2018届高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题六 解析几何 1-6-2 Word版含答案.doc

由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线 限时 40 分钟，实际用时 分值 80 分，实际得分 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．若实数 k 满足 0＜k＜9，则曲线x2 25 － y2 9－k ＝1 与曲线 x2 25－k －y2 9 ＝1 的( ) A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 解析：选 A.由 25＋(9－k)＝(25－k)＋9，知两曲线的焦距相等． 2．(2017·宁夏银川质检)抛物线 y2＝8x 的焦点到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线的距离是( ) A.1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 解析：选 D.由抛物线 y2＝8x，有 2p＝8⇒p＝4，焦点坐标为(2,0)，双曲线的渐近线方程为 y ＝± 3x，不妨取其中一条 3x－y＝0，由点到直线的距离公式，有 d＝| 3×2－0| 3＋1 ＝ 3，故选 D. 3．已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，且与椭圆x2 12 ＋y2 3 ＝1 有公共焦点．则 C 的方程为( ) A.x2 8 －y2 10 ＝1 B.x2 4 －y2 5 ＝1 C.x2 5 －y2 4 ＝1 D.x2 4 －y2 3 ＝1 解析：选 B.∵双曲线的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，则b a ＝ 5 2 ， ① 又∵椭圆x2 12 ＋y2 3 ＝1 与双曲线有公共焦点，易知 c＝3，则 a2＋b2＝c2＝9， ② 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为x2 4 －y2 5 ＝1，故选 B. 4．已知抛物线 y2＝2px 的焦点 F 与双曲线x2 7 －y2 9 ＝1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的 交点为 K，点 A 在抛物线上且|AK|＝ 2|AF|，则△AFK 的面积为( ) A．4 B．8 C．16 D．32由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析：选 D.因为抛物线 y2＝2px 的焦点 F 与双曲线x2 7 －y2 9 ＝1 的右焦点(4,0)重合，所以 p＝8. 设 A(m，n)， 又|AK|＝ 2|AF|，所以 m＋4＝|n|， 又 n2＝16m，解得 m＝4，|n|＝8， 所以△AFK 的面积为 S＝1 2 ×8×8＝32. 5．(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线 x2－y2 3 ＝1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右 支上一点，则PA1 → ·PF2 → 的最小值为( ) A．－2 B．－81 16 C．1 D．0 解析：选 A.设点 P(x，y)，其中 x≥1.依题意得 A1(－1,0)，F2(2,0)，则有y2 3 ＝x2－1，y2＝3(x2 －1)， PA1 → ·PF2 → ＝(－1－x，－y)·(2－x，－y) ＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2 ＝4x2－x－5＝4 x－1 8 2 －81 16 ，其中 x≥1. 因此，当 x＝1 时，PA1 → ·PF2 → 取得最小值－2，选 A. 6．(2017·浙江宁波模拟)点 A 是抛物线 C1：y2＝2px(p＞0)与双曲线 C2：x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：选 C.取双曲线的一条渐近线为 y＝b a x， 联立 y2＝2px， y＝b a x ⇒ x＝2pa2 b2 ， y＝2pa b ， 故 A 2pa2 b2 ，2pa b . 因为点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p.由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以p 2 ＋2pa2 b2 ＝p， 所以a2 b2＝1 4 . 所以双曲线 C2 的离心率 e＝c a ＝ a2＋b2 a2 ＝ 5. 7．(2017·山东德州一模)已知抛物线 y2＝8x 与双曲线x2 a2－y2＝1(a＞0)的一个交点为 M，F 为 抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．5x±3y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0 解析：选 A.抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，准线方程为 x＝－2，设 M(m，n)，则由抛物线 的定义可得|MF|＝m＋2＝5，解得 m＝3，由 n2＝24，可得 n＝±2 6.将 M(3，±2 6)代入双曲线x2 a2 －y2＝1(a＞0)，可得9 a2－24＝1(a＞0)，解得 a＝3 5 ，故双曲线的渐近线方程为 y＝±5 3 x，即 5x±3y ＝0.故选 A. 8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A， B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 A.由题意可知直线 AE 的斜率存在，设为 k，直线 AE 的方程为 y＝k(x＋a)，令 x＝ 0 可得点 E 坐标为(0，ka)，所以 OE 的中点 H 坐标为 0，ka 2 ，又右顶点 B(a,0)，所以可得直线 BM 的斜率为－k 2 ，可设其方程为 y＝－k 2 x＋k 2 a，联立 y＝k x＋a ， y＝－k 2 x＋k 2 a， 可得点 M 横坐标为－a 3 ， 又点 M 的横坐标和左焦点相同，所以－a 3 ＝－c，所以 e＝1 3 . 9．已知双曲线的标准方程为x2 9 －y2 16 ＝1，F 为其右焦点，A1，A2 分别是实轴的左、右端点，设 P 为双曲线上不同于 A1，A2 的任意一点，直线 A1P，A2P 与直线 x＝a 分别交于 M，N 两点，若FM → ·FN → ＝0，则 a 的值为( )由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.16 9 B.9 5 C.25 9 D.16 5 解析：选 B.