2019年中考数学总复习提分专练05以三角形为背景的中档计算题与证明题练习湘教版.docx

提分专练(五)　以三角形为背景的中档计算题与证明题 ‎|类型1|　与特殊三角形相关的计算、证明题 ‎1.如图T5-1,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.‎ ‎(1)求证:EF=‎1‎‎2‎AC;‎ ‎(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.‎ 图T5-1‎ ‎2.[2017·连云港] 如图T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.‎ ‎(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.‎ 8‎ 图T5-2‎ ‎|类型2|　与全等三角形相关的计算、证明题 ‎3.如图T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.‎ ‎(1)求证:△ABD≌△CAE.‎ ‎(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.‎ 图T5-3‎ 8‎ ‎4.[2018·宁波] 如图T5-4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△BCE;‎ ‎(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.‎ 图T5-4‎ ‎|类型3|　与相似三角形相关的计算、证明题 ‎5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.‎ ‎(1)求证:△ACD∽△BFD;‎ ‎(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.‎ 图T5-5‎ 8‎ ‎6.[2018·东营] (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:‎ 如图T5-6①,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3‎3‎,BO∶CO=1∶3,求AB的长.‎ 经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图②).‎ 请回答:∠ADB=　　　　°,AB=　　　　. ‎ ‎(2)请参考以上解题思路,解决下列问题:‎ 如图③,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=3‎3‎,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.‎ 图T5-6‎ 8‎ 参考答案 ‎1.解:(1)证明:连接CE.∵CD=CB,点E为BD的中点,‎ ‎∴CE⊥BD.‎ ‎∵点F为AC的中点,‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎AC.‎ ‎(2)∵∠BAC=45°,CE⊥BD,‎ ‎∴△AEC是等腰直角三角形.‎ ‎∵点F为AC的中点,‎ ‎∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.‎ ‎∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,‎ ‎∴BC=AM+DM.‎ ‎2.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:‎ 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,‎ 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.‎ ‎(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.‎ 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,‎ 即直线AF垂直平分线段BC.‎ ‎3.解:(1)证明:∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠ACD.‎ ‎∵AE∥BC,‎ ‎∴∠EAC=∠ACD,‎ ‎∴∠B=∠EAC.‎ 8‎ ‎∵AD是BC边上的中线,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵CE⊥AE,‎ ‎∴∠ADB=∠AEC=90°.‎ 在△ABD和△CAE中,‎ ‎∵‎‎∠B=∠EAC,‎‎∠ADB=∠AEC,‎AB=CA,‎ ‎∴△ABD≌△CAE(AAS).‎ ‎(2)AB平行且等于DE.‎ 证明:由(1)知△ABD≌△CAE,‎ ‎∴AE=BD.‎ 又∵AE∥BD,‎ ‎∴四边形ABDE为平行四边形,‎ ‎∴AB平行且等于DE.‎ ‎4.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,‎ ‎∴∠DCE=90°,CD=CE.‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠DCE,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE.‎ 在△ACD和△BCE中,∵‎CD=CE,‎‎∠ACD=∠BCE,‎AC=BC,‎ ‎∴△ACD≌△BCE.‎ ‎(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,‎ 8‎ ‎∴∠A=45°,‎ ‎∵△ACD≌△BCE,‎ ‎∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.‎ 又AD=BF,‎ ‎∴BE=BF,‎ ‎∴∠BEF=∠BFE=‎180°-45°‎‎2‎=67.5°.‎ ‎5.解:(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,‎ ‎∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,‎ ‎∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.‎ ‎(2)∵∠ADB=90°,tan∠ABD=1,‎ ‎∴tan∠ABD=ADBD=1,∴AD=BD.‎ ‎∵△ACD∽△BFD,‎ ‎∴ACBF=ADBD=1,∴BF=AC=3.‎ ‎6.[解析] (1)利用两直线平行,内错角相等,可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC与△DOB相似,于是得DO=‎3‎,再利用三角形内角和定理可求得∠ABD=75°,所以AB=AD=4‎3‎.‎ ‎(2)同理,可过B作AD的平行线,利用相似可求得DC的长.‎ 解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.‎ 又∵∠DOB=∠AOC,‎ ‎∴△DOB∽△AOC,‎ ‎∴DOAO=BOCO=‎1‎‎3‎.‎ ‎∵AO=3‎3‎,∴DO=‎3‎,‎ 8‎ ‎∴AD=AO+DO=3‎3‎+‎3‎=4‎3‎.‎ 在△ABD中,∠BAO=30°,∠ADB=75°,‎ ‎∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=4‎3‎.‎ ‎(2)过点B作BE∥AD交AC于点E.‎ ‎∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°.‎ 又∵∠AOD=∠EOB,‎ ‎∴△AOD∽△EOB,‎ ‎∴BODO=EOAO=BEDA.‎ ‎∵BO∶OD=1∶3,‎ ‎∴EOAO=BEDA=‎1‎‎3‎.‎ ‎∵AO=3‎3‎,∴EO=‎3‎,∴AE=4‎3‎.‎ ‎∵∠ABC=∠ACB=75°,‎ ‎∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE.‎ 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,‎ 即(4‎3‎)2+BE2=(2BE)2,得BE=4,‎ ‎∴AB=AC=8,AD=12.‎ 在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,‎ 即82+122=CD2,得CD=4‎13‎.‎ 8‎