人教版九年级下期末复习《第27章相似》单元试卷（含答案解析）.docx

期末复习：人教版九年级数学下册 第27章 相似 单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分）‎ ‎1.若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C΄=（　　）. ‎ A. 40°                                      B. 110°                                      C. 70°                                      D. 30°‎ ‎2.已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（   ） ‎ A. ab‎=‎‎2‎‎3‎ ；                       B. ab‎=‎‎3‎‎2‎ ；                       C. a+bb‎=‎‎4‎‎3‎ ；                       D. a+bb‎=‎‎5‎‎3‎ ．‎ ‎3.下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（　　） ‎ A. AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=10，EF=8，∠D=45° B. ∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75° C. BC=4，AC=6，AB=9；DE=18，EF=8，DF=12 D. AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=4，∠E=40°‎ ‎4.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（   ） ‎ A. ∠ABD=∠C                     B. ∠ADB=∠ABC                     C. ABBD‎=‎CBCD                     D. ‎ADAB‎=‎ABAC ‎5.如果x：（x+y）=3：5，那么 x-yx 的值是（   ） ‎ A. ‎1‎‎3‎                                          B. ‎1‎‎2‎                                          C. ‎2‎‎3‎                                          D. ‎‎3‎‎2‎ ‎6.如图，已知ABAD=ACAE=BCDE=‎3‎‎2‎，且△ABC的周长为15cm，则△ADE的周长为（   ）         ‎ A. 6cm                                   B. 9cm                                   C. 10cm                                   D. 12cm ‎7.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（　　） ‎ A. 1：2                                   B. 1：4                                   C. 1：8                                   D. 1：16‎ ‎8.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，DE=1.6cm，则BC=（　　）  ‎ ‎ ‎ A. 0.8cm                                  B. 2cm                                  C. 2.4cm                                  D. 3.2cm ‎9.将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是(    ) ‎ A.ac‎=‎d‎2b B.a‎2c‎=‎db C.‎2ac‎=‎db D.‎‎2ad‎=‎cb ‎10.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1 ， 作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2 ， 作正方形A2B2C2C1 ， …，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（    ） ‎ A. ‎5×‎‎3‎‎2‎‎2013‎                    B. ‎5×‎‎9‎‎4‎‎2012‎                    C. ‎5×‎‎3‎‎2‎‎2012‎                    D. ‎‎5×‎‎9‎‎4‎‎2013‎ 二、填空题（共10题；共30分）‎ ‎11.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若DE∥BC, ADAB‎=‎‎1‎‎3‎ ,则 AD+DE+AEAB+BC+AC =________. ‎ ‎12.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设B′的坐标是（3，﹣1），则点B的坐标是________． ‎ ‎13.在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=________  ‎ ‎14.已知 xy = ‎2‎‎3‎ ，那么 x-yy 的值是________． ‎ ‎15.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m． ‎ ‎16.在直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，1），若以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的A′的坐标是________  ‎ ‎ ‎ ‎17.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m． ‎ ‎18.