河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精讲试题.doc

第五章　图形的相似与解直角三角形 第一节　图形的相似与位似 河北五年中考命题规律 年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分 ‎2016‎ ‎15‎ 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件 ‎2‎ ‎11‎ ‎23‎ 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 ‎9‎ ‎2014‎ ‎13‎ 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似 ‎3‎ ‎3‎ ‎2013‎ ‎11‎ 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 ‎3‎ ‎3‎ ‎2017、2015年均未考查 命题规律 纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题).‎ 河北五年中考真题及模拟 ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ ‎　图形相似的判定及性质 ‎1．(2016河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　)‎ ‎,A)　,B)　,C)　　　,D)‎ ‎2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：‎ 甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①‎ 图②‎ 乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．‎ 对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　)‎ A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 ‎　图形的位似 ‎3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是(　D　)‎ A．点M B．点N C．点O D．点P ‎4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　A　)‎ A．87° B．60° C．75° D．120°‎ ‎5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是(　D　)‎ ‎①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．‎ A．4 B．‎2 C．1 D．3‎ ‎6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　)‎ A．5∶8 B．3∶8‎ C．3∶5 D．2∶5‎ ‎(第6题图)‎ ‎　　　(第7题图)‎ ‎7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为(　D　)‎ A．11 B．‎10 C．9 D．8‎ ‎8．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(　C　)‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 ‎9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(　D　)‎ A．4 B．2‎ C．5 D．3‎ ‎10．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(　D　)‎ A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 ‎11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.‎ ‎(1)求证：AC＝AD＋CE；‎ ‎(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值．‎ 解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，‎ ‎∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.‎ ‎∴∠ADB＝∠EBC.‎ 又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，‎ ‎∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；‎ ‎(2)过点Q作QH⊥BC于点H.‎ 则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，‎ ‎∴＝，＝.‎ 设AP＝x，QH＝y，则有＝，‎ ‎∴BH＝，PH＝＋5－x，‎ ‎∴＝，即(x－5)·(3y－5x)＝0.‎ 又点P不与A，B重合，‎ ‎∴x≠5，即x－5≠0.‎ ‎∴3y－5x＝0，即3y＝5x.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎12．(2016河北中考)如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．‎ ‎(1)AE和ED的数量关系为________；‎ AE和ED的位置关系为________；‎ ‎(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.‎ ‎①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.‎ ‎②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)‎ 解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；‎ ‎(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°，‎ AB＝BE＝EC＝DC.‎ ‎∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，‎ ‎∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝AB，EF＝EB，‎ ‎∴∠GFE＝∠C.‎ ‎∵H是EC的中点，‎ ‎∴EH＝HC＝EC，‎ ‎∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD，‎ ‎∴△HGF≌△DHC.‎ ‎∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.‎ ‎∵∠HDC＋∠DHC＝90°，‎ ‎∴∠GHF＋∠DHC＝90°.‎ ‎∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；‎ ‎②∵GH＝HD，GH⊥HD，‎ ‎∴∠FHG＋∠DHC＝90°.‎ ‎∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.‎ 在△FGH和△CHD中，‎ ‎∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.‎ ‎∵EF＝FG，∴EF＝CH.‎ ‎∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，‎ ‎∴BE＝EC＝1，‎ ‎∴EF＝k，∴CH的长为k.‎ ‎,中考考点清单)‎ ‎　比例的相关概念及性质 ‎1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．‎ ‎2．比例中项：如果＝，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．‎ ‎3．比例的性质 性质 内容 性质1‎ ＝⇔__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)．‎ 性质2‎ 如果＝，那么＝.‎ 性质3‎ 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝__(不唯一)__.‎ ‎4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．‎ ‎　相似三角形的判定及性质 ‎5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．‎ ‎6．性质：‎ ‎(1)相似三角形的__对应角__相等；‎ ‎(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；‎ ‎(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．‎ ‎7．判定：‎ ‎(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；‎ ‎(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；‎ ‎(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；‎ ‎(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．‎ ‎【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：‎ ‎(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；‎ ‎(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；‎ ‎(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；‎ ‎(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；‎ ‎(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．‎ ‎【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．‎ 如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．‎ ‎　相似多边形 ‎8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．‎ ‎9．性质：‎ ‎(1)相似多边形的对应边__成比例__；‎ ‎(2)相似多边形的对应角__相等__；‎ ‎(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．‎ ‎　位似图形 ‎10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．‎ ‎11．性质：‎ ‎(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；‎ ‎(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．‎ ‎12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．‎ ‎13．画位似图形的步骤：‎ ‎(1)确定__位似中心__；‎ ‎(2)确定原图形的关键点；‎ ‎(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；‎ ‎(4)作出原图形中各关键点的对应点；‎ ‎(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．‎ ‎,中考重难点突破)‎ ‎　比例的性质 ‎【例1】已知＝＝，且‎3a－2b＋c＝20，则‎2a－4b＋c的值为________．‎ ‎【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．‎ ‎【答案】－6‎ ‎1．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是(　A　)‎ ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A．－5 B．－ C. D．5‎ ‎　相似三角形的判定与性质 ‎【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒‎3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒‎2 cm的速度向点B运动，运动时间为t s，连接MN.‎ ‎(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；‎ ‎(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．‎ ‎【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．‎ ‎【答案】解：(1)由题意知BA＝＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm，‎ ‎∴BN＝(8－2t)cm.‎ ‎①当△BMN∽△BAC时，有＝，‎ ‎∴＝，解得t＝；‎ ‎②当△BMN∽△BCA时，有＝，‎ ‎∴＝，解得t＝.‎ ‎∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为或；‎ ‎(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D.‎ 由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，‎ DM＝BM·sinB＝3t·＝t(cm)，‎ BD＝BM·cosB＝3t·＝t(cm)，‎ ‎∴CD＝cm.‎ ‎∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，‎ ‎∴∠CAN＝∠MCD.‎ ‎∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴△CAN∽△DCM.∴＝，‎ ‎∴＝，解得t＝.‎ ‎2．如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(　B　)‎ A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似 ‎3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE綊BC.‎ 证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∴＝＝，∠ADE＝∠B，‎ ‎∴BC＝2DE，BC∥DE，‎ 即DE綊BC.‎ ‎　位似图形 ‎【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是(　D　)‎ A．(－2，3)‎ B．(2，－3)‎ C．(3，－2)或(－2，3)‎ D．(－2，3)或(2，－3)‎ ‎【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.‎ ‎【答案】D ‎4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　B　)‎ A．(1，2)‎ B．(1，1)‎ C．(，)‎ D．(2，1)‎