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第28章锐角三角函数
一、选择题
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=, 则AC等于( )
A. 3 B. 9 C. 4 D. 12
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( )
A. cos43°>cos16°>sin30° B. cos16°>sin30°>cos43°
C. cos16°>cos43°>sin30° D. cos43°>sin30°>cos16°
3.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定
4.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于( )
A. B. C. D.
5.如图,沿AC方向修山路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,使A、C、E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是( )
A. 500sin55°米 B. 500cos35°米 C. 500cos55°米 D. 500tan55°米
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6.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更陡些,则下列结论正确的是( )
A. tanα<tanβ B. sinα<sinβ C. cosα<cosβ D. cosα>cosβ
7.如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m,上弦AB=BC,∠BAC=25°.若用科学计算器求上弦AB的长,则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知,将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处,使斜边CD∥AB.则∠α的余弦值为( )
A. B. C. D. 1
9.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,D是AC上一点.若tan∠DBA=, 则AD的长为( )
A. 2 B. C. D. 1
10.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300 m,250 m,200 m;线与地面所成的角度分别为30°,45°,60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝( )
A. 甲的最高 B. 乙的最低 C. 丙的最低 D. 乙的最高
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11.数学活动课上,小敏.小颖分别画了△ABC和△DEF , 尺寸如图 . 如果两个三角形的面积分别记作S△ABC.S△DEF , 那么它们的大小关系是( )
A. S△ABC>S△DEF B. S△ABC<S△DEF C. S△ABC=S△DEF D. 不能确定
12.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m,那么这棵树高是( )
A. m B. m C. m D. 4 m
二、填空题
13.用计算器求tan35°的值,按键顺序是________ .
14.若cosA=0.6753,则锐角A=________(用度、分、秒表示).
15.设α是锐角,如果tanα=2,那么cotα=________.
16.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,E为垂足,若cosB=, EC=2,P是AB边上的一个动点,则线段PE的长度的最小值是________ .
17.如果在一个斜坡上每向上前进13米,水平高度就升高了5米,则该斜坡的坡度i=________
18.在等腰三角形ABC中,当顶角A的大小确定时,它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也确定了,我们把这个比值记作T(A),即T(A)= = .例:T(60°)=1,那么T(120°)=________.
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19. 一般地,当α、β为任意角时,sin(α+β)与sin(α﹣β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sinα•cosβ+cosα•sinβ;sin(α﹣β)=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1.类似地,可以求得sin15°的值是________.
20.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是________.
三、解答题
21.计算:sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°.
22. 南中国海是中国固有领海,我渔政船经常在此海域执勤巡察.一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处,观察A岛周边海域.据测算,渔政船距A岛的距离AB长为10海里.此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰,船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船,便发出紧急求救信号.渔政船接警后,立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助,问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin53°≈0.80,
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cos53°≈0.60,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)
23.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处,在A正东方向上距离20海里的有一点B处,在灯塔P南偏西45°方向上,求A距离灯塔P的距离.
(参考数据: ≈1.732,结果精确到0.1)
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24.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度 ,AB=10米,AE=15米.
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据: )
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参考答案
一、选择题
B C A A C C B A D D C A
二、填空题
13. 先按tan,再按35,最后按=
14. 47°31′12″
15.
16. 4.8
17. 1:2.4
18.
19.
20.
三、解答题
21. 解:sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°
=sin218°+×1+cos218°
=1+.
22. 解:过B点作BD⊥AC,垂足为D.
根据题意,得:∠ABD=∠BAM=37°,∠CBD=∠BCN=50°,
在Rt△ABD中,
∵cos∠ABD= ,
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∴cos37°= ≈0.80,
∴BD≈10×0.8=8(海里),
在Rt△CBD中,
∵cos∠CBD= ,
∴cos50°= ≈0.64,
∴BC≈8÷0.64=12.5(海里),
∴12.5÷30= (小时),
∴ ×60=25(分钟).
答:渔政船约25分钟到达渔船所在的C处.
23. 解:如图:
∵AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AB=20,
在△PBC中,∵∠BPC=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形,
∴BC=PC,
设BC=PC=x,则AC=20+x,
在Rt△APC中,
∵tan∠APC=,
∴ =,
∴x=10(+1)(海里).
在Rt△APC中,
∵∠A=30°,
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∴PA=2PC=20(+1)≈54.6(海里)
答:A距离灯塔P的距离为54.6海里.
24. (1)解:过B作BG⊥DE于G,
Rt△ABF中,i=tan∠BAH=
∴∠BAH=30°,∴BH= AB=5;
(2)解:由(1)得:BH=5,AH=5 ,∴BG=AH+AE=5 +15,
Rt△BGC中,∠CBG=45°,∴CG=BG=5 +15.
Rt△ADE中,∠DAE=60°,AE=15,∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7m.
答:宣传牌CD高约2.7米.
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