如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． ADAC = AEAB ，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）‎ ‎19.已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为　________ ． ‎ ‎20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= ‎2‎ AE2；④S△ABC=2S△ADF ． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上） ‎ 三、解答题（共8题；共60分）‎ ‎21.已知：如图，△ABC∽△ADE ， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数． ​ ‎ ‎22.如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE． ‎ ‎ ‎ ‎23.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=‎1‎‎4‎DC，求证：△ABE∽△DEF．  ‎ ‎24.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数． ‎ ‎25.已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE． ‎ ‎ ‎ ‎26.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=‎1‎‎4‎DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长． ‎ ‎27.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E． （1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=‎2‎BM； （2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？； （3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=‎2‎，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长． ‎ ‎ ‎ ‎28.（1）如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其它条件不变,（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由． ‎ ‎ ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】D ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=110°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-110°=30° 又∵△ABC∽△A΄B΄C΄， ∴∠C΄=∠C=30°． 故选D ． 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可解答．‎ ‎2.【答案】B ‎ ‎【考点】比例的性质 ‎ ‎【解析】【解答】∵2a=3b，∴ ab‎=‎‎3‎‎2‎  ，∴ a+bb‎=‎‎5‎‎2‎  ，∴A、C、D选项错误，B选项正确， 故答案为：B. 【分析】利用比例的性质进行等式变形即可。‎ ‎3.【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】解答：‎ A. = = ，夹角是∠B和∠E ， 两角不一定相等，故本选项错误；‎ B.应符合∠A=∠D=45°，∠B和∠E相等才能证两三角形相似，故本选项错误；‎ C.根据 = = = ，得到两三角形相似，故本选项正确；‎ D.∠B=∠E=40°，但夹此角的两边不成比例，故本选项错误；‎ 故选C ． ‎ 分析：根据已知条件推出证三角形相似的条件，根据相似三角形的判定判断即可．‎ ‎4.【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）； 故A与B正确； 当 ADAB‎=‎ABAC 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）； 故D ‎ ‎ 正确； 当 ABBD‎=‎CBCD 时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似， 故C错误． 故答案为：C． 【分析】△ADB与△ABC中已经有一个公共角相等，要使△ADB与△ABC相似，可以添加∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC或ADAB=ABAC即可，从而作出判断。‎ ‎5.【答案】A ‎ ‎【考点】比例的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：设x=3k，则y=2k， 则 x-yx = ‎3k-2k‎3k = ‎1‎‎3‎ ． 故选：A． 【分析】可设x=3k，根据已知条件得到y=2k，再代入计算可求 x-yx 的值．‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】由ABAD=ACAE=BCDE=‎3‎‎2‎可得△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质求解即可. 【解答】∵ABAD=ACAE=BCDE=‎3‎‎2‎ ∴△ABC∽△ADE ∴△ABC与△ADE的周长比为‎3‎‎2‎ ∵△ABC的周长为15cm ∴△ADE的周长为10cm    故选C. 【点评】相似三角形判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中极为重要的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.‎ ‎7.【答案】B ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4， 又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应中线之比为1：4． 故选B． 