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一、选择题
1. （ 2016福建福州，6，3分）下列说法中，正确的是
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
【答案】A
【逐步提示】本题考查了概率的意义和事件发生的概率，根据概率的意义和事件发生的概率，依次判断各个选项是否正确．
【详细解答】解：A.不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；
B.随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C.概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误，故选择A.
【解后反思】概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
【关键词】不可能事件；随机事件；概率的意义；
2. （ 2016甘肃省天水市，3，4分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷1枚骰子，出现6点向上 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．366人中至少有2个人的生日相同 D．实数的绝对值是非负数
【答案】D
【逐步提示】本题考查事件的分类，解题的关键是认识到在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，只有分清各种事件才能做出正确的判断.
【详细解答】解：抛掷1枚骰子，可能出现6点向上，也可能出现其它点数向上，所以A中事件是随机事件．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才一定相等，所以B中事件是随机事件．由于闰年有366天，有可能出现这366人的生日一人占一天的情况，所以C中事件不是必然事件．对于D，由于正实数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负实数的绝对值是正数，所以实数的绝对值一定是非负数，属于必然事件．故选择D．
【解后反思】对于B中事件，由于阅读不细致、认真，易受思维定势的影响误认为是两条平行直线被第三条直线所截，从而认定同位角必定相等而错误地判断为必然事件．另外，本题难点在于对C中事件的认识，可以按照“一个萝卜一个坑”的现实原理加强理解．
【关键词】必然事件；随机事件．
3. （2016广东省广州市，4，3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【逐步提示】所设密码最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，即共有10种可能，密码数字只有1种，据此可根据概率的计算公式求解结果．
【详细解答】解：根据题意可知，密码锁所设密码的最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，因此，一次就能打开该密码锁的概率是，故选择A．
【解后反思】（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．
（2）求较复杂随机事件的概率时，常用画树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能结果．
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【关键词】概率的计算公式
4. （ 2016广东茂名，4，3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．两条线段可以组成一个三角形 B．400人中有两个人的生日在同一天
C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机，它正在播放动画片
【答案】B
【逐步提示】本题考查了必然事件的概念，解题的关键是正确区分必然事件与不可能事件、随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．而不确定事件（即随机事件）是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详细解答】解：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的，两条线段不能组成一个三角形，选项A中的事件属于不可能事件；一年有365天或366天，由于400>365，400＞366，因此400人中必有两个人的生日在同一天，选项B中的事件属于必然事件；根据自然规律，早上的太阳从东方升起，选项C中的事件属于不可能事件；打开电视机，它不一定正在播放动画片，选项D中的事件属于随机事件. 故选择B .
【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
【关键词】不可能事件 ；必然事件；随机事件
5. （2016湖北宜昌，6，3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】D
【逐步提示】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详细解答】解：甲组实验了10次，乙组实验了50次，丙组实验了100次，丁组实验了200次，实验次数多的频率往往接近事件发生的概率，故选择D .
【解后反思】在一次试验中，若共有n次等可能的结果，其中事件A包含m个等可能的结果，则事件A的概率为P(A)=．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率．它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．
【关键词】概率公式；用频率估计概率
6.（2016湖南常德， 5，3分）下列说法正确的是
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机取出一个球，一定是红球．
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨．
C．某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1000张，一定会中奖．
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上．
【答案】D
【逐步提示】本题考查的是概率的含义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能．
【详细解答】解：选项A、“取到红球”是随机事件，且可能性较大，但不是必然事件，所以从中随机取出一个球，不一定是红球，所以A选项错误；
选项B、“明天降水概率10%”，是指下雨的可能性为10%，而不是10%的时间会下雨，所以B选项错误；
选项C、“中奖概率是千分之一”是指这批彩票总体平均每1000张有一张中奖，而不是买这种彩票1000张，一定会中奖，所以C选项错误；
选项D、“投掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”是随机事件，所以第六次仍然可能正面朝上，所以D选项正确．
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故选D．
【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件；也就是说一定发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件；可能发生，也可能不发生的事件是不确定事件；必然事件发生的概率是1，不可能发生的事件发生的概率是0，不确定事件发生的概率大于零小于1，偶然事件0到1之间
【关键词】概率的含义；随机事件；
7. （2016湖南湘西，15，4分）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为
A． B． C． D．1
【答案】A
【逐步提示】本题考查了概率的定义，熟悉定义是解题的关键.口袋中共8个球，其中有6个红球，根据概率定义解题即可．
【详细解答】解：P(摸到红球)==，故答案为.故选择A .
