专题复习之五 函数
教学准备
一. 教学目标：
1. 会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标
2. 会确定点关于x轴，y轴及原点的对称点的坐标
3. 能确定简单的整式，分式和实际问题中的函数自变量的取值范围，并会求函数值。
4. 能准确地画出一次函数，反比例函数，二次函数的图像并根据图像和解析式探索并理解其性质。
5. 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系并用函数解决简单的实际问题。
二. 教学重点、难点：
重点：一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质及应用
难点：函数的实际应用题是中考的重点又是难点。
三.知识要点：
知识点1、平面直角坐标系与点的坐标
一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。点P（x、y）在x轴上y＝0，x为任意实数，
点P（x、y）在y轴上，x＝0，y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点x＝0，y＝0。
知识点2、对称点的坐标的特征
点P（x、y）关于x轴的对称点P1的坐标为（x，－y）；关于y轴的对称轴点P2的坐标为（－x，y）；关于原点的对称点P3为（－x，－y）
知识点3、距离与点的坐标的关系
点P（a，b）到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即｜b｜
点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即｜a｜
点P（a，b）到原点的距离等于：
知识点4、与函数有关的概念
函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。
知识点5、已知函数解析式，判断点P（x，y）是否在函数图像上的方法，若点P（x，y）的坐标适合函数解析式，则点P在其图象上；若点P在图象上，则P（x，y）的坐标适合函数解析式．
知识点6、列函数解析式解决实际问题
设x为自变量，y为x的函数，先列出关于x，y的二元方程，再用x的代数式表示y，最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中有意义。
知识点7、一次函数与正比例函数的定义：
例如：y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数，特别地当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0）这时，y叫做x的正比例函数。
知识点8、一次函数的图象和性质
一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（０，b）和点（－，０）的一条直线，k值决定直线自左向右是上升还是下降，b值决定直线交于y轴的正半轴还是负半轴或过原点。
知识点9、两条直线的位置关系
设直线1和２的解析式为y＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2则它们的位置关系由系数关系确定
k1≠k21与２相交，k1＝k2，b1≠b21与２平行，k1＝k2，
b1＝b21与２重合。
知识点10、反比例函数的定义
形如：y＝或y＝kx－1（k是常数且k≠0）叫做反比例函数，也可以写成xy＝k（k≠0）形式，它表明在反比例函数中自变量x与其对应的函数值y之积等于已知常数k，
知识点11、反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时又是直线y＝x或y＝－x为对称轴的轴对称图形，当k＞0时，图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
知识点12、反比例函数中比例系数k的几何意义。
过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得矩形的PAOB的面积为|k|。
知识点13、二次函数的定义
形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）
交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（ a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）
知识点14、二次函数的图象与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（）为顶点，以直线y＝为对称轴的抛物线。
在a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞时，y随着x的增大而增大。
在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜时，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧，即当x＞时，y随着x的增大而减小。
当a＞0，在x＝时，y有最小值，y最小值＝，
当a＜0，在x＝时， y有最大值，y最大值＝。
知识点15、二次函次图象的平移
二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。
知识点16、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点。
（1）与y轴永远有交点（0，c）
（2）在b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，A（x1，0）、B（x2，0）这两点距离为AB＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx＋c＝0的两个根）。
在b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点。
在b2－4ac＜0时，则抛物线与x轴没有交点。
知识点17、求二次函数的最大值
常见的有两种方法：（1）直接代入顶点坐标公式（）。
（2）将y＝ax2＋bx＋c配方，利用非负数的性质进行数值分析。
两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。
例题精讲
例1. 若一次函数y＝2x＋m－2的图象经过第一、二、三象限，求m的值．
分析：这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y＝kx＋b（k≠0）．首先要考虑m2－2m－2＝1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k＞0，b＞0，而k＝2，只需考虑m－2＞0．由便可求出m的值．
所以m＝3
例2. 鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长
