专题：圆（2）
【知识梳理】
【方法集会】常见解直角三角形的模型：常见相似的模型
【考点突破】
考点一：切线的性质与判定
例 1、 已知点 到直线 的距离为 ，以点 为圆心， 为半径作 ．
（1）若 与 相切，则 的值为 ；
（2）若 与 相离，则 的值的取值范围为 ；（3）若 与 相交，则 的值的取值范围为 ．
变式 1： 在平面直角坐标系中，以点 为圆心、 为半径的圆，一定 ( )
A. 与 轴相切，与 轴相切 B. 与 轴相切，与 轴相交
C. 与 轴相交，与 轴相切 D. 与 轴相交，与 轴相交
变式 2：已知 的半径 ，设圆心 到一条直线的距离为 ，圆上到这条
直线的距离为 的点的个数为 ，给出下列命题：其中正确命题的个数是
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ；
⑤若 ，则 ．
A. B. C. D.
例 2、如图， 是 的切线，切点为 ， 交 于点 ，点 在
上，若 ，则 等于
A. B. C. D.
变式 1：如图， 是 的弦， 的延长线交过点 的 的切
线于点 ，如果 ，则 的度数是
A. B. C. D.变式 2：如图， 是 的直径，直线 切 于 点 ，若
，则 ( )
A. B.
C. D.
变式 3、如图， 为 的直径 延长线上一点， 与 相切，切
点为 ，点 是 上一点，连接 ．已知 ．下列结论：
① 与 相 切 ； ② 四 边 形 是 菱 形 ； ③ ； ④
．其中正确的个数是
A. B. C. D.
例 3．如图，△ABC 中，∠A=60°，BC=6，它的周长为 16．若⊙O 与 BC，AC，AB 三边分别切
于 E，F，D 点，则 DF 的长为（ ）
变式 1．如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，已知 PA=7cm，
则△PCD 的周长等于 cm．变式 2．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，AB=10，BC=9，AC=7，则
AD= ．
例 4、 下列命题正确的是
①与圆有公共点的直线是该圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；
④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
变式 1：下列说法中，正确的是
A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆的切线垂直于圆的半径
C. 切线垂直于半径 D. 经过切点的半径垂直于切线
例 5、如图， ， 为 上一点，且 ，以点 为圆心，半径
为 的圆与 的位置关系是
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 以上三种情况均有可能变式 1：如图， 是 的直径， 交 于点 ， 于点 ，
要使 是 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是 ( )
A. B. C. D.
变式 2：如图， 是 上一点， 是 外一点，连接 交 于点
， ， ， ，则 与 的位置关系是
例 6、已知：如图， 内接于 ，过 点作直线 ，当
时，试确定直线 与 的位置关系，并证明你的结论．变式 1：如图， 为 上一点，点 在直径 的延长线上，且
．
Ⅰ 求证： 是 的切线；
Ⅱ 过点 作 的切线交 的延长线于点 ，若 ，
，求 的长．（选讲）
变式 2：如图，在 中， ，以 为直径的 与边 交
于点 ，过点 的直线交 边于点 ， ．
Ⅰ 证明： 是 的切线；
Ⅱ 若 的半径 ， ，求线段 的长．（选讲）
例 7、如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 分别于 BC，AC 相交于点 D，E，BD=CD，过点
D 作⊙O 的切线交边 AC 于点 F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O 的半径为 5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）．变式 1．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交线段 BC，AC 于点 D，E，过
点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，线段 FD，AB 的延长线相交于点 G．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若 CF=1，DF= ，求图中阴影部分的面积．
例 8、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PB、AB，∠PBA=
