湖南省长望浏宁四县2018届高三联合调研考试数学（文）试卷（含答案）.doc

莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎2018年长望浏宁高三调研考试 数学（文科）试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 设集合，，若，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎3.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 A． B． C． D．‎ ‎4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于 A. B. C. D. ‎ ‎6. 若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A． B． C． D．‎ ‎8. 在等差数列中，若，则此数列的前项的和等于 ‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ A．　　　 B． C． D．‎ ‎9. 如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎10. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为 ‎11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D．‎ ‎12. 设满足，且在上是增函数，且，若函数对所有，当时都成立，则的取值范围是 A． B．或或 C．或或 D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知两个不相等的平面向量且，则 .‎ ‎14. 若、满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在 ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 左准线上，若，且直线的斜率，则△的面积为 .‎ ‎16.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_________‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，分别为角的对边，已知的面积为，‎ 又。‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，多面体中，,平面，且.‎ ‎（Ⅰ）若为线段中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求多面体的体积.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 ，其范围为 ，分别有五个级别： 畅通； 基本畅通； ‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 轻度拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵．晚高峰时段 ，从某市交通指挥中心选取了市区 个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在 ，， 的路段中共抽取个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的个路段中任取个，求至少个路段为轻度拥堵的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:经过点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点、满足，直线、分别交椭圆于、．探求直线是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ ‎ (二)选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线方程为，已知直线与曲线相交于、两点，求．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．（本小题满分10分）‎ 设 ‎（Ⅰ）当，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018年长望浏宁高三调研考试 数学（文科） 参考答案 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B D A D B B C A B B 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 14. 2 15. 16. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 解：（1）因为，‎ 所以,‎ 又因为为的内角，‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 所以，所以。 6分 ‎（Ⅱ）由，及，得，‎ 又 ， ‎ 所以。 12分 ‎18. 解：（Ⅰ）取中点，连接CN和MN,‎ 为梯形ADEF的中位线 ‎∥AF 1分 ‎∵FA平面FAB,MN平面FAB ‎∴MN∥平面FAB 2分 ‎∵四边形ABCN为矩形 ‎∴CN∥AB 3分 ‎∵FA平面FAB,CN平面FAB ‎∴CN∥平面FAB 4分 ‎∵MNCN=N ‎ ‎∴平面平面 ‎∵CM平面CMN 6分 ‎∴平面 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 8分 ‎ 10分 ‎ 12分 ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎19. 解：（Ⅰ） 由直方图可知：‎ ，，．‎ 所以这 个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为 ‎ 个， 个， 个． 3分 ‎   （Ⅱ） 由（1）知拥堵路段共有 个，按分层抽样从 个路段中选出 个，‎ 每种情况：，，，‎ 即这三个级别路段中分别抽取的个数为 ，， 个． 6分 ‎（Ⅲ） 记（Ⅱ）中选取的 个轻度拥堵路段为 ，，‎ 选取的 个中度拥堵路段为 ，，，选取的 个严重拥堵路段为 ，‎ 则从 个路段选取 个路段的可能情况如下：‎ ，，，，，，，‎ ，，，，，，， 共 种可能，‎ 其中至少有 个轻度拥堵的有：，，，，，‎ ，，， 共 种可能．‎ 所以所选 个路段中至少 个路段为轻度拥堵的概率为 ． 12分 ‎20. 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2， 2分 将P（2，1）代入椭圆，则，‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 解得：b2=2，则a2=8， 4分 ‎∴椭圆的方程为：； 5分 ‎（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，‎ 当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·则△=16（8k2﹣t2+2）＞0， ‎ x1+x2=，x1x2=， 7分 又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），‎ 即y﹣1=（x﹣2）， 8分 因此M点坐标为（0，），‎ 同理可知：N（0，） 9分 由，则+=0，‎ 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，‎ 则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0， 10分 化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，· ‎ 当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）. 12分 ‎21. 解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 所以 1分 所以，. 2分 所以曲线在点处的切线方程为．‎ 即. 3分 ‎（Ⅱ）证法一：当时，.‎ 要证明，只需证明. 4分 以下给出三种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则，‎ 所以函数在上单调递增． 6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且. 8分 因为时，所以，即. 9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值． 10分 故．‎ 综上可知，当时，. 12分 思路2：先证明． 5分 设，则．‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增．所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）． 7分 所以要证明， ‎ 只需证明． 8分 下面证明．设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增．所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）． 10分 由于取等号的条件不同，‎ 所以．‎ 综上可知，当时，‎ ‎. 12分 ‎（若考生先放缩，或、同时放缩，‎ 请参考此思路给分！）‎ 思路3：先证明.‎ 因为曲线与曲线的图像关于直线对称，‎ 设直线与曲线，分别交于点，，‎ 点，到直线的距离分别为，，‎ 则．其中，．‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎①设，则．因为，所以．‎ 所以在上单调递增，则．所以．‎ ‎②设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 所以．所以．‎ 所以．‎ 综上可知，当时，. 12分 证法二：因为，‎ 要证明，只需证明. 4分 以下给出两种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增． 6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，‎ 且. 8分 ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 因为，所以，即 9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值 10分 故．‎ 综上可知，当时，． 12分 思路2：先证明，且． 5分 设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值．‎ 所以，即（当且仅当时取等号）． 7分 由，得（当且仅当时取等号）． 8分 所以（当且仅当时取等号）． 9分 再证明．‎ 因为，，且与不同时取等号，‎ 所以 ‎．‎ 综上可知，当时，． 12分 ‎22. 解：（Ⅰ）由已知，‎ ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎ 由，消去得：‎ 普通方程为，‎ 化简得 5分 ‎（Ⅱ）由sin(-)+=0知，‎ ‎ 化为普通方程为x-y+=0‎ 圆心到直线的距离=，由垂径定理 10分 ‎23.解：解：（Ⅰ）时原不等式等价于 即，所以解集为． 3分 ‎（Ⅱ）当时，，令，‎ 由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，‎ 所以实数的取值范围为. 10分 ‎·13·莲山课件http://www.5ykj.com/‎