2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练22含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 跟踪强化训练(二十二)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.(2017·济南质检)如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．证明：‎ ‎(1)OM∥平面BCF；‎ ‎(2)平面MDF⊥平面EFCD.‎ ‎[证明]　证法一：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.‎ ‎(1)＝，＝(－1,0,0)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴·＝0，∴⊥.‎ ‎∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，‎ ‎∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，‎ 且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.‎ ‎(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．‎ ‎∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，‎ 由n1·＝n1·＝0，‎ 得解得 令x1＝1，则n1＝.‎ 同理可得n2＝(0,1,1)．‎ ‎∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.‎ 证法二：(1)＝＋＋ ‎＝－＋ ‎＝(＋)－＋ ‎＝－－＋ ‎＝－(＋)－＋ ‎＝－－.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴向量与向量，共面，‎ 又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.‎ ‎(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，‎ ‎∵＝，＝－，‎ ‎∴·＝·＝0，‎ ·＝·(－)‎ ‎＝－2＋2＝0.‎ ‎∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，‎ ‎∴OM⊥平面EFCD.‎ 又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.‎ ‎2．(2017·郑州质检)如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A‎1C1的中点．‎ ‎(1)证明：EF∥平面A1CD；‎ ‎(2)若三棱柱ABC－A1B‎1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC∥A‎1C1，且AC＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A‎1C1，‎ 连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.‎ 又F为A‎1C1的中点，可得A‎1F＝A‎1C1，所以A‎1F∥DE，A‎1F＝DE，‎ 因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，‎ 又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，‎ 所以EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B‎1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B‎1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B‎1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.‎ 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.‎ 设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以＝，＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 eq \o(DC,\s\up16(→))＝.‎ 设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，由得 设x＝2，解得n＝(2,1,0)．‎ 设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.‎ 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.‎ ‎3．(2017·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.‎ ‎(1)求证：M为PB的中点；‎ ‎(2)求二面角B－PD－A的大小；‎ ‎(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：设AC，BD交点为E，连接ME.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.‎ 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点．‎ 所以M为PB的中点．‎ ‎(2)取AD的中点O，连接OP，OE.‎ 因为PA＝PD，所以OP⊥AD.‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.‎ 因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.‎ 因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.‎ 如图建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．‎ 设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1，则y＝1，z＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 于是n＝(1,1，)．‎ 平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)．‎ 所以cos〈n，p〉＝＝.‎ 由题意知二面角B－PD－A为锐角，所以它的大小为.‎ ‎(3)由题意知M，C(2,4,0)，‎ ＝.‎ 设直线MC与平面BDP所成角为α，‎ 则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.‎ 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.‎ ‎4．(2017·沈阳二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCF；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，‎ ‎∵AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝3.‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.‎ ‎∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，‎ ‎∴AC⊥平面BCF.‎ ‎∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.‎ ‎(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，‎ ‎∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)，‎ 设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则即 令x＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB的一个法向量．‎ 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，‎ 设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，‎ 则cosθ＝＝ ‎＝.‎ ‎∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，‎ ‎∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费