16
19
24
27
鞋码
22
28
38
44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？
分析：本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．
解：（1）一次函数，
（2）设y＝kx＋b，则由题意，得，∴y＝2x－10，
（3）当x＝26时，y＝2×26－10＝42．
答：应该买42码的鞋．
例3. 某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
（1）分别求出当x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
分析：本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．
解：（1）当x≤40时，设y＝kx＋b．
根据题意，得，
∴当x≤40时，y与x之间的关系式是y＝50x＋1500，
∴当x＝40时，y＝50×40＋1500＝3500，
当x≥40时，根据题意得，y＝100（x－40）＋3500，即y＝100x－500．
∴当x≥40时，y与x之间的关系式是y＝100x－500．
（2）当y≥4000时，y与x之间的关系式是y＝100x－500，
解不等式100x－500≥4000，得x≥45，
∴应从第45天开始进行人工灌溉．
例4. 若函数y＝（m2－1）x为反比例函数，则m＝________．
分析：在反比例函数y＝中，其解析式也可以写为y＝k·x－1，故需满足两点，一是m2－1≠0，二是3m2＋m－5＝－1
解：m＝
点评：函数y＝为反比例函数，需满足k≠0，且x的指数是－1，两者缺一不可．
例5. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y2＜y1 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1
解析：反比例函数y＝的图象是双曲线、由k＝2＞0知双曲线两个分支分别位于第一、三象限内，且在每一个象限内，y的值随着x值的增大而减小的，点P1，P2，P3的横坐标均为负数，故点P1，P2均在第三象限内，而P3在第一象限．故y＞0．此题也可以将P1，P2，P3三点的横坐标取特殊值分别代入y＝中，求出y1，y2，y3的值，再比较大小．解：C
例6. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝图象交于A（－2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
解析：（1）求反比例函数解析式需要求出m的值．把A（－2，1）代入y＝中便可求出m＝－2．把B（1，n）代入y＝中得n＝－2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围．
解：（1）y＝－，y＝－x－1 （2）x＜－2或0＜x＜1
例7. （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图（1），则点M（b，）在（D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图（2）所示，
则下列结论：①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a＋b＝0；④当y＝－2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（1） （2）
点评：弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例8. 已知抛物线y＝x2＋x－．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
点评：本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
解：（1）顶点（－1，－3），对称轴x＝－1，（2）2
例9. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
分析：本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好地考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
解：设矩形PNDM的边为DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2≤x≤4）
易知CN＝4－x，EM＝4－y．且有（作辅助线构造相似三角形），即＝，∴y＝－x＋5，S＝xy＝－x2＋5x（2≤x≤4），
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，
∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，
对2≤x≤4来说，当x＝4时，S有最大值S最大＝－×42＋5×4＝12．
例10. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
解：（1）设此一次函数表达式为y＝kx＋b．则，解得k＝－1，b＝40，即一次函数表达式为y＝－x＋40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w＝（x－10）（40－x）＝－x2＋50x－400＝－（x－25）2＋225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
点评：解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例11. 已知点A（0，－6），B（－3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．
点评：本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．
解：设直线AB的解析式为y＝k1x＋b，则 解得k1＝－2，b＝－6．
所以直线AB的解析式为y＝－2x－6．
∵点C（m，2）在直线y＝－2x－6上，∴－2m－6＝2，
∴m＝－4，即点C的坐标为C（－4，2），
由于A（0，6），B（－3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C（－4，2），设经过点C的反比例函数的解析式为y＝．则2＝，
∴k2＝－8．即经过点C的反比例函数的解析式为y＝－．
例12. 某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
点评：这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x的关系式，同时这也是一道确定最优方案的题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．
