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跟踪强化训练(七)
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析] 集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A∩B中元素的个数为2.
[答案] B
2．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
[解析] 本题主要考查集合的表示和集合的运算．因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．故选B.
[答案] B
3．(2017·黄冈质检)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q等于( )
A．[2,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．(2,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
[解析] 本题考查集合的概念和运算．由x2－x－2≤0得－1≤x≤2，所以P＝[－1,2]，由log2(x－1)≤1得02x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
[解析] 对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.
[答案] A
6．(2017·陕西西安二模)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝( )
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A．[－2,2] B．[0,2]
C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞)
[解析] 由A＝，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，
所以A∩B＝[2，＋∞)．故选D.
[答案] D
7．(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论：
①若x>0，则x>sinx恒成立；
②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x－lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx00时，x－sinx>0－0＝0，即当x>0时，x>sinx恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”，故②正确；对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x∈R，x－lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为3，故选C.
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[答案] C
8．(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 解法一：S4＋S6>2S5等价于(S6－S5)＋(S4－S5)>0，等价于a6－a5>0，等价于d>0.故选C.
解法二：∵Sn＝na1＋n(n－1)d，∴S4＋S6－2S5＝4a1＋6d＋6a1＋15d－2(5a1＋10d)＝d，即S4＋S6>2S5等价于d>0.故选C.
[答案] C
9．(2016·北京卷)设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.
[答案] D
10．(2017·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B
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为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.
[答案] A
11．(2017·湖北七市3月联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0a＋lnx，即x－lnx>a恒成立．
设f(x)＝x－lnx(x>0)，则f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，即1－＝0，解得x＝1.所以当x∈(0,1)时，f
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′(x)0，函数f(x)单调递增．
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝1－ln1＝1.
由不等式x－lnx>a恒成立可得1>a，即a0，使sinx≤x”的否定是：“对任意x>0，sinx>x”；
②函数f(x)＝sinx＋(x∈(0，π))的最小值是2；
③在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；
④若直线m∥直线n，直线m∥平面α，那么直线n∥平面α.
其中正确的命题是________．
[解析] 易知①正确；②中函数f(x)＝sinx＋，令t＝sinx，则g(t)＝t＋，t∈(0,1]为减函数，所以
g(t)min＝g(1)＝3，故②错误；由sin2A＝sin2B，可知2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故③正确；④中，直线n也可能在平面α内，故④错误．
[答案] ①③
16．(2017·江西临川一中月考)已知命题p：关于x的方程x2－mx－2＝0在[0,1]上有解；命题q：f(x)＝log2在[1，＋∞)上单调递增；若“綈p”为真命题，“p∨q”是真命题，则实数m
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的取值范围为________．
[解析] 当命题p为真，由于x2－mx－2＝0两根之积为－2，故x2－mx－2＝0有两异号的实根，且在[0,1]上仅有一根，且不为零，则有12－m×1－2≥0，解得m≤－1.当命题q为真，则y＝x2－2mx＋在[1，＋∞)上单调递增，且当x∈[1，＋∞)时，恒有x2－2mx＋>0，从而≤1且m
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