2018届高三数学（理人教版）二轮复习阶段提升突破练：（四） Word版含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 阶段提升突破练(四)‎ ‎(立体几何)‎ ‎(60分钟　100分)‎ 一、选择题(每小题5分，共40分)‎ ‎1.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎【解题导引】根据线、面垂直的定义判断.‎ ‎【解析】选C.由题意知，α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，‎ 所以n⊥l.‎ ‎2.(2017·长沙二模)如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D.2‎ ‎【解析】选A.由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中的三棱锥C1-BDE，其中点E是CD中点，△BDE面积S=×‎ ‎=1，三棱锥C1-BDE的高h=CC1=2，‎ 所以该四面体的体积：V=Sh=.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)‎ A.10 B‎.12 ‎ C.14 D.16‎ ‎【解题导引】主要考查如何将三视图转化为几何体问题，突出考查考生的空间想象能力.‎ ‎【解析】选B.由三视图可画出立体图，该立体图各面中只有两个相同的梯形的面，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 S梯=×2÷2=6，S全梯=6×2=12.‎ ‎【加固练习】(2017·黄冈模拟)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是(　　)‎ A.13π B.16π C.25π D.27π ‎【解析】选C.几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，‎ 所以长方体底面边长为2，‎ 则长方体外接球半径为r，‎ 则2r==5，所以r=，[来源:学科网ZXXK]‎ 所以长方体外接球的表面积S=4πr2=25π.‎ ‎4.(2017·合肥二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 ‎【解析】选C.如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH，‎ 因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，‎ 所以EF∥平面BCD，‎ 因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，‎ 所以EF∥CD，所以CD∥平面EFGH，‎ 同理AB∥平面EFGH.‎ ‎5.(2017·昆明一模)如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，点P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【解题导引】根据题意，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，得出BQ∥PD，∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角(或其补角)，利用等边三角形求出∠C1BQ的值即可.‎ ‎【解析】选C.长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，[来源:学科网ZXXK]‎ 因为点P是AB的中点，所以BQ∥PD，‎ 所以∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角(或其补角)，‎ 如图所示：‎ 在△C1BQ中，C1B=BQ=C1Q=，‎ 所以∠C1BQ=60°，‎ 即异面直线BC1与PD所成角等于60°.‎ ‎6.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC ‎【解析】选C.以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为2，‎ 则A1(2，0，2)，E(0，1，0)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，C1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(0，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，‎ ‎=(-2，1，-2)，=(0，2，2)，‎ ‎=(-2，-2，0)，=(-2，0，2)，=(-2，2，0)，‎ 因为·=-2，·=2，·=0，·=6，所以A1E⊥BC1.‎ ‎7.(2017·洛阳二模)一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；‎ ‎(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形.其中正确的结论是(　　)[来源:Z#xx#k.Com][来源:学科网ZXXK]‎ A.(1)(3) B.(2)(4)‎ C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)‎ ‎【解析】选B.正方体容器中盛有一半容积的水，‎ 无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.‎ 三角形截面不过正方体的中心，故(1)不正确；‎ 过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故(2)正确；‎ 正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故(3)不正确；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故(4)正确.‎ ‎8.如图所示，ABCD-A1B‎1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为(　　)‎ 世纪金榜导学号92494243‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ A1(6，0，6)，D(0，0，0)，C1(0，6，6)，由题意知：当E(6，3，0)，F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n=(a，b，c)，=(6，0，6)，=(6，3，0)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则取a=1，得n=(1，-2，-1)，‎ 设平面C1DF的一个法向量为m=(x，y，z)，‎ ‎=(0，6，6)，=(3，6，0)，‎ 则取x=2，得m=(2，-1，1)，‎ 设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，‎ 则cosθ===，‎ 所以平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为.‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎9.(2017·山东高考)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.‎ ‎【解析】由三视图可知长方体的体积为V1=2×1×1=2，两个四分之一圆柱的体积之和为V2=×π×12×1×2=‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，所以该几何体的体积为V=2+.‎ 答案：2+‎ ‎【加固训练】(2017·大庆二模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________.‎ ‎【解析】由三视图可知：‎ 该几何体为三棱锥P-ABC，其中底面是底边与底边上的高都为2的等腰三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2.‎ 所以这个几何体的体积V=××22×2=.‎ 答案：‎ ‎10.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.‎ ‎【解析】取SC的中点O，连接OA，OB，‎ 因为SA=AC，SB=BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.‎ 因为平面SAC⊥平面SBC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以OA⊥平面SBC.设OA=r，‎ VA-SBC=×S△SBC×OA=××2r×r×r=r3，‎ 所以r3=9⇒r=3，所以球的表面积为4πr2=36π.‎ 答案：36π ‎11.(2017·本溪二模)已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：‎ ‎①若α∩β=a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；‎ ‎②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；‎ ‎④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；‎ ‎⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β.‎ 上述五个命题中，正确命题的序号是________.‎ ‎【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于同一平面内两条相交的直线，故a⊥b，a不一定垂直平面β，故不正确，‎ 对于②，a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，‎ 对于③，α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，‎ 对于④，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，‎ 对于⑤，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，故正确.