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课时训练(二十四)矩形、菱形、正方形
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2017·益阳]下列性质中菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
2．[2017·兰州]如图K24－1，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )
A．5 B．4
C．3.5 D．3
图K24－1
图K24－2
3．[2017·河南]如图K24－2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
4．[2015·资阳]若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
5．[2017·南充]已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )
A．2 B. C．3 D．4
6．[2017·临沂]如图K24－3，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
图K24－3
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
7．[2017·呼和浩特]如图K24－4，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点．若AE＝，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是( )
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图K24－4
A．DE＝1
B．tan∠AFO＝
C．AF＝
D．四边形AFCE的面积为
二、填空题
8．[2016·南充]如图K24－5，菱形ABCD的周长是8 cm，则AB的长是________ cm.
图K24－5
图K24－6
9．[2016·内江]如图K24－6，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝________．
10．[2017·兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是：________．
11．[2017·黄冈]如图K24－7，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED＝________度．
图K24－7
图K24－8
12．[2017·常德]如图K24－8，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为________．
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图K24－9
13．[2017·义乌]如图K24－9为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为________m.
三、解答题
14．[2017·自贡]如图K24－10，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.
求证：∠ABF＝∠CBE.
图K24－10
15．[2017·盐城]如图K24－11，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
图K24－11
16．[2017·张家界]如图K24－12，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
图K24－12
|拓 展 提 升|
17．[2017·杭州]如图K24－13，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；
(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
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图K24－13
参考答案
1．C [解析] 菱形的对角线互相平分、垂直、且每一条对角线平分一组对角，菱形是轴对称图形又是中心对称图形，菱形的对角线不一定相等．因此选C.
2．B [解析] 由题意可知，四边形ABCD为矩形，则AC＝BD，OC＝AC.已知∠ADB＝30°，故在直角三角形ABD中，BD＝2AB＝8，AC＝BD＝8，OC＝AC＝4，故选B.
3．C [解析] 选项A，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)；
选项B，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；
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选项C，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；
选项D，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)，故答案为C.
4．D
5．D [解析] ∵菱形的四条边相等，周长为4 ，∴菱形的边长为.设菱形的两条对角线的长分别为x，y，则x＋y＝6①，＝，即x2＋y2＝20②.①2－②，得2xy＝16.∴xy＝8.∴S菱形＝xy＝4.故选D.
6．D [解析] 根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．
若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，所以A错误；
若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，所以B错误；
若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，所以C错误；
若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形，故D正确．
7．C [解析] ∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴对角线互相垂直平分，AO＝OD＝，∴在Rt△AOE中，OE＝，DE＝OE－OD＝，∴A选项错．∵∠EAF＝135°，∠ADO＝45°，∴∠ADE＝135°，∴△AFE∽△DAE，∴＝＝＝，∴AF＝，C选项正确．∴在Rt△AOF中，OF2＝AF2－AO2，∴OF＝，∴tan∠AFO＝＝，∴B选项错．EF＝OF＋OE＝，四边形AFCE的面积＝EF·AC＝××＝，∴D选项错误．
8．2
9. [解析] 在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，由勾股定理得BC＝＝5.∵OE⊥BC，
∴OE·BC＝OB·OC，∴OE＝＝.
10．①③④ [解析] ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形．由OB＝OC，得AC＝BD，由OB⊥OC得AC⊥BD，即四边形ABCD为正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的菱形是正方形．依题意在平行四边形ABCD中，由AB＝AD，得四边形ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为正方形，即④正确．
11．45 [解析] 由题意得，AB＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°.所以∠BAE＝150°，∠AEB＝15°.所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.
12．y＝2x2－4x＋4 [解析] 由题中条件可知，图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE＝x，则DE＝2－x，AF＝DE＝2－x，在Rt△AEF中，由勾股定理可得EF2＝(2－x)2＋x2＝2x2－4x＋4，即正方形EFGH的面积为2x2－4x＋4.
13．4600 [解析] 连接GC，由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG，所以GC＝AG，由四边形GECF为矩形可得GC＝EF，所以EF＝AG，小敏行走的路线为B→A→G→E，所以BA＋AG＋GE＝3100.小聪行走的路线为B→A→D→E→F，所以BA＋AD＋DE＋EF＝BA＋1500＋GE＋AG＝3100＋1500＝4600(m)．
14．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE.
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，BC∥AD.∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB.
∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF.
又∵BC∥AD，
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∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，
∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
∴∠DBE＝∠ADB.∴DE＝BE.
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
16．解：(1)证明：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AG＝BG.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，
∴∠AEG＝∠BFG，∠EAG＝∠FBG，
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF(AAS)．
(2)四边形AFBE是菱形．理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，
又AD∥CF，∴四边形AFBE是平行四边形，
又AB⊥EF，∴四边形AFBE是菱形．
17．解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由如下：连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG.
在△ADG和△CDG中，
∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，∴GF＝EC.
在Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，
∴AG2＝GE2＋GF2.
(2)作AH⊥BD于点H，
由题意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形．
∵AB＝1，
∴AH＝BH＝，HG＝，
∴BG＝＋＝.
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