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吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第三次调研测试
理科数学
本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合，且，则集合可以是
A． B． C． D．
2． 已知复数（为虚数单位）给出下列命题：①；②；③的虚部为. 其中正确命题的个数是
A. B. C. 2 D. 3
3． 若且，则
A． B． C． D．
4. 已知等差数列的公差不为，，且成等比数列，设的前项和为，则
A. B. C. D.
5． 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是
A． B． C． D．
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6． 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A.
B.
C.
D.
7．
A． B． C． D．
8． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是
, 绘制该四面体三视图时,按
照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为
A. B. C. D.
9． 设曲线上任一点处切线斜率为，则函数
的部分图象可以为
A. B. C. D.
10．平行四边形中， 点在边上，则的
最大值为
A. B. C. D.
11． 等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最
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大值与最小值的比值为
A. B. C. D.
12．已知函数（是以为底的自然对数，），若存
在实数，满足，则的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
13．设满足约束条件, 则的最大值为 .
14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额
上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则 .
15．某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)服从正态分布 ，从中
抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成
绩为事件,则在事件发生的条件下事件发生的概率 .
（结果用分数表示） 附：满足： ；
；.
16． 已知抛物线的焦点为，准线为，点在轴负半轴且
，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于
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点，则 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知函数部分图象如图所示.
（1）求值及图中的值；
（2）在中，角的对边分别为，已知
，求的值．
18．（本小题满分12分）
年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：
种植地编号
种植地编号
（1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
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19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，∥，，
．
（1）求证：平面平面;
（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点
，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于两点，与椭圆交
于两点，且，当取得最小值时，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.
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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22. （本小题满分10分）选修4 — 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．
（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线相交于两点，若，求的值．
23. （本小题满分10分）选修4 — 5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式：；
（2）若，且，求证：.
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数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
A
D
D
A
B
C
A
B
C
二．填空题：13．8 ; 14．63 ; 15． ; 16．
三．解答题
17．
解:：（1）由图象可以知道：，所以, 又因为，
所以 -----------------------------------------------------------------------3分
因为,所以，,
从而，.由图象可以知道, 所以 -------------------6分
（2）由,得,且,所以 ------------8分
因为,由正弦定理得 ----------------------------------------10分
又由余弦定理得：
解得 ----------------------------------------------------------------------12分
18．
解:（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有,
空气湿度指标为1的有, 空气湿度指标为2的有
在这10块青蒿人工种植地中任取两地,基本事件总数, ----------------2分
这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数, ---------4分
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所以这两地的空气温度的指标z相同的概率 -----------------------5分
（2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:
编号
A
综合指标
1
4
4
6
2
4
5
3
5
3
其中长势等级是一级有,共6个,
长势等级不是一级的有,共4个,
随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5, ----------------------------------------6分
, , , , , （注：每一个正确得1分）
所以的分布列为:
---------------------------11分
------------------12分
19．解
（1）证明: ∥
平面,平面
----------------------------------------------------2分
平面
平面
平面平面 ---------------------------------------------------4分
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（2）解: 以为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系如图所示
,由点C向AB作垂线CH, 则,
所以
所以
设，因为E在棱PB上，
所以（）, 所以
----------------------------------------------------6分
设平面PAC的法向量,
, ，取
则 ---------------------------------------------------8分
设平面EAC的法向量,
，
取则，所以 --------------10分
所以，
解得, 所以， ------------------------------------11分
易知平面ABCD的法向量
所以与平面所成角的正弦值 -----------------12分
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20．
解：（1）由的面积可得： ---------① ------2分
又椭圆C过点, ---------② -------------------------3分
由①②解得，所以椭圆C标准方程为 ------------------4分
（2）设直线l的方程为，则原点到直线l的距离
所以 --------------------------------------------------6分
将代入椭圆方程，得
由判别式，解得
由直线直圆相交得，所以 ------------------8分
设，则
所以 ------10分
所以 --------------------------11分
因为，所以
则当时，取得最小值，此时直线方程为 -----------------12分
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21．解：
（1）因为，所以
由已知得 ---------------------------------------------3分
所以，所以在上单调递减，在上单调递增
所以在处取得极小值，符合题意，所以 -----------------------4分
（2）由（1）知函数
因为函数图象与x轴交于C,D两个不同点
所以
两式相减整理得： --------------------------------------6分
而
所以
= ----------------------------8分
令，即
令，因为，所以
所以 ----------------------------------------------------------------10分
设
，所以在上是增函数，所以
所以无解，即 所以不是的根 -------------- 12分
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22．解：（1）直线的普通方程为， --------------------------------2分
由，得，
即，
即曲线的直角坐标方程为． -------------------5分
（2）设两点对应参数分别为
将直线代入到圆的方程中
所以 ----------------------7分
因为 所以 -------------------------8分
因为，所以， 所以，
所以，即： 解得 ------------10分
23.解：（1） ----------------------3分
当时，，解得；
当时，，解得
综上，原不等式的解集为 -------------------------------------------5分
（2）因为，所以
令， -------------------------------------------7分
若，则，
因为，所以，所以； ----------------------9分
若，则，
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因为，所以，所以
综上所述， ---------------------------------------------------------10分
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