【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A发生的概率计算公式为P(A)=．
【关键词】摸球；简单事件的概率
二、填空题
1. （ 2016福建福州，15，4分）已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（，），（－5，－），从中随机选取一个点，在反比例函数y＝图象上的概率是 ．
【答案】
【逐步提示】本题考查了概率的计算和反比例函数的性质，解题的关键是掌握等可能事件概率的计算公式．先判断四个点的坐标是否在反比例函数y＝图象上，再用在反比例函数y＝图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y＝图象上的概率．
【详细解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，
∴2个点的坐标在反比例函数y＝图象上，
∴在反比例函数y＝图象上的概率是2÷4=，故答案为 .
【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确判断所关注事件可能出现的结果数，以及所有等可能出现的结果数．等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝，其中m是总的结果数，n是该事件成立包含的结果数．
【关键词】反比函数的图像；概率的计算公式；
2. （2016贵州省毕节市，18，5分）掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率为_________．
【答案】
【逐步提示】本题考查了求简单随机事件的概率，解题的关键掌握用列表法或画树状图的方法进行计算．本题用列表法更方便，表中也可只用两种符号来表示点数之和大于10和不大于10，这样能一目了然，不易出错．
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【详细解答】解：设点数之和小于或等于10用○表示，大于10用√表示不，列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
○
○
○
○
○
○
2
○
○
○
○
○
○
3
○
○
○
○
○
○
4
○
○
○
○
○
○
5
○
○
○
○
○
√
6
○
○
○
○
√
√
由表可知，掷两枚骰子，共有36种等可能的情况出现，其中点数之和大于10的结果共有3种，所以P（点数之和大于10）＝＝，故答案为.
【解后反思】此类问题的易错点是没有列表或画树状图，只凭想象列举出所有可能的结果，造成丢掉一些情况，如把（1，2）和（2，1）当作一种情况，从而致错．
【关键词】 求概率的方法；
3. （ 2016河南省，12，3分）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.
【答案】
【逐步提示】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是合理选择方法求概率．思路：选择树状图或列表法解题，通过分析看出，小明和小亮任意分在各组的可能情况为16种，两次抽出卡片所标数字不同占4种，则利用公式可求出事件的概率．
【详细解答】解：列表得：设分A、B、C、D四个组
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
所有等可能的情况有16种，其中小明和小亮分在同一组的情况有4种，则P= ，故答案为 .
【解后反思】此类问题容易出错的地方是抽象不出基本概型，事件发生的可能情况列举不出来．一般方法规律是用数值来刻画事件发生的可能性大小，这个数值就是概率．一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中m个结果，我们可计算概率P(A)= =．运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率的能力，有利于提高学生的数学意识、应用数学的能力和数学素养．
【关键词】求概率方法——树状图法和列表法
4. （ 2016湖南省郴州市，13，3分）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是 ．
【答案】
【逐步提示】本题考查的是概率问题，解题的关键是弄清事件发生的所有可能的情况，然后看事件发生的概率．抛两枚硬币有四种情况：即（正正）（正反）（反反）（反正），然后判断两个反面朝上的概率就可以了．
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【详细解答】解： 设两枚硬币分别为甲、乙：
反面
硬币甲
硬币乙
开始
正面
反面
正面
正面
反面
共有四种结果：（正正）（正反）（反正）（反反）
∴．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是列举所有可能性事件时重复或遗漏．
(1)运用公式P(A)=求简单事件发生的概率，在确定各种事件等可能性的基础上，关键是求事件所有可能的结果种数n和使事件A发生的结果种数m.
(2)求简单随机事件的概率有两种方法．①在做了大量试验的基础上，可以用频率的近似地估计概率；②可以用列表或画树状图，列举出所有可能事件，再求概率．
(3)列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
【关键词】 概率；树状图；.
6.（ 2016湖南省怀化市，14，4分）一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其它没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是______________.
【答案】
【逐步提示】在等可能的条件下，袋共有球3＋4＋7＋2＝16个，其中黑色球7个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是黑色球数：总球数.
【详细解答】解：P黑色球＝＝，故答案为.
【解后反思】此题考查概率，难度不大，解题的关键是掌握概率的计算公式.
【关键词】概率的计算公式
7. （ 2016湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观.听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为 .
【答案】
【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是知道某事件发生的概率等于该事件出现的可能次数与所有可能次数之间的比．因此先确定参观博物馆的可能次数和参观三个馆总数，再根据概率公式计算即可．
【详细解答】解：∵共有3个馆，参观博物馆的可能性为1，∴小张同学选择参观博物馆的概率为，故答案为.
【解后反思】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：
（1）公式法：P(A)=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数；
（2）列举（列表或画树状图）法的一般步骤为：①
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判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式P(A)=，求事件A发生的概率．
【关键词】概率初步
8. （ 2016年湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观。听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为________.
