华师大九年级数学上期末复习第24章解直角三角形试卷含解析.docx

华师大版九年级数学上册期末专题： 第24章 解直角三角形 单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分）‎ ‎1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（   ）‎ A. ‎3‎‎4‎                                          B. ‎3‎‎5‎                                          C. ‎4‎‎5‎                                          D. ‎‎4‎‎3‎ ‎2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（   ）‎ A. 15                                         B. 16                                         C. 18                                         D. 19‎ ‎3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（    ）‎ A. 120m                                  B. 67.5m                                  C. 40m                                  D. 30m ‎4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（    ） ‎ A. y=20﹣x（0＜x＜10）                                       B. y=20﹣x（10＜x＜20） C. y=20﹣2x（10＜x＜20）                                  D. y=20﹣2x（5＜x＜10）‎ ‎5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：‎3‎ ， 坝高BC=6m，则坡面AB的长度（　　） ‎ A. 12m                                    B. 18m                                    C. 6‎3‎                                    D. 12‎‎3‎ ‎6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（   ）米． ‎ A. 300                                  B. 900                                  C. 300 ‎2‎                                  D. 300 ‎‎3‎ ‎7.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB ‎ ‎ 是（　　） ‎ A. 4.5米                                     B. 6米                                     C. 7.2米                                     D. 8米 ‎8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） ‎ A. 10                                         B. 12                                         C. 14                                         D. 16‎ ‎9.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 ‎5‎ 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（   ） ‎ A. 5米                                 B. 6米                                 C. 8米                                 D. （3+ ‎5‎ ）米 ‎10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（   ） ‎ A. ‎3-‎‎6‎‎6‎                               B. ‎3‎‎+3‎‎2‎‎6‎                               C. ‎3+‎‎6‎‎6‎                               D. ‎‎3‎‎+2‎‎2‎‎6‎ 二、填空题（共10题；共33分）‎ ‎11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米． ‎ ‎12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________． ‎ ‎13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________． ‎ ‎14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ‎4‎‎3‎  ,则x=________,cosα=________.   ‎ ‎ ‎ ‎15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=‎2‎‎3‎ ， 那么AB=________  ‎ ‎16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m. ‎ ‎17.tan________ °=0.7667．‎ ‎18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．  19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= ‎3‎ +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________． ‎ ‎20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= ‎1‎‎2‎ x2+mx对应的函数值分别为y1 ， y2 ， y3 ， 若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ， 则实数m的取值范围是________． ‎ 三、解答题（共8题；共57分）‎ ‎21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ ‎ ‎ ‎ ‎22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．