2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B卷)
理科数学
本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足,则=
A. B.2 C. D.1
2.已知集合,则
A. B.
C. D.
3.设满足约束条件则的最大值为
A.4 B.8 C.12 D.16
4.已知函数是奇函数,且满足,则=
A.1 B.-1 C.3 D.-3
5.在中,,,则的值为
A.2 B.3 C.4 D.5
6. 中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现
代数学符号表示是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5; 5,12,13;7,24,25. 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是
A.11,60,61 B.13,84,85
C.17,74,75 D.21,72,75
7.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于
A. B. C. D.
8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,且
则“∥”是“∥”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知数列满足,则=
A. B. C. D.
10.已知,,分别为方程的根,
则,,的大小关系为
A. B. C. D.
11.已知双曲线,过的左焦点作圆的
切线交的右支于点,切点为,且,则的离心率为
A. B. C. D.
12.若函数的图像关于直线对称,当时,,则
A. B. C. D.4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在的展开式中,的系数是 .
14.已知,则 .
15.抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的斜率为,那么的值为 .
16.如图,在平行四边形中,为垂足,,则 .
三、解答题:共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
17.（12分）
已知数列为正项递增等比数列, 为其前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.（12分）
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,
,,,是的中点．
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
一企业从某生产线上随机抽取100件产品,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表);
(2)若质量指标值,则称该件产品为优品（以落入各区间的频率作为取该区间值的概率）.质检部门对该生产线上的产品进行质量检验.检验方案是:先从这批产品中任取3件作检验,若3件均为优品,则这批产品通过检验;若只有2件为优品,则再从这批产品中任取1件检验,若为优品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品均不能通过检验.每件产品是否为优品相互独立.
(i)求这批产品通过检验的概率;
(ii)已知每件产品的检验费用是100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位:元）,求的分布列及数学期望.
20．（12分）
在平面直角坐标系中，点为椭圆的一个焦点,点
为的一个顶点, .
(1)求的标准方程;
(2)若点在上,则点称为点的一个“椭点”.
直线与相交于,两点,且两点的“椭点”分别为,以为直径的圆经过点,求的面积.
21.（12分）
已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:.
（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求的极坐标方程;
(2)设,是上的任意两点,且,求的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)已知,对任意,总存在,使得,求的最大值.
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分60分．
(1)C (2)D （3）C （4）A (5）B （6）B
(7)D (8)C （9）B (10)A (11)C (12)C
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分,满分20分．
（13）60 （14） （15）8 （16）2
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 本小题主要考查等差数列、等比数列及数列求和等基础知识,考查运算求解
能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想. 满分12分.
解:(1)设等比数列公比为,
由,得,…………2分.
消，解得,…………………………………………4分.
因为数列为递增数列,故,所以,…………………5分.
所以.………………………………………………6分.
(2)依题意,……………………………………………7分
则 ①………8分
故 ②………9分
由①-②得……10分
即………………………………………11分
则………………………………………………………12分
18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解:(1)因为,所以,
所以,即,………………1分
又
所以,…………………………2分
又,所以,……………3分
因为是的中点,所以,
又因为
所以,…………………………4分
又,所以.…………5分
(2) 设中点为,连接则,所以,
所以两两互相垂直,………………………………6分
以为原点,分别以为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.……………………………………………………7分
则
…………8分
设平面的一个法向量为,
则,令,得,…………9分
即.……………………………………………………10分
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.…………………12分
19.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．
解:(1)由直方图知
所以这100件产品质量指标值的样本平均数为40.………………………3分
(2)由直方图知,
即一件产品为优品的概率是,……………………………………………5分
（i）这批产品通过检验的概率为.………7分
(ii)可能的取值为,,……………………………………………8分
并且, ………………………………………9分
,……………………………………………10分
（或）, ……………………10分
所以的分布列为
………………………11分
的数学期望为.………………12分
20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分.
解:（1）由已知得,在中, ,…………1分
所以,…………………………………………………………………2分
又因为所以 , ………………………………………3分
所以椭圆的方程为: .……………………………………4分
（2）设,则,………………5分
又因为以为直径的圆经过坐标原点,得,
即,①……………………………………………………6分
由,消整理得, ,
由,得,
而,② ……………………………7分
③ …………………8分
联立①②③得,,
即, …………………………………………………………9分
又因为,………10分
原点到直线的距离,
所以,………………11分
把代入上式得,即的面积是为.………12分
21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等．满分12分．
解: (1)由已知得函数，
的定义域为， ……………………………………………1分
则.……………………………2分
①当时,,,
因为时,,时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.…………………3分
②当时,,
因为或时,,时,,
所以在上单调递增,
在上单调递减，在上单调递增,…………………………4分
③当时,,故在上单调递增.………5分
④当时,,
因为或时,,时,,
所以,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增.…………………………………………………6分
(2)证明:当时,要证
即证
只需证明:,……………………………………………7分
设,
令, , ……………………………8分
所以为上的增函数,且
, ………………………………9分
所以存在唯一使得,即,………………10分
且在上递减,在上递增,
所以,
所以，即原不等式得证.………………………………12分
22. 本小题主要考查参数方程与普通方程、普通方程与极坐标方程的互化,极径、极角的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,考查转化与化归思想．满分10分.
解:（１）因为所以 …………………………1分
所以 ……………………………………2分
又, …………3分
即曲线的极坐标方程为 ……………………4分
化简得…………………………………………………5分
（２）不妨设点的极坐标分别为
则,,
……………………………6分
…………8分
又因为,……………………………………………………9分
所以的取值范围为.………………………………10分
23．本小题主要考查含绝对值的不等式解法、绝对值不等式的性质、均值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想、分类与整合思想等．满分10分.
解:（１）当时,不等式,即,…………１分
可得 或或
解得．…………………………………………４分
所以不等式的解集为.……………………５分
(2)
(当且仅当时等号成立),…………………６分
因为,,
所以,
(当且仅当时等号成立) ……………………………７分
又因为对任意,总存在,使得不等式成立,
所以的最小值不大于的最小值,即,…………８分
解得,……………………………………………………９分
所以的最大值为3. ……………………………………………１0分
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