【答案】
【逐步提示】本题考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握简单概率的计算公式．先确定总的结果数，再确定所要关注的结果。
【详细解答】解：参观者选择每一个馆参观的机会均等，市民可以免费到三馆参观。即部的结果数是3，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，即关注的结果数是1，则小张同学选择参观博物馆的概率为 ，故答案为 .
【解后反思】一般地，如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为．
【关键词】概率初步；简单事件的概率；概率的计算公式；；
9.(2016湖南省永州市，14，4分)在1，，，2，－3．2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是________．
【答案】
【逐步提示】本题考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握简单概率的计算公式．先确定大于2的数的个数，再根据概率计算公式计算即可．
【详细解答】解：大于2的数只有一个数，所以方差为，故答案为．
【解后反思】(1)根据P(A)＝计算简单事件概率，要注意每种结果必须等可能出现．
(2)两步事件的概率与摸球试验类似，可能摸出一个球放回、再摸出一个球，此时两次摸到的求可能“重复”， 如果摸出一个球不放回、再摸出一个球，此时两次摸到的求可能“不重复”，因此计算两步事件的概率注意事件“重复”还是“不重复” ．
【关键词】概率；实数的大小比较
10. （ 2016江苏省淮安市，13，3分）一个不透明的袋中装有3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是 ．
【答案】．
【逐步提示】本题考查了与摸球有关的概率的计算，利用公式进行计算是解题的关键,本题先找出所有等可能的情形，再找出满足特殊条件的情形，最后再利用概率公式进行计算．
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【详细解答】解：从袋中随机摸出一个球，其颜色共有7种结果，每种结果出现的可能性相等，其中是黄色的结果有3种，所以摸出的球是黄色的概率是，故答案为 ．
【解后反思】求概率的方法：（1）直接公式法：，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；
（2）列举（列表或画树状图）法：当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．
【关键词】概率
11. （2016江苏泰州，9，3分）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，朝上一面的点数为偶数的概率是________.
【答案】
【逐步提示】本题主要考查了一步概率的求法，解题的关键是正确确定公式中的m、n的值．骰子有六面，其中点数为偶数的面有3个，分别是二点、四点和六点，再根据概率定义解题即可．
【详细解答】解：P(朝上一面的点数为偶数)==，故答案为.
【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A发生的概率计算公式为P(A)=．此类问题容易出错的地方是不了解骰子有几个面，分别有哪些点数.
【关键词】骰子；简单事件的概率
12. （2016江苏省宿迁市，13，3分）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
发芽的频率
0．960
0．947
0．950
0．952
0．948
0．951
0．949
那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0．01）．
【答案】0．95
【逐步提示】观察随着种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在哪个数值附近，这个数值就是这批油菜发芽的概率．
【详细解答】解：根据用频率去估计概率，易知在相同条件下多次重复试验中，稳定的频率值可近似代替该事件的概率，而3000粒油菜籽在相同的条件下发芽试验发芽的频率为0.949，结果精确到0.01为0.95，即为所求的概率．
【解后反思】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【关键词】 用频率估计概率
13. （2016江苏盐城，11，3分）如图，转盘中6个小扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为 ▲ ．
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【答案】
【逐步提示】本题考查了概率的求法，解答本题的关键是熟练掌握概率的计算公式．先找出试验可能的结果数和可能出现红色的次数，然后根据概率公式即可求解.
【详细解答】解：转盘被等分成6个面积相等的扇形，任意转动转盘1次，指针指向每个扇形都是等可能的，而出现指向红色扇形的有2种可能，所以指针指向红色区域的概率为=，故答案为．
【解后反思】1．等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=．概率的求法关键是要找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
2．等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的（或可转化为有限的）；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
【关键词】概率的计算公式；求概率的方法
14. （2016山东滨州13，4分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，，，1.333．随机抽取一张则取出的数是无理数的概率是 ．
【答案】．
【逐步提示】先找出这组数中无理数的个数，用无理数的个数除以所有数的个数即为无理数的概率．
【详细解答】解：无理数有：π，，无理数有2个，因此取出的数是无理数的概率是，故答案为．
【解后反思】近几年这类试题多在选择题中出现，难度系数较低，要明确无理数的概念，要注意判读无理数是看数的最终化简结果，如cos60°=，cos60°是有理数，如sin60°=是无理数，含有根号的数不一定是无理数，是有理数，要注意所有的分数全部是有理数，如是有理数，含有用π表示的数全部是无理数，如等都是无理数，
【关键词】 无理数 概率
15. （2016江苏省扬州市，10，3分）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
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【答案】
【逐步提示】本题考查了几何图形中的概率问题，解题的关键是解题的关键是求出阴影部分面积与整个面积的比值．
【详细解答】解：从图中可知，黑色三角形只有2块，而三角形共有6块，所以小鸟刚好落在黑色三角形区域的概率为=，故答案为．
【解后反思】当某一事件A发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时, 概率的计算方法是事件A所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比，即P(A)= ．另外，概率常见的几种计算方法还有：(1)列举法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率是．(2)频率估值法：对于相同条件下进行的大量重复实验，一般用大数量实验时的频率稳定值估计该实验的概率．
【关键词】 概率初步；简单事件的概率；几何概型；概率的计算公式；
三、解答题
1. （ 2016安徽，21，12分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数.