【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．‎ ‎8.【答案】C ‎ ‎【考点】平行线分线段成比例 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AD=2cm，DB=1cm， ∴AB=AD+DB=3cm， ∵DE∥BC， ‎ ‎ ‎ ‎∴ ， 解得：BC=2.4． 故选：C． 【分析】由平行线分线段成比例可得 ， 把线段代入可求得BC．‎ ‎9.【答案】B ‎ ‎【考点】比例的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：将两个小矩形拼成一个大矩形，由面积关系可知：2ab=dc,即 ac‎=‎d‎2b ，或 ‎2ac‎=‎db 或 ‎2ad‎=‎cb A,C,D不符合题意.‎ 故答案为：B ‎【分析】将两个小矩形拼成一个大矩形，由面积关系可知：2ab=dc，再利用比例的性质将其转化为比例式，即可作出判断。‎ ‎10.【答案】B ‎ ‎【考点】坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，探索图形规律 ‎ ‎【解析】【分析】因为点A的坐标为（1，0)，点D的坐标为（0，2)，即OA=1，OD=2，根据勾股定理得DA=‎5‎ ， 正方形ABCD的面积为5，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DOA=∠ABA1=90°，∠ODA=∠BAA1 ， △DOA∽△ABA1 ， 所以BA‎1‎AB‎=OAOD=‎‎1‎‎2‎,BA1=‎1‎‎2‎‎5‎ ， 所以CA1=‎3‎‎2‎‎5‎ ， 第二个正方形A1B1C1C的面积为‎5×‎‎9‎‎4‎ ， 同理可证，正方形AnBnCnC1的面积=‎5×‎‎9‎‎4‎n-1‎ ， 所以第2013个正方形的面积为‎5×‎‎9‎‎4‎‎2012‎. 故选：B 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．‎ 二、填空题 ‎11.【答案】‎1‎‎3‎ ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】由题意可知，∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵ ADAB‎=‎‎1‎‎3‎ ， ∴ C‎△ADEC‎△ABC‎=AD+DE+AEAB+BC+AC=‎‎1‎‎3‎ . 故答案为 ‎1‎‎3‎ . 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案。‎ ‎ ‎ ‎12.【答案】（﹣3， ‎1‎‎2‎ ）． ‎ ‎【考点】点的坐标，相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′， ∵点C的坐标是（﹣1，0），B′的坐标是（3，﹣1）， ∴CD′=4，B′D′=1， 由题意得，△ABC∽A′B′C，相似比为1：2， ∴ BDB‎'‎D‎'‎ = CDCD‎'‎ = ‎1‎‎2‎ ， ∴CD=2，BD= ‎1‎‎2‎ ， ∴点B的坐标是（﹣3， ‎1‎‎2‎ ）． 故答案为：（﹣3， ‎1‎‎2‎ ）． 【分析】作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，根据C,B′的坐标求出CD′，B′D′的长度，由于△ABC与△A′B′C，故△ABC∽A′B′C，且相似比为1：2，根据相似三角形对应边成比例得出就可以求出CD,BD的长，从而求出B点的坐标。‎ ‎13.【答案】2，‎25‎‎8‎ ， ‎36‎‎25‎ ． ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AB=5，AC=4，BC=3， ∴AC2+BC2=AB2 ， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， 当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A， ∴△ADC为等腰三角形， ∴CE=AE， ∴CE=‎1‎‎2‎AC=2； 当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B， 而∠BCD+∠DCE=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴CD⊥AB， ∴CD=BC·ACAB=‎12‎‎5‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎∵△ABC∽△DCE， ∴AB：CD=BC：CE，即5：‎12‎‎5‎=3：CE， ∴CE=‎36‎‎25‎； 当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A， ∴DC=DA， ∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴DB=DC， ∴CD=DA=DB=‎1‎‎2‎AB=‎5‎‎2‎ ， ∵△ABC∽△CED， ∴CE：AB=CD：AC，即CE：5=‎5‎‎2‎：4， ∴CE=‎25‎‎8‎ ， 综上所述，CE的长为2，‎25‎‎8‎ ， ‎36‎‎25‎ ． 故答案为2，‎25‎‎8‎ ， ‎36‎‎25‎ ． ‎ ‎ ‎ ‎ 【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再分类讨论：当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，所以CE=AE，根据等腰三角形得CE=‎1‎‎2‎AC=2；当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，接着证明CD⊥AB，利用面积法可计算出CD=‎12‎‎5‎ ， 利用相似比可计算出CE=‎36‎‎25‎；当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，证明CD为斜边上的中线，则CD=DA=DB=‎1‎‎2‎AB=‎5‎‎2‎ ， 然后利用相似比可计算出CE=‎25‎‎8‎ ， 综上所述，CE的长为2，‎25‎‎8‎ ， ‎36‎‎25‎ ． ‎ ‎14.【答案】﹣ ‎1‎‎3‎ ‎ ‎【考点】比例的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ xy = ‎2‎‎3‎ ， ‎ ‎∴设x=2k，y=3k（k≠0），‎ 则 x-yy = ‎2k-3k‎3k =﹣ ‎1‎‎3‎ ．