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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第四单元限时检测卷 ‎(时间：120分钟　分值：120分)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．等腰三角形的顶角为50°，则底角的度数为(　　)‎ A．50° B．65°‎ C．80° D．130°‎ ‎2．(2017重庆)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)‎ A．3∶2 B．3∶5‎ C．9∶4 D．4∶9‎ ‎3．若一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边的长度不可能为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．5 D．7‎ ‎4．如图1，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝6，则DF等于(　　)‎ 图1‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎5．(2017大连)如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为(　　)‎ 图2‎ A．‎2a B．‎2 ‎a C．‎3a D．a ‎6．如图3，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，AE，则下列结论中不一定成立的是(　　)‎ 图3‎ A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．一个角的度数为30°，它的余角的度数为__________．‎ ‎8．如图4，直线l1∥l2∥l3，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线l2，l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1＝25°，则边AB与直线l1的夹角∠2＝__________.‎ 图4‎ ‎9．(2017鸡西)如图5，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件________________，使得△ABC≌△DEF.‎ 图5‎ ‎10．如图6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，ED垂直平分AC交AB于点E，则ED的长为__________．‎ 图6‎ ‎11．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图7)，则折断后的竹子高度为__________尺．(1丈＝10尺)‎ 图7‎ ‎12．如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为__________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图8‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．(本题共2小题，每小题6分)‎ ‎(1)计算：2sin 30°－2cos 60°＋tan 45°.‎ ‎(2)如图9，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．‎ 图9‎ ‎14．如图10，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠CAE，求证：△ABC∽△ADE.‎ 图10‎ ‎15．如图11，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F.‎ 图11‎ 求证：DE＝BF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．(2017哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.‎ ‎(1)如图12，求证：AE＝BD；‎ 图12‎ ‎(2)如图13，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图13中四对全等的直角三角形．‎ 图13‎ ‎17．如图14，△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作直角三角形ADC．‎ 图14‎ ‎(1)求证：FE＝FD；‎ ‎(2)若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．如图15，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图16，点O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA＝OB＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14 cm‎，CA＝CB＝‎4 cm，∠ACB＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为‎0.6 cm.‎ ‎ ‎ 图15 图16‎ ‎(1)求点O到直线AB的距离；‎ ‎(2)求∠AOB的大小；‎ ‎(3)若台历纸的下端点D离支架底端B的距离为‎2 cm，求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面点D所经历的路径长．‎ ‎(参考数据：sin 14.33°≈0.25，cos 14.33°≈0.97，tan 14.33°≈0.26，≈6.78，π取3.14，所有结果精确到0.01)‎ ‎19．