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跟踪强化训练(二十七)
一、选择题
1．(2017·自贡一模)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上点的坐标，则确定的不同的点的个数为( )
A．36 B．32
C．33 D．34
[解析] 不考虑限定条件的情况下，确定的不同的点的个数为CCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同的点只有3个，故最终确定的不同的点的个数为36－(A－3)＝33.
[答案] C
2．(2017·榆林调研)若二项式(ax＋)5的展开式中x3项的系数为20，则实数a的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 二项式(ax＋)5的展开式的通项Tr＋1＝a5－rCx，令＝3，解得r＝4，则展开式中x3项的系数为aC＝20，解得a＝4，故选B.
[答案] B
3．(2017·沧州联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有( )
A．2种 B．10种
C．12种 D．14种
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[解析] 周六、周日都有同学参加郊游的情况有CA＋＝4×2＋6＝14种，选D.
[答案] D
4．(2017·宝鸡市高三教学质量检测)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品味、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的2个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
[解析] 除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C＝6种方法．
[答案] C
5．(2017·广州一模)(x＋1)6的展开式的常数项为( )
A．54 B．56
C．58 D．60
[解析] (x＋1)6的展开式的常数项就是6的展开式的常数项与x－1项的系数之和.6的展开式的通项Tr＋1＝C(2x2)6－rr＝(－1)r·26－rCx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，所以常数项是(－1)4×22×C＝60，令12－3r＝－1得r＝，不符合题意，所以6
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的展开式的x－1项的系数是不存在的，故选D.
[答案] D
6．(2017·河北衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )
A．12 B．24
C．30 D．36
[解析] 按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C×C＝24种，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6种．综上可得不同的涂色方案的种数是30.
[答案] C
7．(2017·武汉模拟)若n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是( )
A．－270 B．270
C．－90 D．90
[解析] n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于n的展开式中所有项系数之和．令x＝1，得4n＝1024，∴n＝5.
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n的通项Tr＋1＝C5－r·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x，令＋＝0，解得r＝3，∴展开式中的常数项为T4＝C·32·(－1)3＝－90，故选C.
[答案] C
8．某市在创建“全国文明城市”期间，要求各单位选派工作人员到街道路口站岗，劝导市民文明过马路．教育局将甲、乙等5种工作人员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
[解析] 依题意知不同的分配方案可分为以下两种：(1)甲、乙在同一路口，其余三人分配在另外的两个路口，则不同的分配方案有CA＝18(种)；(2)甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一人，则不同的分配方案有CA＝18(种)．于是不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．故选C.
[答案] C
9．(2017·衡水一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )
A．24 B．28
C．36 D．48
[解析] 按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究．(1)当红红之间有蓝时，则有AA＝24种情况；(2)当红红之间无蓝时，则有CACC
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＝24种情况．因此这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有24＋24＝48种排法．故选D.
[答案] D
10．(2017·宁波模拟)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于( )
A．－10 B．－5
C．5 D．10
[解析] 对等式两边求导数，10(2x－3)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得结果为10，故选D.
[答案] D
11．在5×5的棋盘中，放入3颗相同的黑子和2颗相同的白子，它们均不在同一行也不在同一列，则不同的排列方法有( )
A．150种 B．200种
C．600种 D．1200种
[解析] 首先选出3行3列，共有C×C种方法，然后放入3颗黑子，共有3×2×1种方法，然后在剩下的2行2列中放2颗白子，共有2×1种方法，所以不同的排列方法为C×C×3×2×1×2×1＝1200种．故选D.
[答案] D
12．(2017·太原模拟)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为( )
A．900 B．864
C．786 D．648
[解析]
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先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将剩下的2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中，故符合要求
的安排方式共有·A·C＝900种，选A.
[答案] A
二、填空题
13．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含x2项的系数是54，则n＝________.
[解析] (1＋3x)n的展开式的通项Tr＋1＝C3rxr，∴含有x2项的系数为C32＝54，∴n＝4.
[答案] 4
14．(2017·郑州一模)(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________(用数字作答)．
[解析] 二项式系数最大的项是T4＝Cx3(－2y)3＝－160x3y3，故填－160.
[答案] －160
15．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．
[解析] 先在A，B，C三个区域种植3种不同的植物，共有A
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＝6种种法，若E与A种植的植物相同，最后种D，有1种种法；若E与C种植的植物相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18种种法．
[答案] 18
16．(2017·山西四校联考)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数为ai(i＝1,2，…，n)的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为________．
[解析] 由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比它小而且对其他数的顺序数没有影响，在8后面又比其他数小，可以把题转换成数列1,2,3,4,5,6保证5的顺序数是3就可以了．分两种情况：6和5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1＝96种；6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数位上，故有2×4×3×2×1＝48种，共有96＋48＝144种．
[答案] 144
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