2018年高考适应性练习(二)
理科数学
本试题共5页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考试号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知集合，则等于
A． B．[1，+∞) C． D．
2．已知i为虚数单位，若复数z满足
A．i B． C．1+i D．
3．设等差数列的前n项和为Sn，若
A．17 B．18 C．19 D．20
4．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
5．设，右图所示的程序框图的运行结果为
A．4 B．2 C．1 D．
6．已知偶函数单调递增，且，则满足取值范围是
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
8．设满足约束条件若目标函数的最大值为2，则实数a的值为
A．2 B．1 C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象，若要为g(x)的一个极值点，则实数ω的最小值为
A． B． C．2 D．
10．在三棱锥A—BCD中，是等边三角形，平面平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面BCD的距离为，则三棱锥的体积的最大值为
A． B． C．27 D．81
11．已知函数，其中e为自然对数的底数．若总可以在图象上找到一点P，在图象上找到一点Q，使得P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
12.对于任意实数，符号表示不超的最大整数，例如.
已知数列满足，其前n项和为Sn，若是满足的最小整数，则的值为
A．305 B．306 C．315 D．316
二、填空题：本大题共有4个小题．每小题5分．共20分．
13．已知，则向量的夹角为(用弧度表示)
14．已知的二项展开式中的常数项为
15．如图，在，以BC为斜边构造等腰直角三角形△BCD，则得到的平面四边形ABCD面积的最大值为
16．已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线
上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17．(12分)在中，内角A，B，C所对的边分别为，且．
(1)求B的值；
(2)若D为BC上一点，BD=1，，求的面积．
18．(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，D为AC中点，P在平面ABC内的射影O在AC上，．
(1)求证：平面PBD；
(2)求二面角的余弦值．
19．(12分)某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进行统计，y表示开业第x个月的二手房成交量，得到统计表格如下：
(1)统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x，y，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系．计算的相关系数r，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系(计算结果精确到0.01)．
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程(计算结果精确到0.01)，并预测该房产中介公司2018年6月份的二手房成交量(计算结果四舍五入取整数)．
(3)该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获6
千元奖金；抽中“二等奖”获3干元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．
已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X(千元)的分布列及数学期望．
参考数据：.
参考公式：.
20．(12分)已知圆是圆上一动点，点E在线段FP上，点Q在半径CP上，且满足．
(1)当P在圆上运动时，求点Q的轨迹的方程；
(2)设过点A(2，0)的直线与轨迹交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线交l于点M，与y轴交于点H，若，求点M横坐标的取值范围．
21．(12分)己知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记的导函数，如果是函数的两个零点，且满足，证明：．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4，坐标系与参数方程](10分)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为的极坐标方程为．
(1)写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；
(2)设M，N分别是曲线，上的两个动点，求的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数的最小值为4．
(1)求m的值；
(2)若，且，求证：．
2018年高考适应性练习（二）
理科数学参考答案
一、选择题
D A B A C D B A C C B D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）因为，
由正弦定理得：，
又，………………………3分
所以
化简得 ，又.………………………5分
（2），
.………………………………6分
.………8分
在中，由正弦定理得.………………………10分
所以.………………………12分
18.解：（1）因为在平面内的射影在上，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
又平面平面，平面，，
所以平面.因为平面，所以.…………2分
由已知易得,又，所以,
在三角形中，由余弦定理得，
所以，于是，且· ……………4分
又，平面，平面，
所以平面. …………………………5分
（2）在平面内过作，则平面.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系为计算简便，不妨设，
则，，，·
所以，. …………………………………8分
显然是平面的一个法向量. ………………………………9分
设是平面的法向量，
则,即·
令，得. ………………………………11分
设二面角的大小为（为锐角）.
所以.
所以二面角的余弦值为. ………………………………12分
19.解：（1）依题意：，，…………………1分
.
因为，所以变量线性相关性很强. …………………3分
（2） ，………………………5分
，
则关于的线性回归方程为. ………………………7分
当，
所以预计2018年6月份的二手房成交量为.………………………8分
（3）二人所获奖金总额的所有可能取值有、、、、千元.，，，
，.
所以，奖金总额的分布列如下表：
0
3
6
9
12
………………………11分
千元. ……………………12分
20.解：（1）由题意知，直线为线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆，………2分
，，，
故点的轨迹的方程为 . …………………………………4分
（2）由题意直线的斜率存在设为,于是直线的方程为，
设，联立，得．
因为，由根与系数的关系得， …………………………6分
∴，， ………………………7分
设的横坐标为，则，
所在直线方程为，
令，得，·
于是，
即，
整理得， ……………………………11分
，∴． ……………………………12分
21.解：（1）的定义域为，
.……………………………1分
设，为二次函数，对称轴，且恒过点，
（i）当时,，所以，在上单调递减；
…………………………………2分
（ii）当时，
令，可得，.
① 若时，.
当时，，；时，，.所以在上单调递减；在上单调递增.……………………3分
② 当时，,.
对任意，，恒成立，所以在上单调递减；
当时，，.
当时，，；时，，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
……………………5分
综上，当时，在上单调递减；在上单调递增.
当时，在上单调递减.
当时，在上单调递减；在上单调递增. ………………………6分
（2），.
将
两式相减，整理得，
即，………………………9分
所以
令，，
则，
所以在上单调递减，故………………………11分
又，所以.………………………12分
22.解：（1）依题意，,
所以曲线的普通方程为. ………………………………2分
因为曲线的极坐标方程为：，
所以，即， …………4分
所以曲线的参数方程为（是参数）. …………………6分
（2）由（1）知，圆的圆心 圆心到直线的距离
……………………8分
又半径，所以. ……………………10分
23.解：（1）, ………………3分
所以，解得或. …………………………………5分
（2）由题意，.
于是………………………7分
，……………………9分
当且仅当时等号成立，即，，时等号成立.
……………………10分
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