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疯狂专练10
直线与圆
一、选择题(5分/题)
1.[2017·武邑中学]过点且垂直于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据两直线垂直,斜率乘积为,得直线斜率为,由点斜式得,即.
2.[2017·甘肃二诊]圆心为且与直线相切的圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知:圆的半径为圆心到直线的距离,即:,结合圆心坐标可知,圆的方程为:.
3.[2017·咸阳二模]已知命题:“”,命题:直线与直线互相垂直”,则命题是命题的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】命题中,直线的斜率是,所以,,所以命题是命题成立的充分不必要条件.选A.
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4.[2017·榆林二中]圆截直线所得弦长为2,则实数等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程为,∴圆的圆心为,半径为,∴圆心到直线的距离为.由条件得,解得.
5.[2017·贵阳一中]已知圆的圆心在直线上,且与直线平行,则的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线为,代入点得.故选A.
6.[2017·遂宁二诊]已知直线与圆相交于两点,且线段是圆的所有弦中最长的一条弦,则实数等于( )
A.2 B. C.1或2 D.1
【答案】D
【解析】由题设可知直线经过圆心,所以,应选答案D.
7.[2017·赣州二模]已知动点在直线上,动点在圆上,若,则的最大值为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】如图所示,设点,圆心到直线的距离为,则
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,因为直线与圆有交点,所以,所以,解得,所以的最大值为,故选C.
8.[2017·揭阳三中]已知直线,点,.若直线上存在点满足,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】问题转化为求直线与圆有公共点时,的取值范围,数形结合易得.
9.[2017·黄山二模]已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线、,、为切点,则直线经过定点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,,是圆的切线,,,是圆与以为直径的两圆的公共弦,可得以为直径的圆的方程为①,又②,①-②得
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,可得满足上式,即过定点,故选B.
10.[2017·湖北联考]已知圆.设条件,条件圆上至多有2个点到直线的距离为1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为圆心到定直线的距离为,若半径,如图,则恰有三个点到定直线的距离都是1.由于,故圆上最多有两个点到直线的距离为1;反之也成立.应选答案C.
11.[2017·重庆一诊]设曲线上的点到直线的距离的最大值为,最小值为,则的值为( )
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由题设可知这是一个半圆上点到直线的距离的最大值和最小值问题,因圆心到直线的距离,则,
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,故,应选答案C.
12.[2017·天津二模]若直线(,)被圆截得的弦长为4,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,所以直线过圆心,即,,因此,选A.
二、填空题(5分/题)
13.[2017·广元三模]在上随机抽取两个实数a,b,则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________.
【答案】
【解析】圆心到直线的距离,即,如图:阴影区域的面积为,所以.
14.[2017·云师附中]点是圆上的动点,点,
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为坐标原点,则面积的最小值是__________.
【答案】2
【解析】因为,直线的方程为,圆心到直线的距离为,所以圆上的动点到直线的距离的最小值为,所以面积的最小值为.
15.[2017·延边模拟]点是圆上的动点,以点为直角顶点的另外两顶在圆上,且的中点为,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】如图,设,由于是的中点,则,于是.又因为,得.即的轨迹方程为.那么,的最大值为.
16.[2017·烟台期末]定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是,给出以下命题:①若,则直线与直线平行;②若,则直线与直线垂直;③若,则直线与直线平行或相交;④若,则直线与直线
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相交.其中所有正确命题的序号是__________.
【答案】③④
【解析】设点的坐标分别为,,
则,,
①若,即,
∴,
∴若时,即,
则点都在直线上,∴此时直线与直线重合,∴①错误.
②由①知,若时,满足,但此时,
则点都在直线上,此时直线与直线重合,∴②错误.
③若时,则,
即,∴点分别位于直线的同侧,
∴直线与直线平行或相交,∴③正确;
④若,则,
即,
∴点分别位于直线的两侧,∴直线与直线相交,∴④正确.
故答案为③④.
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