（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率.
【逐步提示】（1）用列表法或树状图分析出所有可能出现的情况，得到所有的两位数；（2）先判断出算术平方根大于4且小于7的数应大于16且小于49，在找到（1）中的两位数在这个范围内的数的个数，运用概率公式求解.
【详细解答】解：（1）用列表分析所有可能的结果：
所得的两位数为：11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88共16个数.……6分
（2）算术平方根大于4且小于7的共6个，分别为17,18,41,44,47,48，则所求概率P=.…………12分
【解后反思】解决概率的问题，通常用列表法或画树状图法，它们可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果．但是也有区别：列表法一般适合于两步完成的事件，树状图法一般适合两
步或两步以上完成的事件．根据树形图或者列表来判断事件A有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率可表示为．另外用列表法或树状图分析所有可能的结果时要注意放回与不放回的区别.
【关键词】概率，概率的计算，算术平方根
2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，23，10分）
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在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数学－1，－2，0．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M(x，y)在函数图象上的概率．
【逐步提示】本题考查等可能条件下的概率，解题的关键是利用画树状图或列表的方法把所有等可能的情况列出来，从两个不同布袋中摸球，每个布袋中分别有三种情况，所以共有9种等可能的结果；用画树状图或列表的方法列出所有的坐标即可，（2）求点P在函数图像上的概率关键是找出适合函数关系式的点有几个，再用这个数除以总数即可．
【详细解答】解：（1）画树状图：
方法一： 方法二：(0, 0)
(0, -1)
(0, -2)
(1, -1)
(1, -2)
(1, 0)
(2, -2)
(2, -1)
1
0
2
-1
-2
0
乙袋
甲袋
结果
(2, 0)
2分
所以点M（x, y）共有9种可能：
(0，－1），（0，－2），（0，0），（1，－1），（1，－2），（1，0），（2，－1），（2，－2），（2，0）；
4分
（2）∵ 只有点（1，－2），（2，－1）在函数的图象上， 5分
∴ 点M（，）在函数的图象上的概率为． 6分
【解后反思】用列举法求简单随机事件的概率的一般步骤为：①先定是用列表还是画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②通过列表或画树状图法，列举出所有事件出现的可能结果；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式P(A)＝求事件A发生的概率．
【关键词】概率；树状图；
3. （2016甘肃兰州，23，6分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…
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，8中任意选择—个数字，然后两人各转动—次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜，若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做—次上述游戏，直至决出胜负若小军事先选择的数是5，用列表或画树状国的方法求他获胜的概率．
【逐步提示】先列表或画树状图，再由表格或树状图求得该事件总的结果数和小军获胜的结果数，最后利用概率的计算公式求出答案．
【详细解答】解： 解法一：列表法
列表如下：
小明
小军
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
由表格可知，因为小明和小军两人一起做的游戏总共有16种结果数，小军获胜的结果数由4个，小军获胜的概率为．
解法二：画树状图法
画树状图如下：
由树状图可知，因为小明和小军两人一起做的游戏总共有16种结果数，小军获胜的结果数由4个，小军获胜的概率为．
【解后反思】用列表法或画树状图法求概率，应注意两种方法的特点：列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【关键词】 概率的简单应用
4. （2016广东茂名，20，7分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀.
（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率；
（2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率.
【逐步提示】本题考查了简单问题的概率计算，解题的关键是能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果
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．（1）直接利用概率的计算公式计算；（2）通过列表或画树状图列举出随机抽取两张卡片（第一张不放回）的所有等可能的结果，再找出第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的结果数，最后利用概率的计算公式计算.
【详细解答】解：（1）P（抽到数字“2”）= ；
（2）列表如下（画树状图正确也可），共12种结果，每种结果出现的可能性相同，第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的结果有1种，∴P（第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”）=.
