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北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)
数学(理科)
本试卷共页,共分.考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若集合,或,则
A. B.
C. D.
2.复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知,且,则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点,则的值为
A. B. C. D.
5.设抛物线上一点到轴的距离是则到该抛物线焦点的距离是
A. B. C. D.
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6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有
A.种 B.种 C.种 D.种
7.设是公差为的等差数列,为其前项和,则“”是“为递增数列”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.某次数学测试共有道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”,已知这次测试共有个“学习能手”,则难题的个数最多为
A. B. C. D.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在中,角所对的边分别为,若,则
____________.
10.在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离为_____.
11.若 满足 ,则的最大值为_____.
12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_____.
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13.设平面向量为非零向量,能够说明若“,则”是假命题的一组向量的坐标依次为______.
14.单位圆的内接正()边形的面积记为,则________;
下面是关于的描述:
①; ②的最大值为;
③; ④.
其中正确结论的序号为________(注:请写出所有正确结论的序号)
三、 解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明.
15. (本题满分13分)
已知函数
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(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在上的最大值和最小值.
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15. (本小题满分13分)
从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.
(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;
(Ⅱ)从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小.(只需写出结论)
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17.(本小题14分)
如图1,在边长为2的正方形中,为中点,分别
将沿所在直线折叠,使点与点重合
于点,如图2. 在三棱锥中,为中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的大小.
18.(本小题13分)
已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点?若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
19. (本小题满分14分)
已知函数.
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(Ⅰ)若曲线在处的切线斜率为,求的值;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围
(Ⅲ)求证:当时,曲线总在曲线的上方.
20.(本小题13分)
在个实数组成的行列的表中,表示第行第列的数,
记,.
若,且两两不等,则称此表为
“阶表”,记.
(Ⅰ)请写出一个“阶表”;
(Ⅱ)对任意一个“阶表”,若整数,且,
求证:为偶数;
(Ⅲ)求证:不存在“阶表”.
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数学(理科)
本试卷共页,共分.考试时长分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.【答案】
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【解析】由题易知,故选
2.【答案】
【解析】,所以在复平面上对应的点为,在第二象限,故选
3.【答案】
【解析】由在上单调递增可知,
故选
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4.【答案】
【解析】由正切函数定义可知: ,,
故选
5.【答案】
【解析】在抛物线中, 焦点准线点到轴的距离为即故选
6.【答案】C
【解析】法一:种
法二:种.故选C
7.【答案】D
【解析】充分条件的反例,当,时,,,充分不成立.
必要条件的反例,例,,,必要不成立.
故选D.
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8.【答案】D
【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错道题,位“学习能手”则最多做错道题.而至少有个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”,所以难题最多道.故选D.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.【答案】
【解析】,
10.【答案】
【解析】即求圆心到直线的距离,
的圆心为.距离为.
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11.【答案】
【解析】可行域如右图所示:
设即,当过时,取最大值,所以.
12.【答案】
【解析】
该几何体如图所示:
可知,为等边三角形,
所以,所以四边形的面积为
,所以.
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13.【答案】,,(答案不唯一)
【解析】
设,,,则,,所以但,所以若,则为假命题。
14.【答案】;①③④
【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形,腰长为单位长度,顶角为.每个三角形的面积为,所以正边形面积为
.,①正确;
正边形面积无法等于圆的面积,所以②不对;
随着的值增大,正边形面积也越来越大,所以③正确;
当且仅当时,有,由几何图形可知其他情况下都有,所以④正确.
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三、 解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明.
15. 【解析】
(Ⅰ)由题意得:,
(Ⅱ)当时,
当时,即时,取得最大值.
当时,即时,取得最小值.
所以在上的最大值和最小值分别是和.
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15. 【解析】
(Ⅰ)由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为.
(Ⅱ)由题可知,的可能取值为0,1,2
0
1
2
(Ⅲ)
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17.【解析】
(Ⅰ)由图1知
由图2知重合于点.则
面 面
面,又面
(Ⅱ)由题知 为等边三角形
过取 延长作 建立如图空间直角坐标系
则
易知面的法向量为
设与平面 夹角为
则
直线与平面所成角正弦值为
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(Ⅲ)由(Ⅱ)知面的法向量为
设面法向量为
易知为中点 ,,
即
令 则
则
由图知二面角为锐角, 二面角为
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18.【解析】(Ⅰ),,
过,,,
,
(Ⅱ)①当斜率不存在时,设,则,
,,
又在椭圆上,
,
解得,,
.
②当斜率存在时,设,与椭圆联立,由得,
,即,
设,,
则,,
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,
,
,
或,
当时,,
恒过不符合①,
当时,,
结合①,恒过,
综上,直线恒过.
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19. 【解析】
(Ⅰ),由题可得,即,故
(Ⅱ)
①当时,恒成立,符合题意。
②当时,恒成立,则在上单调递增,当时,,不符合题意,舍去;
③当时,令,解得
当变化时,和变化情况如下
极小值
,由题意可,即,
解得。
综上所述,的取值范围为
(Ⅲ)由题可知要证的图像总在曲线上方,即证恒成立,即要证明恒成立,构造函数
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,令,故,则在单调递增,则单调递增.因为,,由零点存在性定理可知,在存在唯一零点,设该零点为,
令,即,且
当变化时,和变化情况如下
极小值
则,因为,所以,所以,当且仅当时取等,因为,故,即恒成立,曲线总在曲线的上方.
20.【解析】
1
1
0
-1
(Ⅰ)
(Ⅱ)若共个数, ,共个数,
,
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所以为偶数.
(Ⅲ)设整数,且,可取.
当时,设.
此时,不能同时取到,所以无解.
当时, 设,则,
, ,由题
所以设,当时,.所以无解.
时,中至少三组数据分别为,
与矛盾,不成立.
同理当时,无解,所以不存在“阶表”.
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