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大题规范练(六)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．
解：(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.
∴＝，
即cos B＝.
(2)∵b＝，cos B＝，
∴b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又sin A，sin B，sin C成等差数列，由正弦定理，得
a＋c＝2b＝2，
∴13＝52－ac，∴ac＝12.
由cos B＝，得sin B＝，
∴△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×12×＝.
2．(本小题满分12分)在如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE.
(1)若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明；
(2)求多面体ABCDE的体积．
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解：(1)连接BD，交AC于点N，则点N即为所求，证明如下：
∵ABCD是正方形，∴N是BD的中点，
又M是DE的中点，∴MN∥BE，
∵BE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，
∴MN∥平面ABE.
(2)取AB的中点F，连接EF，
∵△ABE是等腰直角三角形，且AB＝2，
∴EF⊥AB，EF＝AB＝1，
∵平面ABCD⊥平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，
EF⊂平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥EABCD的高，
∴V四棱锥EABCD＝S正方形ABCD·EF＝×22×1＝.
3．(本小题满分12分)延迟退休年龄的问题，近两年引发社会广泛关注，延迟退休年龄似乎已是一种必然趋势，然而反对的声音也随之而起．现对我市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持反对态度的人数如下表.
月收入(元)
[1 000，2 000)
[2 000，3 000)
[3 000，4 000)
[4 000，5 000)
[5 000，6 000)
[6 000，7 000)
频数
5
10
15
10
5
5
反对人数
4
8
12
5
2
1
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5 000元为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异？
月收入不低于5 000元的人数
月收入低于5 000元的人数
合计
反对
赞成
合计
(2)在月收入[1 000,2 000)(元)的被调查对象中随机选取2人进行追踪调查，求选中的2
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人均对“延迟退休年龄”持反对态度的概率．
附：临界值表
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)2×2列联表如下：
月收入不低于5 000元的人数
月收入低于5 000元的人数
合计
反对
3
29
32
赞成
7
11
18
合计
10
40
50
∵K2＝＝≈6.27＜6.635，
∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5 000元为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异．
(2)月收入在[1 000,2 000)元的被调查对象有5人，不妨设为A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为反对，E为赞成，则选取2人的可能情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．其中均对“延迟退休年龄”持反对态度的有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，
∴在月收入[1 000,2 000)元的被调查对象中随机选取的2人均对“延迟退休年龄”持反对态度的概率为＝.
4．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)以曲线C上的点Q(x0，y0)(y0＞0)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a＞2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△QAM面积的比．
解：(1)由题意得|PH|＝|PF|，
∴点P到直线l：x＝－1的距离等于它到定点F(1,0)的距离，
∴点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，
∴点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)解法一：由y2＝4x，当y＞0时，y＝2，∴y′＝，
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∴以Q为切点的切线l1的斜率为k＝，
∴以Q(x0，y0)(y0＞0)为切点的切线方程为l1：y－y0＝(x－x0)，
即y－y0＝，整理得l1：4x－2y0y＋y＝0.
令x＝0，则y＝，∴B，
令y＝0，则x＝－＝－x0，∴A(－x0,0)，
点M(a,0)到切线l1的距离d＝＝＋≥2(当且仅当y0＝2时，取等号)．
∴当点Q的坐标为(a－2,2)时，满足题意的圆M的面积最小．
此时A(2－a,0)，B(0，)．
S△ABF＝|1－(2－a)|||＝(a－1)，
S△AQM＝|a－(2－a)||2|＝2(a－1).
∴＝，∴△ABF与△QAM的面积之比为1∶4.
解法二：由题意知切线l1的斜率必然存在，设为k，则l1：y－y0＝k(x－x0)．
由，得y－y0＝k，即
y2－y＋y0－y＝0，
由Δ＝2－4＝0得(2－ky0)2＝0，
即k＝.
∴l1：4x－2y0y＋y＝0.(下同解法一)
5．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax＋2，g(x)＝－2cos x－x＋(x＋1)ln(x＋1)．
(1)若直线y＝－4x是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的值；
(2)若对任意x1∈[1,2]，都存在x2∈(－1,1]，使得f(x1)－g(x2)＞3a＋4成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2＋a.
设直线y＝－4x与曲线y＝f(x)相切于点(x0，－4x0)，
则有，解得x0＝1，a＝－7.
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(2)g′(x)＝2sin x－1＋ln(x＋1)＋1＝2sin x＋ln(x＋1)，
∵当x∈(－1,1]时，y＝2sin x及y＝ln(x＋1)均为增函数，∴g′(x)在(－1,1]上为增函数，又g′(0)＝0，
∴当x∈(－1,0)时，g′(x)＜0；当x∈(0,1]时，g′(x)＞0，
从而g(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴g(x)在(－1,1]上的最小值为g(0)＝－2.
依题意得，当x∈[1,2]时，f(x)min＞3a＋4＋g(0)＝3a＋2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝3x2＋a∈[a＋3，a＋12]．
当a＋3≥0，即a≥－3，x∈[1,2]时，f(x)单调递增，
f(x)min＝f(1)＝a＋3，于是有a＋3－3a＞2(a≥－3)，解得－3≤a＜.
当a＋12≤0，即a≤－12，x∈[1,2]时，f(x)单调递减，f(x)min＝f(2)＝2a＋10，于是有2a＋10－3a＞2(a≤－12)，解得a≤－12.
当－12＜a＜－3，x∈[1,2]时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f(x)min＝f＝ ＋2，于是有 ＋2－3a＞2(－12＜a＜－3)，解得－12＜a＜－3.
综上所述，a的取值范围是.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．
解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
∵x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)将代入曲线C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
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∴4cos2α＝2，cos α＝±，α＝或.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，解得x≥，所以x≥2；
当－＜x＜2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥4，即x≥1，所以1≤x＜2；
当x≤－时，不等式等价于2－x－2x－1≥4，解得x≤－1，所以x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥1}．
(2)应用绝对值不等式可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|.
因为存在x0，使f(x0)＋|x0－2|＜3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min＜3，
所以|a＋4|＜3，解得－7＜a＜－1，故实数a的取值范围为(－7，－1)．
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