【解后反思】在一次试验中有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=．求随机事件概率的方法常见的有以下三种：(1)枚举法，此方法一般适用于计算可能出现的结果数比较少的事件的概率；(2)列表法.，当事件包含两步时，采用列表法能比较方便，清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果； (3)树状图法，当事件在三步或者三步以上时，用树状图能比较方便地不重不漏列出所有可能的结果.
【关键词】概率的计算公式；列表法求概率
5. （ 2016河北省，23，9分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.[来
图1 图2
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如：若从图A起跳，第一次掷得３，就顺时针连续跳３个边长，落到圈D；若第二次掷得２，就从D开始顺时针连续跳２个边长，落到圈B；……
设游戏者从圈A起跳.
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【逐步提示】本题考查了概率的计算，理解概率的意义和列表表示所有可能的结果是解题的关键.（1）根据题意可知随机掷一次骰子共有4种可能结果，其中掷得1落到圈B，掷得2落到圈C，掷得3落到圈D，掷得4落到圈A，根据概率的意义即可求得落回到圈A的概率P1；（2）根据题意可知随机掷两次骰子共有16
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种可能结果，列表可表示出所有可能的结果，其中两次掷得数字之和为4的倍数时最后才可落回到圈A，从而可求得P2，问题得解.
【详细解答】解：（1）∵掷一次骰子有4种等可能结果，只有掷得4时，才会落回到圈A，
∴.
（2）列表如下：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
（1,1）
（2,1）
（3,1）
（4,1）
2
（1,2）
（2,2）
（3,2）
（4,2）
3
（1,3）
（2,3）
（3,3）
（4,3）
4
（1,4）
（2,4）
（3,4）
（4,4）
所有等可能的情况共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数时，
即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回到圈A，共有4种.
∴.
而，∴一样.
【解后反思】1. 求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率计算公式P(A)=计算．
2.画树状图或列表可准确、方便地列举出事件包含的所有可能结果．
3.求解本题时，发现两次掷得数字之和为4的倍数时最后才可落回到圈A这一规律是解题的难点.
【关键词】 列表法；概率的计算
17. 6.（ 2016湖北省黄冈市，18，6分）小明和小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他两都被同一所高中提前录取，并将被编入A,B,C三个班，他俩希望能再次成为同班同学。
（1）请你用树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人两次成为同班同学的概率.
【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是准确列表或画树状图。（1）通过画树状图列出所有可能的结果；（2）从所有等可能的结果中找出两人在同一个班的情况，利用概率的定义确定答案.
【详细解答】解：(1)根据题意，画如图所示的树状图：
开始
B
小明
C
A
小林
A
B
C
C
B
B
A
A
C
（2）从树状图看，一共有9种等可能的结果，其中是同班的有3种。所以P=.
【解后反思】1、列表法：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果．当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举．
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当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
2、树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．需要两步以上完成，一般可用树状图列举出所有可能情况．
【关键词】 简单事件的概率；求概率的方法。
7. （ 2016湖北省黄石市，14，3分）如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径（比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口）.那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是________．
【答案】．
【逐步提示】本题考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握简单概率的计算公式．先确定蚂蚁从A出发的路线总条数和到达E处的路线条数，再根据概率计算公式计算即可．
【详细解答】解：蚂蚁从A出发的路线有ABD，ABE，ACE，ACF，一共有4种情形，并且是等可能的．其中到达E处有2种情形，所以P （蚂蚁从A出发到达E处）＝＝，故答案为．
【解后反思】一般地，如果一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
【关键词】概率的计算公式．
8. （2016湖北宜昌，20，8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个．食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样）．食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【逐步提示】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，解题的关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果．根据题意画出树状图或列表，求得所有等可能的结果共有12种，其中小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的结果有2种．再利用概率计算公式，可得答案；
【详细解答】解：(1)不可能
（2）树形图如下：
列表如下
猪肉包
面包
鸡蛋
油饼
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猪肉包
面包、猪肉包
鸡蛋、猪肉包
油饼、猪肉包
面包
猪肉包、面包
鸡蛋、面包
油饼、面包
鸡蛋
猪肉包、鸡蛋
面包、鸡蛋
油饼、鸡蛋
油饼
猪肉包、油饼
面包、油饼
鸡蛋、油饼
从上表可知，共有12种等可能结果，其中小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的结果有2种．
∴小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率是
【解后反思】在一次试验中有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=.求随机事件概率的方法有三种，(1)枚举法，此方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算；(2)树形图法，此方法适用于当一个事件涉及两个或更多的因素是时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过树形图的方法计算概率；(3)列表法，列表法和树形图都可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，当事件包含两步时，列表法比较方便，也可以用树形图法，当事件在三步或者三部以上时，用树形图比较方便.
