几何证明综合题热点聚焦（1）课后练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习 ‎1. 已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，。‎ ‎（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD、BC，点M为线段BC的中点，连接OM，则线段AD与OM之间的数量关系是__________，位置关系是__________。‎ ‎（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为（）。连接AD、BC，点M为线段BC的中点，连接OM。请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ ‎（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点。请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。‎ ‎2. 在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转。‎ ‎（1）当点O为AC中点时，‎ ‎①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；‎ ‎②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值。‎ ‎3. 在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）。‎ ‎（1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎）中得到的两个结论是否成立，若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若不成立，请直接写出你的结论。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习 参考答案 ‎1.（1）AD =2OM，‎ ‎（2）（1）中的两个结论仍然成立。 ‎ 证明如下：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连接CF。‎ ‎∵M为BC中点，O为BF中点，‎ ‎∴MO为的中位线，∴FC =2OM ‎ ‎∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOD =∠FOC。 ‎ ‎∵AO =FO，CO=DO， ∴△AOD≌△FOC。‎ ‎∴FC=AD，∴AD =2OM。‎ ‎∵MO为的中位线，‎ ‎∴MO∥CF，∴∠MOB =∠F。‎ 又∵，∴=。‎ ‎∵+=90°，∴+=90°，即。‎ ‎（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化。‎ 证明如下：如图3，延长DC交AB于点E，连接ME，过点E作于点N。‎ ‎∵OA＝OB，OC＝OD，，‎ ‎∴。‎ ‎∴AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°。 ‎ ‎∴DN=AN，∴AD＝2NE。‎ ‎∵M为BC的中点，∴。‎ ‎∴四边形ONEM是矩形，∴NE＝OM，∴AD＝2OM。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2. （1）①猜想：。‎ ‎②成立。证明如下：连接OB。 ‎ ‎∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，‎ ‎∴，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°。‎ ‎∴∠EBO=∠FCO。‎ ‎∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC。 又∵∠EBO=∠FCO，‎ ‎∴ΔOEB≌ΔOFC（ASA），∴BE=CF。‎ 又∵BA=BC，∴AE=BF。‎ 在RtΔEBF中，∵∠EBF=90°，，。‎ ‎（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N。‎ ‎∵∠B=90°，∴∠MON=90°。‎ ‎∵∠EOF=90°，‎ ‎∴∠EOM=∠FON。 ‎ ‎∵∠EMO=∠FNO=90°，∴ΔOME∽ΔONF。‎ ‎∴‎ ‎∵ΔAOM和ΔOCN为等腰直角三角形，‎ ‎∴ΔAOM∽ΔOCN，∴。∵，∴。‎ ‎3. （1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=。‎ 证明如下：如图，过点E作EG⊥AF于点G，则∠EGN=90°。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵ 矩形ABCD中，AB=BC，∴矩形ABCD为正方形。 ‎ ‎∴ AB =AD =CD，∠A=∠ADC =∠DCB =90°。‎ ‎∴ EG//CD，∠EGN =∠A，∠CDF =90°。 ‎ ‎∵ E为CF的中点，EG//CD，∴ GF=DG =，∴‎ ‎∵ N为MD(AD)的中点，∴ AN=ND=‎ ‎∴ GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB。 ‎ ‎∴ △NGE≌△BAN，∴ ∠1=∠2。‎ ‎∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°，∴ ∠BNE =90°，∴ BN⊥NE。‎ ‎∵ ∠CDF =90°，CD=DF，可得 ∠F =∠FCD =45°，‎ 于是。‎ ‎（2）在（1）中得到的两个结论均成立。‎ 证明如下：如图，延长BN交CD的延长线于点G，‎ 连接BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H。‎ ‎∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CG。∴ ∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN。‎ ‎∵ N为MD的中点，∴ MN=DN，∴ △BMN≌△GDN，∴ MB=DG，BN=GN。‎ ‎∵ BN=NE，∴ BN=NE=GN，∴ ∠BEG=90°。‎ ‎∵ EH⊥CE，∴∠CEH =90°，∴∠BEG=∠CEH，∴∠BEC=∠GEH。‎ 由（1）得∠DCF =45°，∴ ∠CHE=∠HCE =45°，∴ EC=EH，∠EHG =135°。‎ ‎∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴ ∠ECB =∠EHG，∴ △ECB≌△EHG。 ‎ ‎∴ EB=EG，CB=HG。‎ ‎∵ BN=NG，∴ BN⊥NE。‎ ‎∵，∴=。 ‎ ‎（3）不一定等于；BN⊥NE。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费