∠C．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）连接 OP，若 OP∥BC，且 OP=8，⊙O 的半径为 2 ，求 BC 的长．变式 1: 如图 1，在△APE 中，∠PAE=90°，PO 是△APE 的角平分线，以 O 为圆心，OA 为半
径作圆交 AE 于点 G．
（1）求证：直线 PE 是⊙O 的切线；
（2）在图 2 中，设 PE 与⊙O 相切于点 H，连结 AH，点 D 是⊙O 的劣弧 上一点，过点 D
作⊙O 的切线，交 PA 于点 B，交 PE 于点 C，已知△PBC 的周长为 4，tan∠EAH= ，求 EH
的长．
考点二：圆的综合题
【解直角三角形】例 1、如图， 是 的直径， 为 上一点，过点 作 的
切线，交 延长线于点 ，连接 ，过点 作 ，交 的延
长线于点 ，连接 ．
Ⅰ 求证：直线 是 的切线；
Ⅱ 若 ， ，求 的长．
变式 1： 如图，在 中， ，以 边为直径作 交 边于点 ，过
点 作 于点 ， ， 的延长线交于点 ．
Ⅰ 求证： 是 的切线；
Ⅱ 若 ，且 ，求 的半径与线段 的长．变式 2：如图， 是 的直径， 交 于点 ， 为 的中
点，连接 交 于点 ，作 ，垂足为 ，连接 ，且
．
Ⅰ 求证： 为 的切线；
Ⅱ 若 ，求 的长．
【相似三角形】
例 3、如图，在 中， ， 是 的平分线，点 在
上， 经过 ， 两点，交 于点 ．
Ⅰ 求证： 是 的切线；
Ⅱ 若 ， ，求 的长．变式 1: 如图， 中， ， 平分 交 于点 ．点
在 上， 于点 ．
Ⅰ 求证： 是 外接圆的切线；
Ⅱ 若 ， ，求 的长．
变式 2：如图， 中， ， 为 上一点，以 为直径的
交 于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
．
Ⅰ 判断 与 的位置关系，并说明理由；
Ⅱ 若 ， ，求 的长．
【模考链接】
1.（2016 朝阳初三二模）如图，O 是∠MAN 的边 AN 上一点，以 OA 为半径作⊙O，交∠MAN
的平分线于点 D，DE⊥AM 于 E．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接 OE，若∠EDA=30º，AE=1，求 OE 的长．
2.（2016 朝阳初三一模）．如图，点 D 在⊙O 上，过点 D 的切线交直径 AB 延长线于点 P，DC
⊥AB 于点 C．
(1) 求证：DB 平分∠PDC；
(2) 若 DC=6， 3tan 4P ，求 BC 的长．
3.（2016 东城初三一模） 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于点
D，DE⊥PO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线．
（2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长．4.（2016 东城二模）如图，在△ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，
E，BC 的延长线与⊙O 的切线 AF 交于点 F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若 AC= 2 10 ， 10sin 10CAF ，求 BE 的长．
5.（2016 丰台一模） 如图，在△ABC 中， ACAB ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC ，BC
于点 D ， E ，过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F ．
（1）求证： 1
2CBF CAB ；
（2）连接 BD，AE 交于点 H，若 5AB ，
2
1tan CBF
求 BH 的长。6.（2016 丰台二模）如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点 C，E 为
⌒
BC 的中点，连接 AE 交
BD 于点 F，作 ABFG ⊥ ，垂足为 G，连接 AD，且 BAED ∠2=∠ ．
（1）求证：AD 为⊙O 的切线；
（2）若
5
3cos D ， 6AD ，求 FG 的长．
GO
D
C
BA
E
7.（2016 海淀一模）如图，AB，AD 是⊙O 的弦，AO 平分 BAD .过点 B 作⊙O 的切线交 AO
的延长线于点 C，连接 CD，BO.延长 BO 交⊙O 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE，DE.
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若 3AE DE ，求 AF 的长.
8.（2016 海淀二模）．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 E 在 AB 上，以 AE
为直径的⊙O 切 BC 于点 D，连接 AD．
（1）求证：AD 平分∠BAC；
（2）若⊙O 的半径为 5，sin∠DAC= 5
5
，求 BD 的长.