【关键词】概率；树状图；列表法；
9.（2016湖南省衡阳市，22，8分）（本小题满分8分）有四张完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张。
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出的两张纸牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率。
【逐步提示】本题考查了概率，会画树状图或者列表法列举出所有等可能的结果是解答本题的关键. 先用树状图或列表大方法列出所有可能的情况，再用等可能事件的概率的定义，求出摸出的两张纸牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率。
【详细解答】解：（1）
第一次
A
B
C
D
第二次
A、B、C、D
A、B、C、D
A、B、C、D
A、B、C、D
（2）既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，所以。
【解后反思】求简单随机事件的概率常用的方法是列表法与画树状图法．这类题通常方法是根据题意用列表法或树状图找出事件M包含的所有可能情况的个数n，再从中找出所求问题所包含的可能情况的个数m，然后用所求问题所包含的可能情况个数m除以事件包含的所有可能情况的个数n，即．
【关键词】轴对称图形、中心对称图形的判定；等可能试验；求概率方法－－－树状图法；求概率方法－－－列表法
10. （2016湖南省湘潭市，23，8分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措。二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个孩子（生男生女机会均等，且与顺序有关）.
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（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；
（2）该家庭生育两胎，假如第一胎生育一个小孩，其第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有一个女孩的概率.
【逐步提示】用列表法或树状图法列出所有可能的结果的总数n，然后指出符合条件的情况的个数m，然后利用P(A)= .
【详细解答】解：（1）列表给出所有可能的结果：
第
二
胎
第
一
胎
男
女
男
男男
男女
女
女男
女女
可见，所有可能的结果共有4种，其中1男1女的情况共有两种，∴P(1男1女)==。
（2）列表给出所有可能的结果：
第
二
胎
第
一
胎
男男
男女
女男
女女
男
男男男
男男女
男女男
男女女
女
女男男
女男女
女女男
女女女
可见，所有可能的结果共有8种，其中至少有一个女孩的情况共有7种，∴P(至少1女)= .
【解后反思】计算等可能情形下概率的关键是确定所有可能的结果总数n和求出其中使时间A发生的结果总数m，柱状图和列表法能帮助我们有序的思考，不重不漏地求出n和m.第二胎有4种情况，这个特别容易被误认为是3种情况.
【关键词】概率的计算公式；求概率的方法
11. （ 2016年湖南省湘潭市，23，8分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措。二孩政策出台后，某家庭积极相应政府号召，准备生育两个孩子（生男生女机会均等，且与顺序有关）。
（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩是一男一女的概率。
（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有一个女孩的概率。
【逐步提示】本题考查了用画树状图法求概率，解题的关键是能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
（1））根据题意可画树状图，然后根据树状图确定有4种结果，两个小孩是一男一女的结果数是2，再根据概率公式P(A)=求解即可求得答案．
（2））根据题意可画树状图，然后根据树状图确定有6种结果，三个小孩中至少有一个女孩的结果数是5，再根据概率公式P(A)=求解即可求得答案．
【详细解答】解：（1）画树状图得
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女
男
女
男
男
女
第1胎
第2胎
∵共有4种等可能结果，这两个小孩是恰好一男一女的结果数是2，
∴这两个小孩是恰好一男一女的概率为；
（2）画树状图得男
女
男男
男女
第1胎
男男
女女
第2胎
男女
女女
∵共有（男，男、男）（男，男、女）（男，女、女）（女，男、男）（女，男、女）（女，女、女）6种等可能结果，至少有一个女孩的情况有5种，
∴这三个小孩中至少有一个女孩的概率为；
【解后反思】用列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．而树形图同样可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．所求的概率等于所求的情况数与总情况之比．
【关键词】 概率初步；简单事件的概率；求概率的方法；；
12. (2016湖南省岳阳市，19，8)(本题满分8分)已知不等式组
(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘.请用画树状图或列表的方法，求积为正数的概率.
【逐步提示】(1)分别解出不等式组中的两个不等式，再确定不等式组的解集，最后确定符合条件的特殊整数解；(2)先用列表法或树状图列举出所有可能情况，再用两数之积为正数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详细解答】解：(1)由①得：x＞-2；由②得：x≤2，
∴ 原不等式组的解集为-2＜x≤2，
∴ 原不等式组的所有整数解为-1、0、1、2；
(2)用列表法表示为：
积
-1
0
1
2
-1
0
-1
-2
0
0
0
0
1
-1
0
2
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2
-2
0
2
由上表可知：共有12种等可能的结果，其中积为正数有2种，
∴ P(积为正数)==。
【解后反思】(1)不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以求解过程就是求出不等式组中各个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可；(2)当一次试验涉及到一个元素，并且每种情况出现的可能性相等，则可以直接利用概率公式计算；当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验设计3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树形图”法来求概率.