∵双曲线x2 9 －y2 16 ＝1，右焦点 F(5,0)，A1(－3,0)，A2(3,0)，设 P(x，y)，M(a， m)，N(a，n)， ∵P，A1，M 三点共线，∴ m a＋3 ＝ y x＋3 ，m＝y a＋3 x＋3 ， ∵P，A2，N 三点共线，∴ n a－3 ＝ y x－3 ，∴n＝y a－3 x－3 . ∵x2 9 －y2 16 ＝1，∴x2－9 9 ＝y2 16 ，∴ y2 x2－9 ＝16 9 .又FM → ＝ a－5，y a＋3 x＋3 ，FN → ＝ a－5，y a－3 x－3 ， ∴FM → ·FN → ＝(a－5)2＋y2 a2－9 x2－9 ＝(a－5)2＋16 a2－9 9 ， ∵FM → ·FN → ＝0，∴(a－5)2＋16 a2－9 9 ＝0， ∴25a2－90a＋81＝0，∴a＝9 5 .故选 B. 10．(2017·山东东营模拟)设 F1，F2 是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲 线右支上存在一点 P，使PF1 → ·PF2 → ＝0，且|PF1|＝ 3|PF2|，则该双曲线的离心率为( ) A. 2＋1 2 B. 2＋1 C. 3＋1 2 D. 3＋1 解析：选 C.因为双曲线右支上存在一点 P，使PF1 → ·PF2 → ＝0，所以PF1 → ⊥PF2 → ， 因为|PF1|＝ 3|PF2|， 所以|F1F2|＝2|PF2|＝4c，即|PF2|＝2c， 所以|PF1|－|PF2|＝ 3|PF2|－|PF2| ＝( 3－1)|PF2|＝2a， 因为|PF2|＝2c，所以 2c( 3－1)＝2a， e＝c a ＝ 1 3－1 ＝ 3＋1 2 . 11．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选 B.设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5， 抛物线的准线方程为 x＝－p 2 ， ∴不妨设 A 4 p ，2 2 ，D －p 2 ， 5 . ∵点 A 4 p ，2 2 ，D －p 2 ， 5 在圆 x2＋y2＝r2 上， ∴ 16 p2 ＋8＝r2， p2 4 ＋5＝r2， ∴16 p2 ＋8＝p2 4 ＋5，∴p＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为 4. 12．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，|AB|＋|DE|的最小值为( ) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：选 A.设 AB 倾斜角为θ，则|AB|＝ 2p sin2θ ， 又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为π 2 ＋θ， |DE|＝ 2p sin2 π 2 ＋θ ＝ 2p cos2θ 而 y2＝4x，即 p＝2. ∴|AB|＋|DE|＝2p 1 sin2θ ＋ 1 cos2θ ＝ 4 sin2θcos2θ ＝ 16 sin22θ ≥16，当θ＝π 4 时取等号， 即|AB|＋|DE|最小值为 16，故选 A. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知离心率 e＝ 5 2 的双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O，A 两点，若△AOF 的面积为 4，则 a 的值为 ________．由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析：因为 e＝ 1＋ b a 2 ＝ 5 2 ，所以b a ＝1 2 ，|AF| |OA| ＝b a ＝1 2 ，设|AF|＝m，|OA|＝2m，由面积关 系得1 2 ×m×2m＝4，所以 m＝2，由勾股定理，得 c＝ m2＋ 2m 2＝2 5，又c a ＝ 5 2 ，所以 a＝4. 答案：4 14．设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2 b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A， B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________． 解析：设 F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝ 1－b2， 则可设 A(c，b2)，B(x0，y0)， 由|AF1|＝3|F1B|，可得(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)， 故 －2c＝3x0＋3c， －b2＝3y0， 即 x0＝－5 3 c， y0＝－1 3 b2， 代入椭圆方程可得25 1－b2 9 ＋1 9 b2＝1， 解得 b2＝2 3 ，故椭圆方程为 x2＋3y2 2 ＝1. 答案：x2＋3y2 2 ＝1 15．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右 焦点，直线 y＝b 2 与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析：由已知条件易得 B － 3 2 a，b 2 ，C 3 2 a，b 2 ，F(c,0)， ∴BF → ＝ c＋ 3 2 a，－b 2 ，CF → ＝ c－ 3 2 a，－b 2 ， 由∠BFC＝90°，可得BF → ·CF → ＝0， 所以 c－ 3 2 a c＋ 3 2 a ＋ －b 2 2＝0，由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即 c2－3 4 a2＋1 4 b2＝0， 即 4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即 3c2＝2a2， 所以c2 a2＝2 3 ，则 e＝c a ＝ 6 3 . 答案： 6 3 16．(2017·山东潍坊模拟)抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两 个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|AB| |MN| 的最 小值为________． 解析：设 AF＝a，BF＝b，由余弦定理得 |AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－ a＋b 2 2 ＝3 4 (a＋b)2， 因为a＋b 2 ＝AF＋BF 2 ＝MN， 所以|AB|2≥3 4 |2MN|2，所以|AB| |MN| ≥ 3，所以最小值为 3. 答案： 3