9.（2016 石景山一模）.如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点
D 作⊙O 的切线，交 AB 于点 E，交 CA 的延长线于点 F．（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°， 6EF ，求 EB 的长．
10.（2016 石景山中考二模）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，D 是 AB 上一点，以 BD 为直
径的⊙O 切 AC
于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF．
（1）求证：DF=2CE；
（2）若 BC=3，sinB=
5
4 ，求线段 BF 的长．
11.（2016 通州一模）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D，过点 B 作 BE⊥PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长， 交 BE 于点 E．
（1）求证：AB=BE；
（2）连结 OC，如果 PD= 2 3 ，∠ABC=60 ，求 OC 的长．
12.（2016西城二模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E 在CB 的延长线上，连接AC，AE，
∠ACB=∠BAE=45°
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=AD，AC= 2 2 ，tan∠ADC＝3，求 CD的长．
13.（2016 西城一模）.如图，在 ABCV 中， AB 是 Oe 的直径， AC 与 Oe 交于点 D ．点
E 在 »BD 上，连接 DE ， AE ，连接CE 并延长交 AB 于点 F ， AED ACF ．（1）求证：CF AB ；
（2）若 4CD ， 4 5CB ， 4cos 5ACF ，求 EF 的长．
参考答案：
考点一：切线的性质与判定
例 1、（1） ；（2） ；（3）
变式 1： C 变式 2：C
例 2、C
变式 1： B 变式 2： C 变式 3、A
例 3、∵⊙O 与 BC，AC，AB 三边分别切于 E，F，D 点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD= ×4=2，
变式 1：解：如图，设 DC 与⊙O 的切点为 E；
∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为 A、B；
∴PA=PB=7cm；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD 的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm；
故△PCD 的周长是 14cm．
变式 2：解：设 AD=AE=x；BD=BF=y；CE=CF=z，
则有： ，
解得 x=4，
因此 AD=4．
故答案为：4．
例 4、C 变式 1：D
例 5、C 变式 1：A 变式 2：相切
例 6、解答：如图所示，连接 ，延长 交 于 ，连接 ．
是直径，
．
．，
．
．
点在 上，
直线 与 相切．
变式 1： 解答： （1） 连接 ，
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
又 是 的直径， ，
所以 ，即 ，
所以 是 的切线．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
因为 ， 是 的切线，
所以 ， ，
所以 即 ，
解得 .
变式 2： 解答： （1） 连接 ．
，
．
又 ，
．
是 直径，
．
即 ．
．
是 的切线．
（2） ，．
在 中，
，
，
．
， ，
，
，
．
例 7、解析：（1）证明：连接 OD，如图所示．
∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，
∴△OBD 是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴ 的长= = = π．
变式 1：解析：（1）证明：连接 AD、OD，如图所示．
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴点 D 为线段 BC 的中点．
∵点 O 为 AB 的中点，
∴OD 为△BAC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF 是⊙O 的切线．
（2）解：在 Rt△CFD 中，CF=1，DF= ，
∴tan∠C= = ，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AB=4．
∵OD∥AC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2 ，
∴S 阴影=S△ODG﹣S 扇形 OBD= DG•OD﹣ πOB2=2 ﹣ π．例 8、解析：（1）证明：连接 OB，如图所示：
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即 PB⊥OB，
∴PB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵⊙O 的半径为 2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2．变式 1：解析：证明：（1）如图 1，
作 OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO 是∠APE 的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO 和△PHO 中
，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA 是⊙O 的半径，
∴OH 是⊙O 的半径，
∵OH⊥PE，
∴直线 PE 是⊙O 的切线．
（2）如图 2，连接 GH，
∵BC，PA，PB 是⊙O 的切线，∴DB=DA，DC=CH，
∵△PBC 的周长为 4，
∴PB+PC+BC=4，
∴PB+PC+DB+DC=4，
∴PB+AB+PC+CH=4，
∴PA+PH=4，
∵PA，PH 是⊙O 的切线，
∴PA=PH，
∴PA=2，
由（1）得，△PAO≌△PHO，
∴∠OFA=90°，
∴∠EAH+∠AOP=90°，
∵∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠APO=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH= ，
∴tan∠APO= = ，
∴OA= PA=1，
∴AG=2，
∵∠AHG=90°，
∵tan∠EAH= = ，
∵△EGH∽△EHA，
∴ = = = ，
∴EH=2EG，AE=2EH，
∴AE=4EG，
∵AE=EG+AG，
∴EG+AG=4EG，∴EG= AG= ，
∴EH=2EG=2× = ．
考点二：圆的综合题
【解直角三角形】
例 1、解析：（1） 连接 ．
，
， ．
，
．
．
， ， ，
．
．
为切线，
．
．
．
点 在圆上，直线 是 的切线．
（2） ， ，
．
在 中， ， ，
可设 ， ，得 ．
由切线长定理得 ，
，
．
即 ，
．
在 中由勾股定理得： ，
解方程，得 ．
变式 1： 解析： （1） 连接 ，如图，
，
，
，
，
，，
，
，
是 的切线．
（2） 在 ， ，
设 ，则 ，
， ，
在 中，
，
，
，
，解得 ，
，
，
即 的半径长为 ．
变式 2： （1） 连接 ．
是 的直径
．
．
为 的中点，
．
．，
．
．
．即 ．
又 是直径，
是 的切线．
（2） 在 中，
， ，
．
在 中，
， ，
．
， ， ，
．
设 ．
，
．
．．
．
．
解得 ．
．
【相似三角形】
例 3、（1） 如图，连接 .