如图17，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CE⊥BD于E，AB＝EC．‎ 图17‎ ‎(1)求证：△ABD≌△ECB；‎ ‎(2)若∠EDC＝65°，求∠ECB的度数；‎ ‎(3)若AD＝3，AB＝4，求DC的长．‎ ‎20．如图18，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D，E分别是AB，AC的中点．延长BC至点F，使CF＝CE.‎ 图18‎ ‎(1)求∠ABC的度数；‎ ‎(2)求证：BE＝FE；‎ ‎(3)若AB＝2，求△CEF的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．图19是一辆自行车的侧面图，图20是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为‎66 cm，车座B到地面的距离BE为‎90 cm，中轴轴心C到地面的距离CF为‎33 cm，车架中立管BC的长为‎60 cm，后轮切地面l于点D．(可以使用科学计算器)‎ ‎(1)后轴轴心A与中轴轴心C所在的直线AC与地面l是否平行？请说明理由．‎ ‎(2)求sin ∠ACB；‎ ‎(3)如果希望车座B到地面的距离B′E′为‎93.8 cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？‎ ‎ ‎ 图19 图20‎ ‎22．将两块全等的三角板如图21摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.‎ ‎(1)将图21中的△A1B‎1C绕点C顺时针旋转45°得图22，点P1是A‎1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；‎ ‎(2)在图22中，若AP1＝a，则CQ等于多少？‎ ‎(3)将图22中的△A1B‎1C绕点C顺时针旋转到△A2B‎2C(如图23)，点P2是A‎2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP‎1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在什么样的数量关系？‎ ‎ ‎ 图21 　图22　 图23‎ 六、(本大题共12分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”．如图24，在△ABC中，∠B＝90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F.‎ ‎(1)设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，则＝__________；‎ ‎(2)若∠AED＝∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；‎ ‎(3)若△BDF是“潜力三角形”，且BF＝1，求线段AC的长．‎ 图24‎ 第四单元限时检测卷 ‎1．B　2.A　3.D　4.C　5.B　6.D　7.60°　8.35°‎ ‎9．AB＝DE(答案不唯一)　10.3　11.4.2　12.4 或6 ‎13．解：(1)原式＝2×－2×＋1＝1－1＋1＝1.‎ ‎(2)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.‎ ‎∴∠B＋∠BCD＝90°，∠B＋∠A＝90°.‎ ‎∴∠BCD＝∠A.‎ ‎∵AB＝10，AC＝8，‎ ‎∴cos∠BCD＝cos A＝＝＝.‎ ‎14．证明：∵∠DAB＝∠CAE，‎ ‎∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，‎ 即∠DAE＝∠BAC.‎ ‎∵AD＝AE，AB＝AC，‎ ‎∴＝.∴△ABC∽△ADE.‎ ‎15．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACD.‎ ‎∵DE⊥AC，∠ABC＝90°‎ ‎∴DE＝BD，∠EDC＝∠BDC.‎ ‎∵BF∥DE，∴∠EDC＝∠BFD.‎ ‎∴∠BDC＝∠BFD.∴BD＝BF.‎ ‎∴DE＝BF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.‎ ‎∴∠BCD＝∠ACE.‎ ‎∴△ACE≌△BCD.∴AE＝BD.‎ ‎(2)解：△ACB与△DCE，△EMC与△BNC，△AON与△DOM，△AOB与△DOE.‎ ‎【提示】∵AC＝DC，∴AC＝DC＝EC＝CB，△ACB≌△DCE；‎ 由(1)可知∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，‎ ‎∴∠DOM＝90°.‎ ‎∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BNC.‎ ‎∴CM＝CN.∴DM＝AN，△AON≌△DOM.‎ ‎∵DE＝AB，AO＝DO，∴△AOB≌△DOE.‎ ‎17．(1)证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，∴FE＝AB.‎ ‎∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AC.‎ ‎∵AB＝AC，∴FE＝FD.‎ ‎(2)解：∵E，F分别是BC，AC的中点，‎ ‎∴FE∥AB.∴∠EFC＝∠BAC＝24°.‎ ‎∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝AF.‎ ‎∴∠ADF＝∠CAD＝24°.∴∠DFC＝48°.∴∠EFD＝72°.‎ ‎∵FE＝FD，∴∠FED＝∠EDF＝54°.‎ ‎18．解：(1)如图1，连接AB，OC，延长OC交AB于点D，‎ 图1‎ ‎∵OA＝OB，CA＝CB，‎ ‎∴OD是AB的垂直平分线．‎ 又CA＝CB，∠ACB＝120°，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝60°.