解：（1）设y＝kx＋b，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320，
∴
∴y与x的函数关系式为y＝－80x＋720．
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），
当y＝380时，380＝－80x＋720，得x＝4.25．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25＋780＝2395（元），
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，
则W＝xy＝x（－80x＋720）＝－80（x－）2＋1620．
∴当x＝时，W最大值＝1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则50a≥W最大值＋780，即50a≥1620＋780．解之得，a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
例13. 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）
点评：本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．
解：（1）设y1＝mx＋n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），
∴ 解得：m＝－，n＝5.1，
∴y1＝－x＋5.1（0≤x≤50）．
（2）又由题目已知条件可设y2＝a（x－25）2＋2．因其图象过点（15，3），
∴3＝a（15－25）2＋2，∴a＝，
∴y2＝x2－x＋（或y＝（x－25）2＋2）（0≤x≤50）
（3）设第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y1－y2＝－（x2－44x＋315）（0≤x≤55）．
依题意：y1－y2＝0，即x2－44x＋315＝0，∴（x－9）（x－35）＝0，解得：x1＝9，x2＝35．
所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．
课后练习
一. 选择题
1. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点，则kx＋b＞0的解集是（ ）
A. x＞0 B. x＞2 C. x＞－3 D. －3＜x＜2
2. 如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则y＞0时，x的取值范围是（ ）
A. x＞－4 B. x＞0 C. x＜－4 D. x＜0
3. 已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
4. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A. I＝
5. 如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝（k＜0）的图像分别交于A、B两点，若A点坐标为（a，b），则B点的坐标为（ ）
A. （a，b） B. （b，a） C. （－b，－a） D. （－a，－b）
6. 反比例函数y＝与正比例函数y＝2x图象的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）
7. 函数y＝（k≠0）的图象如图所示，那么函数y＝kx－k的图象大致是（ ）
8. 已知点P是反比例函数y＝（k≠0）的图像上的任一点，过P点分别作x轴，y轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4
9. 如图，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y＝x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（ ）
A. 3 B. C. －1 D. ＋1
10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
11. 根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2＋bx＋c
－0.03
－0.01
0.02
0.04
A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
二. 填空题
1. 函数y1＝x＋1与y2＝ax＋b的图象如图所示，这两个函数的交点在y轴上，那么y1、y2的值都大于零的x的取值范围是_ ______．
2. 经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是______ ．
3. 如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是________．
4. 将抛物线y＝x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________
5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是___ _____．
三. 解答题
1. 地表以下岩层的温度t（℃）随着所处的深度h（千米）的变化而变化．t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系．
（1）根据下表，求t（℃）与h（千米）之间的函数关系式；
（2）求当岩层温度达到1770℃时，岩层所处的深度为多少千米？
温度t（℃）
…
90
160
300
…
深度h（km）
…
2
4
8
…
2. 甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地．L1、L2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求L2的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；
（2）甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆车早多长时间到达B地？
3. 在平面直角坐标系XOY中，直线y＝－x绕点O顺时针旋转90°得到直线L，直线L与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．
4. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了完全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如下图所示．
（1）请直接写出反比例函数表达式和自变量的取值范围；
