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第3讲 相关性与最小二乘估计、统计案例
1．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝0.5＋2x，则变量x，y是( )
A．线性正相关关系 B．由回归方程无法判断其正负相关
C．线性负相关关系 D．不存在线性相关关系
解析：选A.随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x，y称为正相关．
2．(2016·衡水调研)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表．根据下表可得回归方程y＝bx＋a中的b＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )
广告费用x(万元)
2
3
4
5
销售额y(万元)
26
39
49
58
A.112.1万元 B．113.1万元
C．111.9万元 D．113.9万元
解析：选C.因为(x，y)在回归直线y＝bx＋a上，且x＝(4＋2＋3＋5)＝，y＝(49＋26＋39＋58)＝43，将代入y＝10.6x＋a中得a＝5.9，所以y＝10.6x＋5.9，当x＝10时，y＝106＋5.9＝111.9.所以广告费用为10万元时销售额为111.9万元．
3．(2016·济南模拟)某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝8.5x＋7.5，则表中m的值为( )
x
2
4
5
6
8
y
25
35
m
55
75
A.50 B．55
C．60 D．65
解析：选C.x＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝(25＋35＋m＋55＋75)＝38＋m.又回归直线必经过样本中心点，于是有8.5×5＋7.5＝38＋m，解得m＝60.
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝，
算得χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选C.根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
5．(2016·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，
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现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______．
解析：因为χ2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
答案：5%
6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y(单位：万元)与当天的平均气温x(单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－，则a＝________．
解析：由表中数据可得＝－4，＝25，所以线性回归方程y＝－x＋a过点(－4，25)，代入方程得25＝－×(－4)＋a，解得a＝.
答案：
7．(2016·山西省四校联考)近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到如下的列联表：
患三高疾病
不患三高疾病
总计
男
6
30
女
总计
36
(1)请将列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽取9人，其中女性抽取多少人？
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明你有多大的把握认为患三高疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解：(1)根据题意可得
患三高疾病
不患三高疾病
总计
男
24
6
30
女
12
18
30
总计
36
24
60
在患三高疾病的人群中抽取9人，则抽取比例为＝.
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故女性应该抽取12×＝3人．
(2)因为χ2＝＝10>7.879，
所以有99.5%的把握认为患三高疾病与性别有关．
8．(2016·唐山第一次模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
6
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．
解：(1)由表中数据计算得，＝5，＝4， (ti－)2＝10，
b＝＝0.85，a＝－b＝－0.25.
所以回归方程为y＝0.85t－0.25.
(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．
1．(2016·郑州第二次质量预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为y＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由表中数据得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋a，得a＝106，故线性回归方程为y＝－4x＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84
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