‎ ‎∴AD＝4×sin 60°＝2 .‎ ‎∴OD＝＝＝2 ≈13.56.‎ 即点O到直线AB的距离为‎13.56 cm.‎ ‎(2)∵OD⊥AB，OD＝‎13.56 cm，OA＝‎14 cm，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴cos∠AOD＝＝≈0.97.‎ ‎∴∠AOD≈14.33°.‎ ‎∴∠AOB＝2∠AOD≈28.66°.‎ ‎(3)∵∠AOB≈28.66°，∴日历从台历正面翻到背面所经历的角的大小为360°－28.66°≈331.34°.‎ ‎∵OB＝‎14 cm，BD＝‎2 cm，∴OD＝‎12 cm.‎ ‎∴日历从台历正面翻到背面所经历的路径长约为≈69.36(cm)．‎ ‎19．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.‎ ‎∵∠A＝∠CEB＝90°，AB＝EC，∴△ABD≌△ECB.‎ ‎(2)解：∵△ABD≌△ECB，‎ ‎∴BD＝BC.∴∠BCD＝∠EDC＝65°.‎ ‎∵∠DCE＝90°－65°＝25°，∴∠ECB＝40°.‎ ‎(3)解：∵△ABD≌△ECB，‎ ‎∴CE＝AB＝4，BE＝AD＝3.‎ ‎∴BD＝BC＝＝5.∴DE＝2.‎ ‎∴DC＝＝2 .‎ ‎20．(1)解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点，∴AB＝BC.‎ ‎∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∴∠ABC＝60°.‎ ‎(2)证明：∵CF＝CE，∴∠F＝∠CEF.‎ ‎∵∠ACB＝60°＝∠F＋∠CEF，∴∠F＝30°.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，‎ ‎∴∠EBC＝30°.∴∠F＝∠EBC.‎ ‎∴BE＝FE.‎ ‎(3)解：如图2，过E点作EG⊥BC，‎ 图2‎ ‎∵BE⊥AC，∠EBC＝30°，AB＝BC＝2，‎ ‎∴BE＝，CE＝1＝CF.‎ 在△BEC中，EG＝BE·sin 30°＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴S△CEF＝×1×＝.‎ ‎21．解：(1)AC∥l.理由如下：‎ 如图3，连接AD.‎ 图3‎ ‎∵直线l切⊙A于点D，‎ ‎∴AD⊥l.又CF⊥l.∴AD∥CF.‎ 又AD＝‎33 cm＝CF，‎ ‎∴四边形ADFC为平行四边形．‎ 即AC∥l.‎ ‎(2)∵AC∥l，‎ ‎∴∠BHC＝∠BEF＝90°.‎ 又BH＝BE－HE＝BE－CF＝90－33＝57(cm)，BC＝‎60 cm，‎ ‎∴sin ∠ACB＝＝＝.‎ ‎(3)如图3所示，B′E′＝‎93.8 cm，‎ 设B′E′与AC交于点H′，则有B′H′∥BH，‎ ‎∴△B′H′C∽△BHC.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴B′C＝‎64 cm.‎ ‎∴BB′＝B′C－BC＝64－60＝4(cm)．‎ ‎∴车架中立管BC拉长的长度BB′应是‎4 cm.‎ ‎22．(1)证明：∵∠BCP1＝45°，∠B1CA1＝90°，‎ ‎∴∠B1CQ＝45°.‎ 又B‎1C＝BC，∠B1＝∠B，‎ ‎∴△B1CQ≌△BCP1.∴CQ＝CP1.‎ ‎(2)解：如图4，过点P1作P1D⊥AC于D，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图4‎ ‎∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1.‎ ‎∵∠P1CD＝45°，∴＝sin 45°＝.‎ ‎∴CP1＝P1D＝AP1.‎ 又AP1＝a，CQ＝CP1，∴CQ＝a.‎ ‎(3)解：当∠P1CP2＝∠P‎1AC＝30°时，由于∠CP1P2＝∠AP‎1C，则△AP‎1C∽△CP1P2，‎ ‎∴将△A1B‎1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B‎2C时，有△AP‎1C∽△CP1P2.‎ 这时＝＝，∴CP1＝P1P2.‎ ‎23．(1)解：2或；‎ ‎【提示】分两种情况：‎ ‎①当直角边与斜边的比值为，即＝时，＝2；‎ ‎②当两条直角边的比值为时，设较长直角边长为b，‎ 则＝，b＝‎2a，‎ c＝＝a.∴＝.‎ ‎(2)证明：延长AE交BC于G，如图5所示，‎ 图5‎ ‎∵DF∥AE，D是AB的中点，‎ ‎∴∠AED＝∠CDF，BF＝GF.‎ ‎∵∠AED＝∠DCB，∴∠CDF＝∠DCB.‎ ‎∴DF＝CF.‎ ‎∵DF∥AE，E是CD的中点，∴CG＝GF.‎ ‎∴BF＝GF＝CG.∴DF＝CF＝2BF.‎ ‎∴＝.‎ 又∠B＝90°，∴△BDF是“潜力三角形”．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)解：分四种情况：‎ ‎①当＝时，‎ ‎∵BF＝1，∴GF＝CG＝BF＝1，BD＝2.‎ ‎∴AB＝2BD＝4，BC＝3.‎ ‎∴AC＝＝＝5.‎ ‎②当＝2时，DF＝2BF＝2，‎ ‎∴BD＝＝＝.‎ ‎∴AB＝2BD＝2 .‎ ‎∵BC＝3，∠B＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝.‎ ‎③当＝时，BD＝BF＝，‎ ‎∴AB＝2BD＝1.‎ ‎∵BC＝3，∠B＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝.‎ ‎④当＝时，‎ 设BD＝x，则DF＝2x，‎ 由勾股定理得(2x)2－x2＝12，解得x＝.‎ ‎∴AB＝2BD＝.‎ ‎∵BC＝3，∠B＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝.‎ 综上所述：若△BDF是“潜力三角形”，且BF＝1，线段AC的长为5或或或.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费