠AOF；
（3）∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
变式 2、解：由对顶角相等得∠3=∠1=25°，
由邻补角得∠2=180°﹣∠1=180°﹣25°=155°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣25°=65°，
故答案为：155，25，65．考点 2、垂直、垂线段、点到直线的距离
例 1、解：A、∵∠CDA=60°，∴直线 AD 与直线 BC 的夹角是 60°，正确，故本选项错误；
B、∵∠ACD=90°，∴直线 AC 与直线 BC 的夹角是 90°，正确，故本选项错误；
C、∵∠ACD=90°，∴DC⊥AC，∴线段 CD 的长是点 D 到直线 AC 的距离，正确，故本选项错
误；
D、∵BD 和 AD 不垂直，∴线段 AB 的长不是点 B 到直线 AD 的距离，错误，故本选项正确；
故选 D．
变式 1、解：设点 A 到直线 BC 的距离为 h，
根据三角形的面积公式可知， ×2×2 = ×4×h，
解得，h= ，
故答案为： ．
变式 2、
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D．
∵AC=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=6，
在 Rt△AEB 中， = =8，
由三角形的面积公式可知： ，即： ，
∴BD=9.6．故答案为：9.6．
例 2、解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
变式 1、解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
所以要求施工人员沿与河岸 l 垂直的方向开挖，以保证管道铺设最省，这种做法的依据是垂
线段最短．
考点 3、平行线的性质与判定
例 1、证明：∵DE 平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE 平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
变式 1、
解：CD∥AB．
证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∵∠ACE=136°，
∴∠ACD=360°﹣136°﹣90°=134°，
∵∠BAF=46°，
∴∠BAC=180°﹣∠BAF=180°﹣46°=134°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB．
例 2、解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．
∴∠2=∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）变式 1、解：∵AD⊥BC 于 D，EG⊥BC 于 G （已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）．
∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠1（已知）
∴∠2=∠3，（等量代换）．
∴AD 平分∠BAC．（角平分线的定义）
例 3、证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠3，
∵∠1=∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E=∠3，
∴∠A=∠EBC=∠E．
变式 1、证明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠FPA=∠EAP，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
例 4、解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=30°，
∴2α+30°=180°，
∴α=75°，
故选 C．变式 1、解：
根据题意得∠DMN=∠ANM，即 2∠1=130°，
解得：∠1=65°．
故选 C．
例 5、解：如图：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
证明：过点 P 作 PF∥AB，则 AB∥CD∥PF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；
（4）∵AB∥CD，
∴∠POB=∠PCD，
∵∠POB 是△AOP 的外角，
∴∠APC+∠PAB=∠POB，
∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，
∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．
变式 1、
证明：（1）过 P 作 PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过 P 作直线 PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过 P 作 PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
例 6、解：（1）如图 1，∵∠1 与∠2 互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）如图 2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即 EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；（3）∠HPQ 的大小不发生变化，理由如下：
如图 3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．
∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．
∵PQ 平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，
∴∠HPQ 的大小不发生变化，一直是 45°．
变式 1、解：（1）∵（a+2）2+ =0，
∴a=2=0，b﹣2=0，
∴a=﹣2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC 的面积= ×2×4=4；
（2）解：∵CB∥y 轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过 E 作 EF∥AC，如图①，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE 分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2= （∠CAB+∠ODB）=45°；
（3）解：①当 P 在 y 轴正半轴上时，如图②，
设 P（0，t），
过 P 作 MN∥x 轴，AN∥y 轴，BM∥y 轴，
∵S△APC=S 梯形 MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4，
∴ ﹣t﹣（t﹣2）=4，解得 t=3，
②当 P 在 y 轴负半轴上时，如图③
∵S△APC=S 梯形 MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4
∴ +t﹣（2﹣t）=4，解得 t=﹣1，
∴P（0，﹣1）或（0，3）．
考点 4、两平行线之间的距离
例 1、解：AB 不一定平行于 PC，A 不正确；
∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC 的面积等于△BCP 的面积，B 正确；
AC 不一定等于 BP，C 不正确；
△ABC 的周长不一定等于△BCP 的周长，D 不正确，
故选：B．
变式 1、解：设平行线 AB、CD 间的距离为 h，
则 S△PCD= CD•h，∵CD 长度不变，h 大小不变，
∴三角形的面积不变．
故选 C．
例 2、解：∵a，b 之间的距离为 1，∠BAC=∠DCE=30°，
∴AB= = ，
∵△ABC 和△CDE 是两块全等的直角三角形纸板，
∴CD=AB= ，
故选；C．
变式 1、解：作 OF⊥AB，延长 FO 与 CD 交于 G 点，
∵AB∥CD，∴FG 垂直 CD，
∴FG 就是 AB 与 CD 之间的距离．
∵∠ACD 平分线的交点，OE⊥AC 交 AC 于 E，
∴OE=OF=OG，
∴AB 与 CD 之间的距离等于 2OE=4．
故选 B．
例 3、解：∵直线 l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 的底边 AB 上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 这 3 个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3 这些三角形的面积相等．
即 S1=S2=S3．
变式 1、解：∵AB∥DC，
∴△ABC 与△ABD 的面积相等，
∵AE∥BD，
∴△BED 与△ABD 的面积相等，
∵ED∥BC 找不到与△ABD 等底等高的三角形，
∴和△ABD 的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共 2 个．故选 B．
变式 2、解：连接 BD，
∵BC∥AD，
∴点 F 与点 B 到 AD 的距离相等，
∴S△AFD=S△ABD，
∴S△AFD﹣S△AED=S△ABD﹣S△AED，
即 S△AEF=S△BED，
∵AB∥CD，
∴点 D 与点 C 到 AB 的距离相等，
∴S△BCE=S△BED，
∴S△AEF=S△BCE．
故答案为：相等．
例 4、解：（1）
因为 OE∥AC，
所以 S△AOE=S△COE，
所以 S△AOF=S△CEF，
又因为，折线 AOC 能平分四边形 ABCD 的面积，
所以直线 AE 平分四边形 ABCD 的面积，即 AE 是“好线”．
（2）连接 EF，过 A 作 EF 的平行线交 CD 于点 G，连接 FG，则 GF 为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG．
设 AE 与 FG 的交点是 O．
则 S△AOF=S△GOE，
又 AE 为一条“好线”，所以 GF 为一条“好线”．变式 1、解：（1）∵如图（1），直线 m∥n，
∴△APB 与△ABC 是同底等高的三角形，
∴S△APB=S△ABC；
故答案是：△APB；
（2）①如图（2），∵在△ABC 中，已知 BC=6，且 BC 边上的高为 5，
∴S△ABC= ×6×5=15．
又∵CE∥AB，
∴△ABC 与△BAE 是同底等高的两个三角形．
S△BAE=S△ABC=15；
故答案是：15；
②如图（3），过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，连接 BF．
∵AB=BC，
∴AH= AC=2．
在直角△AHB 中，BH= = = ．
∴S△ABC= ×4× =2 ．
∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是邻边相等的平行四边形，
∴AC∥BF，
∴S△ACF=S△ABC=2 ．
（3）如图所示．
过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC 和△AEC 的公共边 AC 上的高也相等，∴有 S△ABC=S△AEC，
∴S 四边形 ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与 CD 相交，取 DE 中点 F，则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面积
等分线．
四、模考链接
1-5ADCBC
6-10ADCCB
11-14BDAC
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