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3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2017年杭州市中考第22题
如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若，AE＝2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
图1
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例2 2017年安徽省中考第23题
如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝_______°；
②求证：PM＋PN＝3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．
图1 图2 图3
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例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．
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3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案
例1 2017年杭州市中考第22题
如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若，AE＝2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．
思路点拨
1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．
2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．
满分解答
（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．
所以．所以．解得EC＝6．
（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：
①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．
因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．
②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．
又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．
所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．
综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．
图2 图 3 图4
考点伸展
这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：
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如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．
如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．
图5 图6
如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．
如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．
图7 图8
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例2 2017年安徽省中考第23题
如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝_______°；
②求证：PM＋PN＝3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．
思路点拨
1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．
2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．
3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．
满分解答
（1）①∠MPN＝60°．
②如图4，延长FA、ED交直线BC与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、
△EPN′都是等边三角形．
所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．
图4 图5 图6
（2）如图5，联结OP．
由（1）知，AM＝BP，DN＝CP．
由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，
得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．
同理△COP≌△DON，得ON＝OP．
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所以OM＝ON．
（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：
由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．
所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．
如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．
又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．
于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．
所以OM＝OG＝ON．
所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．
所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．
考点伸展
在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？
因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小．
OG的最大值等于OA，此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为．
OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为，菱形的最小面积为．
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例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．
动感体验
请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．
请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．
2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．
满分解答
（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．
（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．
此时yA＝2xA．
解方程－x2＋1＝2x，得．
所以点A的横坐标为．
因此正方形ABCD的面积等于．
②设OP与AB交于点F，那么．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．
又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．
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图1 图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：
如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．
所以．
又因为，
所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．
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