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跟踪强化训练(二十六)
1．(2017·合肥质检)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
[解] (1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1，由，得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M，
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∵直线＋＝1与y轴交于P(0,2)，
∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，∴λ＝，
∵k2>，∴0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
即直线l过定点(1,0)．
3．(2018·湖北部分重点中学高三起点考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点为F(－1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．
[解] (1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为
y＝kx＋2，
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由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－，
y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝.
设存在点E(0，m)，则＝(－x1，m－y1)，
＝(－x2，m－y2)，
所以·＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2
＝＋m2－m·－
＝.
要使得·＝t(t为常数)，
只需＝t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0，
即解得m＝，从而t＝，
故存在定点E，使·恒为定值.
4．(2017·广东惠州第三次调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b
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>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，
因此a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，
Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
故y0＝＝，且－3
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