‎ ‎23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 ‎3‎ 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l： ‎3‎ 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 ‎°‎ ，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 ‎°‎ = ‎4‎‎5‎ , cos53 ‎°‎ = ‎3‎‎5‎ , tan53 ‎°‎ = ‎4‎‎3‎ ， ‎3‎ ≈1.732，结果精确到0.1米）‎ ‎24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（‎3‎=1.7）． ‎ ‎ ‎ ‎25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736） ‎ ‎26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度． （参考数据：sin37°≈ ‎3‎‎5‎ ，tan37°≈ ‎3‎‎4‎ ，sin21°≈ ‎9‎‎25‎ ，tan21°≈ ‎3‎‎8‎ ） ‎ ‎ ‎ ‎27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE． ‎ ‎（1）求证：四边形EFGH为平行四边形； ‎ ‎（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长． ‎ ‎28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值） ． ​ ‎ ‎ ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】B ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠C=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB= ‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎ =5． ∴sinA= ‎3‎‎5‎ ， 故答案为：B． 【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。‎ ‎2.【答案】D ‎ ‎【考点】三角形三边关系 ‎ ‎【解析】【解答】设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9， 则三角形的最大周长为9+3+7=19． 故答案为：D． 【分析】三角形的三边关系为：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边.‎ ‎3.【答案】A ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,‎ ‎∴△ABE∽△DCE,‎ ‎∴ ABCD‎=‎BECE .‎ ‎∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，‎ ‎∴ AB=‎90×60‎‎45‎=120(m)‎  ‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE,可得比例式求解。‎ ‎ ‎ ‎4.【答案】D ‎ ‎【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵2x+y=20∴y=20﹣2x，即x＜10 ∵两边之和大于第三边 ∴x＞5 故答案为：D 【分析】本题先由等腰三角形周长20=2x+y，易得y与x的函数关系式，再利用两腰之和大于底且腰、底必须是正列出x的不等式组，通过解不等式组即可确定自变量x的取值范围。‎ ‎5.【答案】A ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为i=1：‎3‎ ， 坝高BC=6m， ∴BCAC=‎1‎‎3‎ 即 ‎6‎AC=‎1‎‎3‎ 解得AC=6‎3‎ ， ∴AB= AC‎2‎+BC‎2‎= ‎6‎‎3‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎108+36‎=‎144‎=12m， 故选A． 【分析】根据迎水坡AB的坡度为i=1：‎3‎ ， 坝高BC=6m，可以求得AC的长度，从而得到AB的长度，本题得以解决．‎ ‎6.【答案】D ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：∠A=30°，∠PBC=60°， ∴∠APB=60°﹣30°， ∴∠APB=∠A， ∴AB=PB． 在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450米， 所以PB= ‎450‎sin60°‎‎=‎900‎‎3‎=300‎‎3‎ ． 所以AB=PB=300 ‎3‎ ． 故选D． 【分析】过P作AB的垂线，垂足是C，根据两个俯角的度数可知△ABP是等腰三角形，AB=BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．‎ ‎7.【答案】B ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵MC∥AB， ∴△DCM∽△DAB， ∴DCDB‎=‎MCAB ， 即‎1.5‎AB‎=‎‎1‎BC+1‎①， ‎ ‎ ‎ ‎∵NE∥AB， ∴△FNE∽△FAB， ∴NEAB‎=‎EFBF ， 即‎1.5‎AB‎=‎‎2‎BC+3+2‎②， ∴‎1‎BC+1‎‎=‎‎2‎BC+3+22‎ ， 解得BC=3， ∴‎1.5‎AB‎=‎‎1‎‎1+3‎解得AB=6， 即路灯A的高度AB为6m． 故选B． 【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得‎1.5‎AB‎=‎‎1‎BC+1‎同理可得‎1.5‎AB‎=‎‎2‎BC+3+2‎然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．‎ ‎8.【答案】C ‎ ‎【考点】三角形三边关系 ‎ ‎【解析】【解答】第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．则该三角形的周长是14． 故选：C． 