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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(衡水金卷调研卷)文数二
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足(是虚数单位),则复数在复平面内对应的点所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图,现项园中随机投掷一个点,则该点落在正六边形内的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,且焦点在圆上,则该双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的为( )
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A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知数列的前项和为,,则( )
A. B. C. D.
8.已知将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,若函数图象的两条相邻的对称轴间的距离为,则函数的—个对称中心为( )
A. B. C. D.
9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为( )
A. B. C. D.
10.已知实数满足约束条件当且仅当时,目标函数取大值,
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则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知,命题函数的值域为,命题函数在区间内单调递增.若是真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.若函数与的图像上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知在中,为边上的点,,若,则 .
14.已知焦点在轴上的椭圆的一个焦点在直线上,则椭圆的离心率为 .
15.在锐角中,角所对的边分别为,若,且,则 .
16.如图,在矩形中,,为边上的点,项将沿翻折至,使得点在平面上的投影在上,且直线与平面所成角为,则线段的长为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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17.已知等差数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,且,求数列的前项和.
18.如图,四棱锥的底面是边长为2的正方形,平面平面,点是的中点,棱与平面交于点.
(1)求证:;
(2)若是正三角形,求三棱锥的体积.
19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在).
(1)求居民收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数;
(3)为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在内应抽取多少人?
20.已知点为抛物线的焦点,过的直线交抛物线于两点.
(1)若直线的斜率为1,,求抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线与轴交于点,,求的值.
21.已知函数.
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(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若是函数的导函数的两个零点,当时,求证:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与的直角坐标方程;
(2)判断曲线是否相交,若相交,求出相交弦长.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
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试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12:DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解:(1)设等差数列的公差为,
由,
得 ,
解得.
所以.
(2)由(1)得,.
又因为,
所以当时,
当时,,符合上式,
所以.
所以.
所以.
18. 解:(1)因为底面是边长为2的正方形,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
又因为四点共面,且平面平面,
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所以.
又因为,所以.
(2)因为,点是的中点,
所以点为的中点,.
又因为平面平面,平面平面,
所以平面,所以平面.
又因为是正三角形,
所以,
所以.
又,
所以.
故三棱锥的体积为.
19.解:(1)由题知,月收入在的频率为.
(2)从左数第一组的频率为,第二组的频率为,
第三组的频率为,
∴中位数在第三组,
设中位数为,
则,解得,
∴中位数为2400.
由,
得样本数据的平均数为2400.
(3)月收入在的频数为(人),
∵抽取的样本容量为100,
∴抽取的比例为,
∴月收入在内应抽取的人数为(人).
20.解:(1)由题意知,直线的方程为.
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联立得.
设两点的坐标分别为,
则.
由抛物线的性质,可得,
解得,
所以抛物线的方程为.
(2)由题意,得,抛物线,
设直线的方程为,,
联立得.
所以①
因为,
所以.
因为三点共线,且方向相同,
所以,
所以,
所以,
代入①,得
解得,
又因为,
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所以,
所以
.
21.解:(1)当时,,,
所以,.
所以曲线在处的切线方程为,
即.
(2)由题得,.
因为是导函数的两个零点,
所以是方程的两根,
故.
令,
因为,
所以,,
所以,
且,
所以,
又因为,所以,
所以,
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令,.
因为,
所以在区间内单调递增,
所以,
即.
22.解:(1)由题知,将曲线的参数方程消去参数,
可得曲线的普通方程为.
由,
得.
将,代入上式,
得,
即.
故曲线的直角坐标方程为.
(2)由(1)知,圆的圆心为,半径,
因为圆心到直线的距离,
所以曲线相交,
所以相交弦长为.
23.解:(1)当时,不等式转化为,解得;
当时,不等式转化为,解得;
当 时,不等式转化为,解得.
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综上所述,不等式的解集为或.
(2)由(1)得,
作出其函数图象如图所示:
令,
若对任意的,都有成立,
即函数的图象在直线的下方或在直线上.
当时,,无解;
当时,,解得;
当时,,解得.
综上可知,当时满足条件,
故实数的取值范围是.
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