经过 ， 两点，
．
．
又 是 的平分线，
．
．
．
，即 ，
．
又 是 的半径，
是 的切线．（2） 在 中， ，
， ，
．
，
．
，即 ．
解得： ．
．
在 中， ，
．
．
．
变式 1: 解析：（1） 直线 与 外接圆相切．
理由：连接 ．
，
为 外接圆的直径
．
．
平分 ，
．．
，
，即 ．
直线 与 外接圆相切．
（2） 设 ．
，
．
．
．
，
．
，即 ．
．
变式 2： 解析：（1） 是 切线．
理由：连接 ， ．
是直径，
.
，
.
..
，
.
，
.
.
.
是 切线．
（2） ， ，
.
，
.
设 ，则 .
.
.
．
【模考连接】
1、（1）证明：连接 OD ．
∵ AD 平分 MAN ，
∴ EAD OAD ．
∵OA OD ，∴ ODA OAD ．
∴ EAD ODA ．
∵ DE AM 于 E ，
∴ 90AED ．
∴ 90EAD EDA ，
∴ 90ODA EDA ．
∴OD ED ．
∴ DE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵ 30EDA ，
∴ 60ODA ．
∵OA OD ，
∴△ ADO 为等边三角形．
在 Rt △ AED 中， 1AE ，可得 2AD ， 3ED ．
∴ 2OD AD ．
在 Rt △ODE 中，由勾股定理可得 7OE ．
2、（1）证明：
如图，连接 OD．
∵DP 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DP．
∴ 90ODP ．
∴ 90 .ODB BDP
又∵DC⊥OB，
∴ 90DCB ．
∴ 90BDC OBD ．
∵OD=OB，
∴ .ODB OBD ∴ BDP BDC ．
∴DB 平分∠PDC ．
（2）解：过点 B 作 BE⊥DP 于点 E．
∵ ,BDP BDC BC⊥DC，
∴BC=BE.
∵DC=6， 3tan 4P ，
∴DP=10，PC=8．
设 CB=x , 则 BE=x，BP=8- x．
∵△PEB∽△PCD，
∴ 8
6 10
x x ．
∴ 3x ．
∴ .3BC
3、解：（1）证明：
∵ ∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴ ∠E=∠PBO=90 ゜，
∴ PB 是⊙O 的切线．…………2 分
（2）∵ PB=3，DB=4，
∴ PD=5.
设⊙O 的半径的半径是 r，连接 OC.∵ PD 切⊙O 于点 C，
∴ OC⊥PD.
∴ .222 ODOCCD
∴ .)4(2 222 rr
∴ .2
3r
可求出 3 52PO .
易证△DEP∽△OBP.
∴ DE DP
OB OP
.
解得 5DE .
4.（1）证明：连结 BD .
∵ AB 是 O 的直径，
∴ 90ADB .
∴ 90DAB DBA .
∵ AB AC ，
∴ 2 ABD ABC ， 1
2AD AC .
∵AF 为⊙O 的切线，
∴∠FAB=90°.
∴ 90FAC CAB .
∴ FAC ABD .
∴ 2 .ABC CAF
⑵ 解：连接 AE.
∴∠AEB=∠AEC=90°.∵ 10sin 10CAF ABD CAF CBD CAE ， ，
∴ 10sin sin 10ABD CAF ．
∵ 90 2 10ABD AC ， ，
∴ 10AD ， 10sin
ADAB ABD
=BC.
∵ 90 2 10AEC AC ， ，
∴ sin 2CE AC CAE .
∴ 10 2 8BE BC CE .
5、（1）证明：连接 AE，
∵AB 是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠CAB，
∵BF 是⊙O 的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
∴∠CBF= ∠CAB．
（2）解：∵tan∠CBF=tan∠EAB= ，
∴ = ，
∵AB=5，AB2=BE2+AE2，
∴25=BE2+4BE2，
∴BE= ，∵∠BAE=∠CAE，∠EBD=∠CAE，
∴∠EBD=∠EAB，
∴tan∠EBD= = ，
∴EH= ，
∴BH= = ．
6、 （1）证明：连接 AC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵E 为 的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAC=2∠BAE，
∵∠D=2∠BAE，
∴∠BAC=∠D，
∴∠ABC+∠D=90°，
∴∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，
∴AD 为⊙O 的切线；
（2）∵cosD= ，AD=6，
∴sinD= ，BD= = =10，
∴AC=AD•sinD=6× = ，AB= =8，在△FAG 和△FAC 中
∴△FAG≌△FAC（AAS），
∴AG=AC= ，
∴BG=8﹣ = ，
∵FG⊥AB，DA⊥AB，
∴FG∥DA，
∴△BFG∽△BDA，
∴ = ，即 = ，
∴FG= ．
7、(1) 证明：如图，连接OD ．
∵ BC 为⊙O 的切线，
∴ 90CBO ．
∵ AO 平分 BAD ，
∴ 1 2 ．∵OA OB OD ，
∴ 1= 4= 2= 5 ．
∴ BOC DOC ．
∴△ BOC ≌△ DOC ．
∴ 90CBO CDO ．
∴CD 为⊙O 的切线．
(2) ∵ AE DE ,
∴ AE DE .