【关键词】不等式组的解集；概率；
13. （ 2016江苏省淮安市，22，8分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【逐步提示】本题考查了两步事件的概率计算，用列表法或树状图列出所有的等可能事件是解题的关键． 于是本题先列出所有的等可能事件，然后找出满足条件的情形，最后再根据概率公式进行计算．
【详细解答】解：（1）列表法列出所有结果
B A
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
9
4
4
8
12
或画树状图如下：
则共有12种等可能的结果；
（2）当转盘停止时，A、B两个转盘可能出现的结果有12种，但当两个数字的积为奇数时有4种情况．
∴P(两个数字的积为奇数)=
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【解后反思】求概率的方法：
（1）直接公式法：，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；
（2）列举（列表或画树状图）法：
当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．
一般步骤为：①判断使用列表或画树状图法：列表一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式求事件A发生的概率；
14. （ 2016江苏省连云港市，21，10分）甲、乙两校分别有一男一女共名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选名，则所选的名教师性别相同的概率是 ▲ ．
（2）若从报名的名教师中随机选名，用列表或画树状图的方法求出这名教师来自同一所学校的概率．
【逐步提示】本题考查了概率的相关计算，用树状图列出所有等可能的事件是解题的关键． （1）先列出从甲、乙两校报名的教师中分别随机选名的所有情形有四种，然后用满足条件的情形除以4即得要求的概率；（2）用树状图列出所有等可能的事件，然后找出满足条件的情形，再用概率公式进行计算．
【详细解答】解：（1）记甲校的男女老师为男1，女1，乙校的男女老师为男2，女2，若从甲，乙两校报名的教师中分别随机选1名，则有男1男2，男1女2，女1男2，女1女2，同性别的有两种情形，概率为：．
（2）用树状图表示所有可能的情形如下：
一共有12种情形，两名老师来自同一学校的情形有4种，于是2名老师来自同一学校的概率是：．
【解后反思】求概率的方法．（1）直接公式法：，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；
（2）列举（列表或画树状图）法：
当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．
一般步骤为：①判断使用列表或画树状图法：列表一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式求事件A发生的概率；
【关键词】 概率；
15. （2016江苏省南京市，22，8分）某景区7 月1 日～7 月7 日一周天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游．求下列事件的概率：
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（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
【逐步提示】本题考查了运用概率知识解决实际问题，解题的关键是计算概率时要找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．第（1）问中，7天内晴天只有4天，可以很快求出其概率；第（2）问是连续两天为晴天，而所有情况只有6种，这是特别要注意的．
【详细解答】解：（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7 种，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、7 月3 日雨、7 月4 日阴、7 月5 日晴、7 月6 日晴、7 月7 日阴，并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报是晴（记为事件A）的结果有4 种，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、7 月5 日晴、7 月6 日晴，所以P（A）＝．
（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6 种，即（7 月1 日晴，7 月2 日晴）、（7 月2 日晴，7 月3 日雨）、（7 月3 日雨，7 月4 日阴）、（7 月4 日阴，7 月5 日晴）、（7 月5 日晴，7 月6 日晴）、（7 月6 日晴，7 月7 日阴），并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报都是晴（记为事件B）的结果有2 种，即（7月1 日晴，7 月2 日晴）、（7 月5 日晴，7 月6 日晴），所以P（B）＝＝．
【解后反思】本题求概率时可以直接运用简单枚举法，列出各种等可能的情况，再考察所求事件的可能情况，最后运用概率计算公式．求古典概型的概率可以直接用公式，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；几何概率型的计算公式是．P（A）＝．当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，∴需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．
【关键词】概率初步；简单事件的概率；概率的计算公式；求概率的方法；统计观念；简单枚举法
16.（ 2016江苏泰州，19，8分）一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0,1,2．这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球．两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？说明理由．
【逐步提示】本题考查了两步概率,解题的关键是正确列出表格或正确画出
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树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．（1）根据题意画出无放回的两步概率的树状图或表格，（2）正确算出两人获胜的概率，根据概率是否相等确定游戏是否公平．
【详细解答】解：（1）画树状图如下：
开始
乙
甲
0
2
1
1
2
0
2
1
0
和
1
（第19题答图）
3
1
2
3
2
（2）∵P（数字之和为偶数）==，P（数字之和为奇数）==，且≠，
∴这样的游戏规则不公平．
【解后反思】（1）某一事件发生的概率；
（2）求两步事件的概率其计算方法有两种，一种列表法，另一种是画树状图法．用利表法或画树状图法计算两步试验的随机事件的概率时，应找出两步试验的所有等可能发生的结果数n和符合题意的关注的结果数m，并且用公式P（事件A）＝来计算概率；
（3）摸球游戏中，注意有无放回．
【关键词】概率；列表法与树状图法
17. （2016江苏省无锡市，24，8分）甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队．假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【逐步提示】本题考查了概率的应用，解题的关键是画出树状图或列出表格，本题可考虑先画出树状图，只考虑第二轮比赛和第三轮比赛，然后求出获胜的概率．
【详细解答】解：
共有8种可能，其中甲队获胜共3种可能．
∴甲队最终获胜的概率是．
【解后反思】（1）用画树状图或列表分析是求概率的常用方法：
①
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用树状图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很有效；
②一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析所有等可能的结果；当结果要求进行数的和、积等有关运算时，用列表法显得更加清晰、明确.