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
5. 如图，已知反比例函数y1＝（m≠0）的图象经过点A（－2，1），一次函数y2＝kx＋b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
6. 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（，－4）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
7. 观察下面的表格：
x
0
1
2
ax2
2
ax2＋bx＋c
4
6
（1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；
（2）求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标与对称轴．
8. 如图，P为抛物线y＝x2－x＋
上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP＝1，求矩形PAOB的面积．
9. 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x－1）2＋k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．
10. 近几年，连云港市先后获得“中国优秀旅游城市”和“全国生态建设示范城市”等十多个殊荣．到连云港观光旅游的客人越来越多，花果山景点每天都吸引大量游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价40元，现设浮动票价为x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）设该景点一天的门票收入为w元
①试用x的代数式表示w；
②试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？
11. 某环保器材公司销售一种市场需求量较大的新型产品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元），存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关系z＝10y＋42.5．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售总金额－年销售产品的总进价－年总开支金额）当销售单价为x为何值的，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？
练习答案
一. 选择题
1. C 2. A 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9. D 10. B 11. C
二. 填空题
1. －1＜x＜2 2. y＝x－2或y＝－x＋2 3. y＝－ 4. y＝（x＋4）2－2（y＝x2＋8x＋14） 5. －2
三. 解答题
1. 解：（1）t与h的函数关系式为t＝35h＋20．（2）当t＝1770℃时，有1770＝35h＋20，解得：h＝50千米．
2. 解：（1）设L2的函数表达式是y＝k2x＋b，则
解之，得k2＝100，b＝－75，∴L2的函数表达式为y＝100x－75．
（2）乙车先到达B地，∵300＝100x－75，∴x＝．
设L1的函数表达式是y＝k1x，∵图象过点（，300），
∴k1＝80．即y＝80x．当y＝400时，400＝80x，
∴x＝5，∴5－＝（小时），∴乙车比甲车早小时到达B地．
3. 解：依题意得，直线L的解析式为y＝x．
因为A（a，3）在直线y＝x上，则a＝3，即A（3，3），
又因为（3，3）在y＝的图象上，可求得k＝9，所以反比例函数的解析式为y＝
4. 解：（1）P＝（S＞0），（2）当S＝0.2时，P＝＝3000．即压强是3000Pa．
（3）由题意知，≤6000，∴S≥0.1．即木板面积至少要有0.1m2．
5. 解：（1）反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝x＋3．（2）点B的坐标为B（－1，2）
6. 解：1）反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－2x－3．（2）S△AOB＝个平方单位．
7. 解：（1）a＝2，b＝－3，c＝4，0，8，3 （2）顶点坐标为（，），对称轴是直线x＝
8. 解．∵PA⊥x轴，AP＝1，∴点P的纵坐标为1．当y＝1时，x2－x＋＝1，
即x2－2x－1＝0，解得x1＝1＋，x2＝1－，
∵抛物线的对称轴为x＝1，点P在对称轴的右侧，
∴x＝1＋，∴矩形PAOB的面积为（1＋）个平方单位．
9. 解：本题共四种情况，设二次函数的图像的对称轴与x轴相交于点E，
（1）如图①，
当∠CAD＝60°时，因为ABCD为菱形，一边长为2，
所以DE＝1，BE＝，所以点B的坐标为（1＋，0），点C的坐标为（1，－1），
解得k＝－1，a＝，所以y＝（x－1）2－1．
（2）如图②，当∠ACB＝60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），
点C的坐标为（1，－），解得k＝－，a＝，所以y＝（x－1）2－，
同理可得：y＝－（x－1）2＋1，y＝－（x－1）2＋，
所以符合条件的二次函数的表达式有：
y＝（x－1）2－1，y＝（x－1）2－，y＝－（x－1）2＋1，y＝－（x－1）2＋．
10. 解：（1）设函数解析式为y＝kx＋b，由图象知：直线经过（50，3500）（60，3000）两点．
则，∴函数解析式为y＝6000－50x．
（2）①w＝xy＝x（6000－50x），即w＝－50x2＋6000x．
②w＝－50x2＋6000x＝－50（x2－120x）＝－50（x－60）2＋180000，
∴当票价定为60元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元
11. 解．（1）由题意，设y＝kx＋b，图象过点（70，5），（90，3），
∴ ∴y＝－x＋12．
（2）由题意，得w＝y（x－40）－z＝y（x－40）－（10y＋42.5）
＝（－x＋12）（x－40）－10×（－x＋12）－42.5
＝－0.1x2＋17x－642.5＝－（x－85）2＋80．
当x＝85时，年获利的最大值为80万元．
（3）令w＝57.5，得－0.1x2＋17x－642.5＝57.5，
整理，得x2－170x＋7000＝0．解得x1＝70，x2＝100．
由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价为70元到100元之间．
又因为销售单位越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．
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