∴ 3 4 .
∵ 1 2 4 ，
∴ 1 2 3 .
∵ BE 为⊙O 的直径,
∴ 90BAE .
∴ 1 2 3 4 30
∴ 90AFE ．
在 Rt△ AFE 中，
∵ 3AE ， 303 ，
∴ 3 32AF .
8、（1）证明：连接 OD ．
∵⊙O 切 BC 于点 D， 90C ，
∴ 90ODB C ．
∴OD ∥ AC ．
∴ DACODA ．
∵ ODOA ，
∴ OADODA ．
∴ DACOAD ．
∴ AD 平分 BAC ．（2）解：连接 DE ．
∵AE 为直径，
∴ 90ADE ．
∵ OAD DAC ，sin 5
5DAC ，
∴sin 5
5OAD ．
∵ 5OA ，
∴ 10AE ．
∴ 4 5AD ．
∴ 4CD ， 8AC ．
∵OD ∥ AC ，
∴ BOD BAC△ ∽△ ．
∴ OD BD
AC BC
．
即 5
8 4
BD
BD
．
∴ 20
3BD ．
9、（1）证明：连接 OD，AD，∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°．
又∵AB=AC，
∴CD=DB．又 CO=AO，
∴OD∥AB．
∵FD 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DF． ∴FE⊥AB．
（2）解：∵ 30C ，
∴ 60AOD
在 Rt△ODF 中， 90ODF ，
∴ 30F ．
∴ 1
2OA OD OF
在 Rt△ AEF 中， 90AEF ，
∵ 6EF ，∴ 2AE ．
∵OD AB∥ ，OA OC AF
∴ 2 2 2OD AE
2 4 2AB OD ．
∴ 3 2EB ．
10、（1）证明：连接 OE 交 DF 于 G，
∵AC 切⊙O 于 E，∴∠CEO=90°．
又∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DFC=∠DFB=90°．
∵∠C=90°，∴四边形 CEGF 为矩形．∴CE=GF，∠EGF=90°
∴DF=2CE．
（2）解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
∵BC=3， 4sin 5B ，∴AB=5．
设 OE=x，∵OE//BC，∴△AOE∽△ABC．
∴ OE AO
BC AB
，∴ 5
3 5
x x ，∴ 15
8x ．
∴BD=15
4
．在 Rt△BDF 中，∠DFB=90°，∴BF= 9
4
11、（1）证明：连结 OD.
∵OA=OD，
∴ DAO ADO ，
∵PD 切⊙O 于点 D，
∴PD⊥OD，
∵BE⊥PD，
∴OD∥BE，
∴ E ADO ，
∴ E DAO ，
∴AB=BE.
（2）解：∵OD∥BE，∠ABC= 60，∴ 60DOP ABC ，
∵ PD⊥OD，
∴ tan DPDOP OD
，
∴ 2 3 3OD
，
∴ 2OD ，
∴ 4OP ，
∴ 6PB ，
∴sin PCABC PB
，
∴ 3
2 6
PC ，
∴ 3 3PC ，
∴ 3DC ，
∴ 2 2 2DC OD OC ，
∴ 22 23 2 7OC ，
∴ 7OC （舍负）.
12、（1）证明：连接 OA、OB，如图 1 所示：
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE 是⊙O 的切线；
（2）解：作 AF⊥CD 于 F，如图 2 所示：
∵AB=AD，
∴ ，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∵AC=2 ，
∴在 Rt△AFC 中，AF=CF=AC•sin∠ACF=2 × =2，
∵在 Rt△AFD 中，tan∠ADC= =3，
∴DF= ，
∴CD=CF+DF=2+ = ．
13、（1）略
（2） 62
微信/支付宝扫码支付