2018年中考数学专题：例谈“双勾模型图”的提炼及其应用.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 例谈“双勾模型图”的提炼及其应用 ‎ 数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说明.‎ ‎ 1.题目 ‎ 笔者在教学勾股定理内容时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题:‎ ‎ 在中，于，求证: .‎ ‎ 这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.‎ ‎ 题中有垂直且有线段的平方之间的关系，自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形，利用勾股定理及两个直角三角形的公共边，便能得证.‎ ‎ 即由，得 ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.‎ ‎ 2.双勾模型图的应用 ‎ 例1 (2016年益阳中考题)如图3，在中，，求的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.‎ ‎ 1.作于，设，用含的代数式表示.‎ ‎ 2.根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出.‎ ‎ 3.利用勾股定理，求出的长，再计算三角形面积.‎ ‎ 解析 由双勾模型图3，得 ‎ .‎ ‎ 设，则,‎ 即,‎ 解得.‎ ‎,‎ 即 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ .‎ 评析 本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出的长，然后利用勾股定理即可求出高的长.‎ ‎ 例2 如图4，四边形中，.求证: .‎ ‎ 解析 由双勾模型图1得:‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎ 将两式相减，得 ‎ ，‎ ‎ 即.‎ ‎ 评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.‎ ‎ 例3 如图5，在中，求证：.‎ ‎ 解析 作于点，交的延长线于点，‎ ‎ 则，.‎ ‎ 由三，得 ‎ .‎ ‎ 由双勾模型图1，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ，‎ ‎ 由双勾模型图2，得 ‎ .‎ ‎ 两式相加，得 ‎ ，‎ ‎ 整理得，‎ ‎ ，‎ 即 ‎ 评析 题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.‎ 例4 如图6，正方形和正方形，、相交于点.若，求正方形和正方形的面积之和.‎ ‎ 解析 连结.‎ ‎ 由正方形和正方形，得 ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 可得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∴.‎ 从而 ‎，‎ ‎ 即.‎ ‎ 由双勾模型图1及例2，易推得 ‎ ，‎ 由，得，‎ ‎∴.‎ 因此，正方形和正方形的面积之和为 ‎.‎ ‎ 评析 题中“正方形的母子图”中有一个重要的结论:与既相等，又垂直.由垂直，联想到双勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中，就更易解答.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费