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天天练17 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③若λa=0 (λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
解析:①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
2.(2018·海淀模拟)下列说法正确的是( )
A.长度相等的向量叫做相等向量
B.共线向量是在同一条直线上的向量
C.零向量的长度等于0
D.∥就是所在的直线平行于所在的直线
答案:C
解析:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B不正确;显然C正确;当∥时,所在的直线与所在的直线可能重合,故D不正确.
3.(2018·四川成都七中一诊)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
答案:B
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解析:∵2=2+,∴2-2=,即2=,
∴点P在线段AB的反向延长线上.故选B.
4.(2018·河南中原名校质检三)如图,已知在△ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点.若=m+n,则m+n=( )
A.- B.-
C.- D.
答案:B
解析:依题意得=+=+=+(-)=+,∴=+=+=-+=-++=-.∵=m+n,∴m=,n=-,∴m+n=-=-.故选B.
5.(2018·资阳二模)设e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为( )
A.- B.-
C.- D.-
答案:A
解析:由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,所以解得k=-.
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6.(2018·太原二模)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则++=( )
A. B.
C. D.0
答案:D
解析:因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,所以++=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)=0,故选D.
7.(2018·辽宁联考)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则P一定为△ABC的( )
A.AB边中线的三等分点(非重心)
B.AB边的中点
C.AB边中线的中点
D.重心
答案:A
解析:如图所示,设AB的中点是E,则==(+
2).∵O是△ABC的重心,∴2=,
∴=(+4)=,∴点P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心.故选A.
8.(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆的半径为1,圆心为点O,且3+4+5=0,则△ABC的面积为( )
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A. B.
C. D.
答案:C
解析:由题意,得||=||=||=1.由3+4+5=0得3+4=-5,两边平方得·=0.同理,由3+4+5=0得3+5=-4和4+5=-3,
两个式子分别平方可得·=-和·=-.
所以cos∠AOC=-,cos∠BOC=-,sin∠AOC=,sin∠BOC=,所以S=×1×1+×1×1×+×1×1×=.
二、填空题
9.已知a与-b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则实数λ的值为________.
答案:-
解析:因为a+λb与-(b-3a)共线,所以存在实数μ,使a+λb=μ(3a-b),即所以
10.(2018·盐城一模)在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且AD=+λ(λ∈R),则AD的长为________.
答案:3
解析:因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则=,=,经计算得AN=AM=3,AD=3.
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11.如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=________.
答案:3
解析:本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.
解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],
∴cosα=,sinα=,
∵与的夹角为α,∴=,
∵=m+n,||=||=1,||=,∴=,①
又∵与的夹角为45°,
∴==,②
又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=×-×=-,
∴·=||·||·cos∠AOB=-,
将其代入①②得m-n=,-m+n=1,
两式相加得m+n=,所以m+n=3.
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解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,
则=m,=n,
由正弦定理得
==,
∵||=,
由解法一知,sinα=,cosα=,
∴||===,
||===,
又=m+n=+,||=||=1,
∴m=,n=,∴m+n=3.
三、解答题
12.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
解:设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,
=-=-=-a+b.
又∵A,M,D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
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即(m-1)a+nb=t.
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴消去t得m-1=-2n,
即m+2n=1.①
又∵=-=ma+nb-a=a+nb,
=-=b-a=-a+b.
又∵C,M,B三点共线,∴与共线.
∴存在实数t1,使得=t1,
∴a+nb=t1,
∴消去t1得4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.
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