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第2讲 直线与圆的位置关系
1.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E.
(1)求证：E是AB的中点；
(2)求线段BF的长．
解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，所以EA＝EB，即E为AB的中点．
(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，
所以S△BEC＝BF·CE＝CB·BE，
所以＝，所以BF＝a.
2.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．
解：(1)证明：
如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，
故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，
即DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x.
由已知得AB＝2，BE＝.
由射影定理可得AE2＝CE·BE，
即x2＝，即x4＋x2－12＝0.
解得x＝，所以∠ACB＝60°.
3.
(2015·高考湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；
(2)FE·FN＝FM·FO.
证明：(1)如图
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所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，
即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，
因此∠OME＋∠ENO＝180°.
又四边形的内角和等于360°，
故∠MEN＋∠NOM＝180°.
(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，
故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.
4.(2016·九江统考)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD交⊙O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F.
(1)证明：BC＝CE；
(2)证明：△BCF∽△EAC.
证明：(1)因为CD为⊙O的切线，C为切点，AB为⊙O的直径，
所以OC⊥CD，
又AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA＝∠CAE，
又OC＝OA，所以∠OAC＝∠OCA，所以∠OAC＝∠CAE，
所以BC＝CE.
(2)由弦切角定理可知，∠FCB＝∠OAC，所以∠FCB＝∠CAE，
因为四边形 ABCE为圆O的内接四边形，
所以∠ABC＋∠CEA＝180°，
又∠ABC＋∠FBC＝180°，
所以∠FBC＝∠CEA，
所以△BCF∽△EAC.
1.(2016·西安地区八校联考)如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，AB＝BD.过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，∠PBD的角平分线与DC的延长线交于点E.
(1)若AB＝3，PD＝2，求AD的长；
(2)求证：BE2＝CE·DE.
解：(1)PD为圆O的切线，PA为圆O的割线，
故PD2＝PB·PA＝PB·(PB＋BA)，
所以(2)2＝PB(PB＋3)，PB＝4.
又∠A＝∠BDP，∠P＝∠P，
所以△ADP∽△DBP，
所以＝，AD＝＝＝.
(2)证明：由已知：∠BCE＝∠A，∠PBD＝∠A＋∠BDA，
而AB＝BD，
故∠A＝∠BDA，
所以∠PBD＝2∠A，又因为BE平分∠PBD，
所以∠EBD＝∠A，
所以∠BCE＝∠EBD，
又∠BEC＝∠BED，所以△BEC∽△DEB，
所以＝，BE2＝CE·DE.
2．(2016·郑州第一次质量预测)
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如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．
解：(1)证明：因为PG＝PD，
所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，
故∠PDA＝∠DBA，
又因为∠EGA＝∠PGD，
所以∠EGA＝∠DBA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，
所以∠BDA＝90°，
故AB为圆的直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，
所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，
所以ED为直径，
又由(1)知AB为圆的直径，所以DE＝AB＝5.
3.(2016·山西省质检)如图，⊙O1与⊙O2交于C，D两点，AB为⊙O1的直径，连接AC并延长交⊙O2于点E，连接AD并延长交⊙O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G.
(1)求证：GF⊥AG；
(2)过点G作⊙O1的切线，切点为H，若G，C，D三点共线，GE＝1，EF＝6，求GH的长．
解：
(1)证明：连接BC，GD.
因为AB是⊙O1的直径，所以∠ACB＝90°，
所以∠ABC＋∠CAB＝90°.
由A，B，C，D四点共圆，
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得∠ABC＝∠FDC，
由C，D，F，E四点共圆，得∠GEC＝∠FDC，
所以∠GEC＝∠ABC，
所以∠GEC＋∠CAB＝90°，
所以∠EGA＝90°，即GF⊥AG.
(2)因为GH为⊙O1的切线，GCD为⊙O1的割线，
所以GH2＝GC·GD.
又GCD，GEF为⊙O2的两条割线，
所以GC·GD＝GE·GF，
所以GH2＝GE·GF＝7，所以GH＝.
4.(2016·江西省调研)如图，已知圆O和圆M相交于A，B两点，AD为圆M的直径，直线BD交圆O于点C，点G为圆弧BD的中点，连接AG分别交圆O、BD于点E，F.连接CE.
(1)求证：AG·EF＝CE·GD；
(2)求证：＝.
证明：(1)连接AB，AC，GD，
因为AD为圆M的直径，所以∠AGD＝90°，∠ABD＝90°，
则∠ABC＝90°，
所以AC为圆O的直径，所以∠CEA＝90°，
所以∠CEF＝∠AGD＝90°，
因为∠DFG＝∠CFE，所以∠ECF＝∠GDF，
因为G为弧BD的中点，所以∠DAG＝∠GDF，
所以∠DAG＝∠ECF，
所以Rt△CEF∽Rt△AGD，所以＝，
所以AG·EF＝CE·GD.
(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，
所以Rt△DFG∽Rt△ADG，
所以＝，所以DG2＝AG·GF，
由(1)知＝，所以＝＝＝，
即＝.
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