（2）等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝，其中m是总的结果数，n是该事件成立包含的结果数．
【关键词】树状图求概率；
18. （ 2016江苏省宿迁市，20，6分）在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．
（1）若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为 ；
（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．
【逐步提示】（1）根据“必然事件”的定义：一定发生的事情，可以容易得到m的值；
（2）先用树状图或列表，写出两次摸球的可能情况，再利用概率公式求概率．
【详细解答】
解：（1）m=2，
（2）
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白2）
（白1，黑1）
（白1，黑2）
白2
（白2，白1）
（白2，黑1）
（白2，黑2）
黑1
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，黑1）
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到颜色相同球”有2种可能． ∴P（两次都摸到颜色相同的球）＝＝．
【解后反思】用列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．而树形图同样可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．所求的概率等于所求的情况数与总情况之比．
【关键词】列表法与树形图法求概率
19.（2016江苏盐城，22，8分）一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字．
（1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；
（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率．
【逐步提示】本题考查了概率的概念及意义，解题的关键是掌握概率的计算方法．（1）从袋中随机摸出一只小球，只有4种等可能的结果，而出现奇数的只有1、3两种，代入概率计算公式直接计算；（2）采用画树状图或列表的方法列出所有等可能出现的结果，再根据等可能条件下概率的计算方法计算即可．
【详细解答】解：（1）球上所标数字为奇数的概率是．
（2）结果如下：（树状图）
第1次
第2次
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（列表）
1
2
3
4
1
(1，2)
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
结果为：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），
（4,1），（4,2），（4,3）．
∴两次摸出的球上所标数字之和为5的概率是．
【解后反思】画树形图或列表是概率计算常见的方法．根据树形图或者列表来判断事件A有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率可表示为．
1． 列表法：
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
2．树状图法：
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
3．求概率的方法：
【关键词】概率的计算公式；求概率的方法
20. （2016 镇江，20,6分）（本小题满分6分）
甲、乙、丙三名同学站成一排拍合影照留念.
（1）请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果.
（2）求出甲同学站在中间位置的概率.
【逐步提示】①本题考查了简单问题的概率计算，解题的关键是能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果．②（1）首先根据题意列举求得所有等可能的结果；（2）根据所列举的结果得到甲同学站在中间位置的结果数，再利用概率公式即可求得答案.
【详细解答】解：（1）甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，………（3分）
（2）P（甲在中间）=.…………………………（6分）
【解后反思】用列举法求简单随机事件的概率的一般步骤为：①决定使用列表还是画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②列举出所有事件出现的可能结果。③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式P(A)=求事件A发生的概率.此类问题容易出错的地方是举所有可能事件数出错.
【关键词】 可能事件；求概率方法---一一列举法；求概率方法---树状图法；求概率方法---列表法
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21. （2016江苏省扬州市，22，8分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．
（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为 ；
（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．
【逐步提示】本题考查了画树状图或列表法求概率的知识，解题的关键是正确画出树状图或列表．首先画出树状图或列表，然后根据公式求出概率．
【详细解答】解：（1）． 根据题意，画树状图如图，
由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为；
（2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种，∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为；答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是．
【解后反思】（1）某一事件发生的概率；（2）求两步事件的概率其计算方法有两种，一种列表法，另一种是画树状图法．利用列表法或画树状图法计算两步试验的随机事件的概率时，应把两步试验的所有可能的情况m表示出来，然后找到符合题意的所有可能性n，并且用公式P（A）=来计算概率．另外，一步试验概率直接根据P(A)=计算；两步试验概率可以用树状图来解答，也可以用列表法来解答；三步或三步以上试验概率只能用树状图来解答． 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
【关键词】概率初步；简单事件的概率；概率的计算公式；列表法；树状图；概率思想
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