‎ 故答案为：﹣ ‎1‎‎3‎ ．‎ ‎ ‎ ‎【分析】根据比例设x=2k，y=3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．‎ ‎15.【答案】4 ‎ ‎【考点】相似三角形的应用，平行投影 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF， 由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°， ∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有 EDDC‎=‎DCFD ；即DC2=ED•FD， 代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为：4． 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得 EDDC‎=‎DCFD ；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．‎ ‎16.【答案】（2，﹣4） ‎ ‎【考点】位似变换 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵A（﹣1，2），以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′， ∴落在第四象限的A′的坐标是：（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）． 【分析】根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可得出A′的坐标．‎ ‎17.【答案】20 ‎ ‎【考点】比例线段 ‎ ‎【解析】【解答】解：设其他两边的实际长度分别为xm、ym， 由题意得， x‎4‎‎=y‎4‎=‎‎25‎‎5‎ ， 解得x＝y＝20． 即其他两边的实际长度都是20m 【分析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym，再根据相似三角形的对应边成比例，列式求解即可。‎ ‎18.【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．‎ ‎ ‎ 理由：∵∠A=∠A， ADAC‎=‎AEAB ，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，‎ ‎∴△BDF∽△EAD．‎ ‎②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，‎ ‎∴△FBD∽△AED．‎ 故答案为：DF∥AC或∠BFD=∠A．‎ ‎【分析】根据题意，已知对应边成比例，添加DF∥AC或∠BFD=∠A，都可证△FBD∽△AED。‎ ‎19.【答案】‎5‎‎5‎‎6‎ ‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥AE于点G； ∵∠C=90°，AC=BC=4， ∴ ， ∠A=45°； ∵∠ADG=90°﹣45°=45°， ∴∠A=∠ADG，AG=DG（设为λ）， 由勾股定理得：λ2+λ2=AD2 ， 而AD=AC﹣2=2， λ=‎2‎ ， BG=3‎2‎ ． 由勾股定理得：BD=2‎5‎； ∵EF⊥BD，且平分BD， ∴DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ）， ∴GE=3‎2‎﹣μ，CF=4﹣γ； 在△DGE中，由勾股定理得：  ， 解得：μ=‎5‎‎2‎‎3‎；在△DCF中， 同理可求：γ=2.5； ∵S四边形BEDF=S△BED+S△BFD ，  ， ∴， 解得：EF=‎5‎‎5‎‎6‎ ． ‎ ‎ ‎ 故答案为‎5‎‎5‎‎6‎ ．   【分析】如图，作辅助线；首先证明DE=BE（设为μ），DF=BF（设为γ）；运用勾股定理分别求出BE、BF、BD的长度；借助三角形的面积公式，列出关于EF的等式，求出EF即可解决问题．‎ ‎20.【答案】①②③ ‎ ‎【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD= ‎1‎‎2‎ AB， ∵点F是AB的中点， ∴FE= ‎1‎‎2‎ AB， ∴FD=FE，①正确； ∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， ∵∠ABE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE。 在△AEH和△BEC中， ∵∠AEH=∠CEB, AE=BE, ∠EAH=∠CBE， ∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确； ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ‎ ‎ ‎ ‎∴ BEAD‎=‎CBAB ，即BC·AD=AB·BE， ∵ ‎2‎ AE2=AB·AE=AB·BE， ∴BC·AD= ‎2‎ AE2；③正确； ∵F是AB的中点，BD=CD，∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF ． ④错误； 故答案为：①②③． 【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且点F是斜边AB上的中点，由斜边上的中线长是斜边的一半可知； ②要证明AH=2CD，则可猜想BC=2CD，AH=BC；要证明BC=2CD，结合AD⊥BC，则需要证明AB=AC；要证明AH=BC，则需要证明△AEH≌△BEC； ③由‎2‎AE2=AB·AE=AB·BE，则BC·AD=‎2‎AE2 ， 可转化为BC·AD=AB·BE，则BEAD‎=‎BCAB ， 那么只需证明△ABD～△BCE即可； ④由三角形的中线平分三角形的面积，依此推理即可。‎ 三、解答题 ‎21.【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°， ∴∠AED=∠C=40°． 在△ADE中， ∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45° 即40°+∠ADE+45°=180°， ∴∠ADE=95°． ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．‎ ‎22.