‎ 答案：②⑤‎ ‎12.如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=，则二面角A-PB-C的余弦值大小为________.‎ 世纪金榜导学号92494244[来源:学§科§网]‎ ‎【解析】以点C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系.‎ 因为A(1，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，‎ 所以=(0，0，1)，=(-1，，-1)，=(0，，0)，‎ 设平面APB的法向量为n1=(x1，y1，z1)，‎ 平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，‎ 则　‎ 所以可取n1=(2，，0)，n2=(-1，0，1)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以cos==-，‎ 所以二面角A-PB-C的余弦值为.‎ 答案：‎ 三、解答题(每小题10分，共40分)‎ ‎13. (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 世纪金榜导学号92494245‎ 求证：(1)EF∥平面ABC.‎ ‎(2)AD⊥AC.‎ ‎【解题导引】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论.‎ ‎(2)利用面面垂直的性质得BC⊥AD，又AB⊥AD，从而得到AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC.‎ ‎【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以BC⊥平面ABD.‎ 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.‎ 又因为AB⊥AD，BC∩AB=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.‎ ‎14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点.　世纪金榜导学号92494246‎ ‎(1)求证：平面EAC⊥平面PBC.‎ ‎(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.‎ ‎【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC，‎ 因为AB=2，AD=CD=1，∠ADC=90°，所以AC=BC=，‎ 所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC.‎ 又因为BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC，‎ 因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.‎ ‎(2)如图，以C为原点建立空间直角坐标系，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则C(0，0，0)，A(1，1，0)，‎ B(1，-1，0).‎ 设P(0，0，a)(a>0)，‎ 则E，‎ ‎=(1，1，0)，=(0，0，a)，=，‎ 取m=(1，-1，0)，则m·=m·=0，m为平面PAC的一个法向量.‎ 设n=(x，y，z)为平面EAC的一个法向量，则n·=n·=0，‎ 即取x=a，y=-a，z=-2，则n=(a，-a，-2)，‎ 依题意，|cos|===，则a=1.‎ 于是n=(1，-1，-2)，=(1，1，-1).‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ=|cos|=，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.‎ ‎【加固训练】‎ ‎1.如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：(1)平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ ‎【证明】(1)因为AS=AB，AF⊥SB，垂足为F，‎ 所以点F是SB的中点.‎ 又因为点E是SA的中点，所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又因为EF∩EG=E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又因为AF⊂平面SAB，AF⊥SB，‎ 所以AF⊥平面SBC.‎ 因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB=A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.‎ ‎2.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AD，M，N分别为AB，PC的中点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 求证：(1)MN∥平面PAD.‎ ‎(2)平面PMC⊥平面PDC.‎ ‎【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 设PA=AD=a，AB=b.‎ ‎(1)易知为平面PAD的一个法向量，=(b，0，0).‎ 又因为=，‎ 所以·=0，‎ 所以⊥.‎ 又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.‎ ‎(2)由(1)知P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)，‎ 所以=(b，a，-a)，=，=(0，a，-a)，‎ 设平面PMC的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由即 所以令z1=b，则n1=(‎2a，-b，b)，‎ 设平面PDC的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，‎ 则即 解得令z2=1，则n2=(0，1，1)，‎ 由于n1·n2=0-b+b=0，所以n1⊥n2，‎ 所以平面PMC⊥平面PDC.‎ ‎15.如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=‎2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点.　世纪金榜导学号92494247‎ ‎(1)求证：AO⊥BE.‎ ‎(2)求二面角F-AE-B的余弦值.‎ ‎【解题导引】(1)要证AO⊥EB，只需证明AO⊥平面EBCF.‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角余弦值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】(1)因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.‎ 又因为平面AEF⊥平面EFCB，交线EF，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EBCF.因为BE⊂平面EBCF，所以AO⊥BE.‎ ‎(2)取BC的中点D，连接OD.如图分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，a)，E(a，0，0)，B(2，2-a，0)，‎ ‎=(a，0，-a)，‎ ‎=(2，2-a，-a)，‎ 设平面ABE的法向量n1=(x，y，z)，则 令z=1，得所以n1=(，-1，1).‎ 平面AEF的法向量n2=(0，1，0).‎ 所以cos===-.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以余弦值为-.‎ ‎16.如图(1)，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图(2)所示，已知M，N分别为AF，BD的中点.‎ 世纪金榜导学号46854248‎ ‎(1)求证：MN∥平面BCF.‎ ‎(2)若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小.‎ ‎【解析】(1)连接AC，‎ 因为四边形ABCD是矩形，N为BD中点，‎ 所以N为AC中点.‎ 在△ACF中，M为AF中点，‎ 故MN∥CF.‎ 因为CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，‎ 所以MN∥平面BCF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，‎ 所以AD⊥平面ABFE，‎ 所以DE在平面ABFE上的射影是AE.‎ 所以∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角.‎ 故在Rt△DAE中：tan∠DEA===，‎ 所以AD=，DE=.‎ 设P∈EF且AP⊥EF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，0)，D(0，0，)，‎ E(-，，0)，F(3，，0)，C(2，0，)‎ 所以=(0，0，)，=(-，，0)，=(-，，-)，=(2，0，0).‎ 设m=(x，y，z)，n=(r，s，t)分别是平面ADE与平面CDEF的法向量，令 即 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 取m=(1，1，0)，n =(0，1，1)，则cos==，所以平面CDEF与平面ADE所成锐二面角的大小为.‎ 关闭Word文档返回原板块 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费