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2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A卷)
理科数学
本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.设,则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A.4 B.5
C.6 D.7
4.若展开式的二项式系数和 为32，则其展开式的常数项为
A.80 B.-80
C.160 D.-160
5.已知均为锐角，则角等于
A. B. C. D.
6.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和为，若,则 取最大值时的值为
A.6 B.7 C.8 D.13
8.设函数满足，且是上的增函数，则
的大小关系是
A． B． C． D．
9.函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则在上的最小值是
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当堑堵的侧面积最大时，阳马的体积为
A. B. C.4 D.
11. 已知分别是双曲线：的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在上的偶函数，且满足若函数有六个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，若，则= .
14.设变量满足约束条件则的取值范围是 .
15.抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为 .
16.在平面四边形中，,则的最大值为 .
三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题60分。
17.（12分）
已知正项数列的前n项和为，且,等比数列的首项为1，公比为，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18.（12分）
如图，三棱柱的侧面是菱形，平面⊥平面，直线与平面所成角为,
为的中点.
(1)求证：;
(2)求二面角的余弦值．
19.（12分）
某企业有A，B两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从A，B两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，分别求出A分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为这两个分厂的产品质量有差异?
（3)(i)从B分厂所抽取的100件产品中，依据产品是否为优质品，采用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；
(ii)将频率视为概率，从B分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为X，求X的数学期望.
附：
20.（12分）
在平面直角坐标系中，圆为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切.
(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线,直线过交于两点,过且与垂直的直线与交于两点,求四边形面积的取值范围.
21.（12分）
已知函数,.
(1)讨论函数的单调性；
(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线过点，其参数方程为
(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线与相交于两点,求的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数,不等式的解集
为.
(1)求的值；
(2)若,求的取值范围.
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
（1）A （2）B （3）C （4）B （5）C （6）C
（7）B （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。
（13） （14） （15）1 （16）9
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.本小题主要考查利用与的递推关系求数列的通项公式以及错位相减法求和,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分12分.
解：（1）当时，，
即,
因为，所以=3，………………………………………………1分
当时，，……………………2分
即，…………………………………3分
因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，…………………4分
所以,……………………………5分
(2)因为数列首项为1，公比为的等比数列，成等差数列
所以，即, 所以,
又因为，所以,……………………………………………6分
所以,…………………………………………………7分
则,…………………………………………………8分
,……①
则,……②
由①-②得,………………9分
,…………………………11分
所以.…………………………………………………………12分
18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解:(1)如图所示，连接，,在矩形中，,为的中点,所以,……………………………1分
又因为平面⊥平面，
所以直线在平面上的射影是直线,
所以直线与平面所成角为，
因为直线与平面所成角为
即,………………………………………2分
所以为正三角形，又为的中点，
则,…………………………………………3分
又平面⊥平面，平面平面,
，所以⊥平面,……4分
又平面，所以，且,
所以平面,………………………………5分
又因为,
所以.………………………………………6分
(2)设为中点，则，所以两两互相垂直,
以为原点，分别以为的正方向,建立空间直角坐标系，如图,………………………………………………………………7分
则，
…………8分
设平面的一个法向量为，则即
令，得,………………………………………………9分
同理可求平面的一个法向量为,…………………10分
,………………………………11分
由图知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.……………………………12分
19. 本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．
解:(1)A分厂的质量指标值的众数的估计值为………1分
设A分厂的质量指标值的中位数的估计值为，
则解得…………………………2分
(2)2×2列联表：
…………………………………………3分
由列联表可知K2的观测值为:
……………………………5分
所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异.……………………6分
(3)(i)依题意，B厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，…………………………7分
设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件,则,
所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是；………………9分
(ii)用频率估计概率，从B分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量X服从二项分布，即X～B(10,0.20)，……10分
则E(x)=10×0.20=2.…………………………………12分
20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线及圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分
解(1)设的中点为，连接，
在中，分别为的中点，所以,
又圆与动圆相切，则，所以,……1分
即为定值，………………………………………………2分
,
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，……………………………3分
设椭圆方程为,
则,所以点的轨迹方程为.……………4分
（2） (法一)①当直线的斜率不存在时，
不妨设，则，
四边形AMBN面积;
②当直线的斜率为0时,同理可得四边形AMBN面积;…………5分
③当直线的斜率存在且不为0时,
可设直线的方程为设,
联立得，……………6分
………………………………………7分
，
同理……………………………………8分
四边形AMBN面积，………………9分
设，
则，…………10分
所以；…………………………………………………………11分
综上所述,四边形面积的取值范围是.…………………12分
(法二)①当轴时，不妨设，则，
四边形AMBN面积，
②当轴时,同理可得四边形AMBN面积.………………………5分
③当直线不垂直坐标轴时,
设方程为，,
联立得，………………………6分
……………………………………………7分
，
同理，…………………………………8分
四边形AMBN面积，………………9分
设，
则，……………10分
所以；……………………………………………………………11分
综上所述,四边形面积的取值范围是.………………………12分
21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．
解:（1）由已知得,
的定义域为,…………………………………………1分
则,………………………2分
①当时，所以,
所以函数在上单调递减; …………………………3分
②当时，令得或,
(i)当， 所以
所以函数在上单调递增; ………………………4分
(ii)当 ，即时，在和上函数，
在上函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；……………………………5分
(iii)当，即时，在和上函数，
在上函数，
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增.……………………………………………6分
(2)若对任意恒成立，则，
记，只需.
又，
记，则，
所以在上单调递减.………………………………………7分
又，,
所以存在唯一使得，即，……9分
当时，的变化情况如下：
＋
0
－
＋
0
－
↗
极大值
↘
所以，
又因为，所以，
所以，………………10分
因为所以，所以，
又，所以， ……………………………11分
因为，即，且k∈Z，故k的最小整数值为3.
所以存在最小整数，使得对任意恒成立. ……12分
22.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分.
解：(1)由，
可得的普通方程为，…………………………2分
又的极坐标方程为，
即,……………………………………3分
所以的直角坐标方程为. ………………………………5分
(2) 的参数方程可化为，……………6分
代入得：，……………………………7分
设对应的直线的参数分别为，，
，，所以，，…………………8分
所以.………………10分
23.本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分.
解：(1)依题意得
，……………………2分
作出函数的草图（如右图）……………3分
又不等式的解集为，
故………………………………4分
所以……………………………………………5分
(2)由(1)得,如图所示，………7分
当直线过图中的点时, ……8分
由图象可知，当时，……………9分
所以的取值范围为.……………………………10分
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