【答案】证明：∵∠B=90°，         ∴∠A+∠ACB=90°，       ∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，‎ ‎∴∠ACB+∠ECD=90°，    ‎ ‎∴∠A=∠ECD，     ‎ ‎∵∠B=∠D=90°，     ‎ ‎∴△ABC∽△CDE． ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠ECD，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△CDE。‎ ‎23.【答案】证明：∵ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ‎ ‎ ‎ ‎∴AEAB=‎1‎‎2‎， ∵DF=‎1‎‎4‎DC， ∴DFDE=‎1‎‎2‎， ∴AEAB=DFDE， ∴△ABE∽△DEF． ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=AD=CD=BC，证出AEAB=DFDE ， 即可得出结论．‎ ‎24.【答案】解：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=60°， ∴∠ACP=120°， ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC=∠B，又∠A=∠A， ∴△ACP∽△ABP， ∴∠APB=∠ACP=120°． ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．‎ ‎25.【答案】解：连接EF． ∵∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线， ∴∠FBC=∠C=‎1‎‎2‎∠ABC， ∴BF=CF； 又∵BE=CE， ∴EF⊥BC； ∵AD⊥BC， ∴EF∥AD， ∴AF：FC=DE：EC； 而AB：BC=AF：FC， ∴AB：BC=DE：EC， ‎ ‎ ‎ ‎∴AB=2EC×DEEC=2DE， 即AB=2DE． ‎ ‎【考点】三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例 ‎ ‎【解析】【分析】连接EF．根据角平分线的性质知AF：FC=DE：EC，由平行线分线段成比例知AF：FC=DE：EC，由这两个比例式和已知条件“BE=CE”知AB=2EC×DEEC=2DE，即AB=2DE．‎ ‎26.【答案】证明：（1）∵ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴AEAB‎=‎‎1‎‎2‎， ∵DF=‎1‎‎4‎DC， ∴DFDE‎=‎‎1‎‎2‎， ∴AEAB‎=‎DFDE， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴EDCG‎=‎DFCF， 又∵DF=‎1‎‎4‎DC，正方形的边长为4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10． ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AEAB‎=‎DFDE ， 根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF； （2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．‎ ‎27.【答案】解：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C=90°， ∴FM∥CD， ∴∠NDE=∠MFE， ∴FM=BM， ∵BM=DN， ∴FM=DN， 在△EFM和△EDN中， ‎ ‎ ‎ ‎∠NDE=∠MFE‎∠NED=∠MEFDN=FM‎， ∴△EFM≌△EDN， ∴EF=ED， ∴BD-2DE=BF， 根据勾股定理得：BF=‎2‎BM， 即BD-2DE=‎2‎BM． （2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=‎2‎BM， （3）由（2）知，BD+2DE=‎2‎BM，BD=‎2‎BC， ∵DE=‎2‎， ∴CM=2， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△DNF， ∴AF：FD=AB：ND， ∵AF：FD=1：2， ∴AB：ND=1：2， ∴CD：ND=1：2， CD：（CD+2）=1：2， ∴CD=2，∴FD=‎4‎‎3‎， ∴FD：BM=1：3， ∴DG：BG=1：3， ∴DG=‎2‎‎2‎． ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可； （2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF ‎ ‎ ‎，根据正方形的性质和勾股定理求出即可； （3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可．‎ ‎28.【答案】解：：（1）∵△ABC、△AMN是等边三角形, ∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°, ∴∠BAM=∠CAN, ∴△BAM≌△CAN（SAS）, ∴∠ABC=∠ACN； （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形, ∴AB=AC,AM=AN, ∠BAC=∠MAN=60°, ∴∠BAM=∠CAN, ∴△BAM≌△CAN（SAS）, ∴∠ABC=∠ACN； （3）∠ABC=∠ACN． 理由如下： ∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN, ∴底角∠BAC=∠MAN, ∴△ABC∽△AMN, ∴ABAM‎=‎ACAN , 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC, ∴∠BAM=∠CAN, ∴△BAM∽△CAN, ∴∠ABC=∠ACN． ‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】 （1）先证△BAM≌△CAN，再由全等三角形性质得到结论； （2）先证△BAM≌△CAN，再由全等三角形性质得到结论； （3）先证△ABC∽△AMN,再证△BAM∽△CAN,由相似三角形性质得到结论。‎ ‎ ‎