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．‎ ‎9.【答案】A ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：设CD=x，则AD=2x， 由勾股定理可得，AC= x‎2‎‎+‎‎(2x)‎‎2‎ = ‎5‎ x， ∵AC=3 ‎5‎ 米， ∴ ‎5‎ x=3 ‎5‎ ， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=2×3=6米， 在Rt△ABD中，BD= ‎10‎‎2‎‎-‎‎6‎‎2‎ =8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故选A． 【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．‎ ‎10.【答案】A ‎ ‎【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】设AD=2x,则AB=3x,过点D作DE⊥AB于点E,过点A作AF⊥DB于点F,因为∠ADB=60°,所以DF=x,AF=‎3‎x, 在△ABF中，BF=‎6‎x,根据三角形的面积公式S=‎1‎‎2‎BD×AF=‎1‎‎2‎AB×DE,所以有DE=‎6‎‎+1‎‎3‎x, 在△ADE中，由勾股定理得AE=‎3-‎‎6‎‎3‎x，所以cos∠DAB=‎3-‎‎6‎‎6‎, ‎ ‎ ‎ 故选A.     ‎ 二、填空题 ‎11.【答案】1 ‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，‎ ‎∴他下降 ‎1‎‎2‎ ×2=1米.‎ 故答案为：1.‎ ‎【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.‎ ‎12.【答案】15 ‎ ‎【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15． 【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，再计算等腰三角形的周长即可.‎ ‎13.【答案】4 ‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形 ‎ ‎【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， 根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4. 故答案为：4. 【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求BB′的长。‎ ‎14.【答案】-6；‎3‎‎5‎ ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：(1)过P点作x轴的垂线段PA,垂足为A，在Rt△PAO中，∵角α的正切值是 ‎4‎‎3‎ ,∴ PAOA = ‎4‎‎3‎ ,∵PA=8,∴OA=6,即x=-6.( 2 )在Rt△OPA中,PA=8,OA=6,∴OP=10.∴cos α= OAOP = ‎6‎‎10‎ = ‎3‎‎5‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：-6；‎3‎‎5‎ 【分析】以角α为一角构造一个直角三角形，过P点作x轴的垂线段PA,根据角α的正切值，求出OA的值，即可求出x的值；由勾股定理可得OP的长度，再根据余弦函数的定义，可得cosα的值。‎ ‎15.【答案】6 ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵sinB=‎2‎‎3‎ ， ∴AB=6． 故答案是：6． 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．‎ ‎16.【答案】16 ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】∵ 建筑物的高建筑物的影子长‎=‎旗杆高旗杆影长 ，‎ 即 建筑物的高‎20‎‎=‎‎4‎‎5‎ ，‎ ‎∴设建筑物的高是x米．则 ‎x‎20‎‎=‎‎4‎‎5‎ 解得：x=16．‎ 故该建筑物的高为16米．‎ ‎【分析】根据物长：影长可得比例式求解。‎ ‎17.【答案】37.5‎ ‎【考点】计算器—三角函数 ‎ ‎【解析】【解答】解：tan﹣10.7667≈37.5°．‎ 故答案为：37.5．‎ ‎【分析】直接利用计算求出答案．‎ ‎18.【答案】4 ‎ ‎【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8， ∴在Rt△DEG中，DG=‎1‎‎2‎DE=4， ∴DF=DG=4． ‎ ‎ ‎ 故答案为：4． 【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．‎ ‎19.【答案】1 ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【解答】解：过点E作EH垂直BC于H。 ∵∠CBD=90°，∠D=60°， ∴∠BCD=30°， ∴∠ACE=60°， ∵AC=BC= ‎3‎ +1， ∴BD= ‎3‎‎+1‎‎3‎ ，AB= ‎2‎ （ ‎3‎ +1）， ∵∠AEC=∠BED， ∴△BDE∽△ACE， ∴ BDAC = BEAE ， ∴ ‎3‎‎+1‎‎3‎‎3‎‎+1‎ = BE‎2‎‎(‎3‎+1)-BE ， ∴BE= ‎2‎ ，AE= ‎6‎ ， ∵∠ACB=90°， ∴△BHE∽△BCA， ∴ EHAC = AEAB ， ∴ EH‎3‎‎+1‎ = ‎6‎‎2‎‎(‎3‎+1)‎ ， ∴EH=1， 故答案为1． 【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=‎3‎‎+1‎，∠D=60°，根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD,AB ‎ ‎ 的长，进而判断出△BDE∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出BE,AE的长，再判断出△BHE∽△BCA，根据对应边成比例得出EH的长。‎ ‎20.【答案】m＞﹣ ‎5‎‎2‎ ‎ ‎【考点】三角形三边关系，二次函数图象上点的坐标特征 ‎ ‎【解析】【解答】方法一： ‎ 解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，‎ ‎∴a最小是2，‎ ‎∵y1＜y2＜y3 ， ‎ ‎∴﹣ m‎2×‎‎1‎‎2‎ ＜2.5，‎ 解得m＞﹣2.5．‎ 方法二：‎ 解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ， ‎ 即 ‎{‎y‎1‎‎