2019年中考数学总复习提分专练07以圆为背景的综合计算与证明题练习湘教版.docx

提分专练(七)　以圆为背景的综合计算与证明题 ‎|类型1|　圆与切线有关的问题 ‎1.[2018·咸宁] 如图T7-1,以△ABC的边AC为直径的☉O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交☉O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:DE是☉O的切线;‎ ‎(2)若AB=2‎5‎,BC=‎5‎,求DE的长.‎ 图T7-1‎ ‎2.[2018·徐州] 如图T7-2,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°.‎ ‎(1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由.‎ ‎(2)若∠CDB=60°,AB=6,求AD的长.‎ 11‎ 图T7-2‎ ‎|类型2|　圆与四边形结合的问题 ‎3.[2017·宜昌] 如图T7-3,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,ED=EC,以AE为直径的☉O与边CD相切于点D,B点在☉O上,连接OB.‎ ‎(1)求证:DE=OE;‎ ‎(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.‎ 图T7-3‎ ‎4.[2018·镇江] 如图T7-4①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P与对角线AC交于A,E两点.‎ ‎(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长;‎ ‎(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD 11‎ 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的长的取值范围　　　　. ‎ 图T7-4‎ ‎|类型3|　圆与三角函数结合的问题 ‎5.[2018·贵港] 如图T7-5,已知☉O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.‎ ‎(1)求证:BD是☉O的切线;‎ ‎(2)若AB=10,cos∠BAC=‎3‎‎5‎,求BD的长及☉O的半径.‎ 图T7-5‎ 11‎ ‎6.[2018·铜仁] 如图T7-6,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作☉O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:DF⊥AC;‎ ‎(2)求tanE的值.‎ 图T7-6‎ ‎|类型4|　圆与相似三角形结合的问题 ‎7.[2018·通辽] 如图T7-7,☉O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交☉O于点D,连接BD,CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.‎ ‎(1)求证:PD是☉O的切线;‎ 11‎ ‎(2)求证:△ABD∽△DCP;‎ ‎(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.‎ 图T7-7‎ ‎8.[2017·苏州] 如图T7-8,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE于点F.‎ ‎(1)求证:△DOE∽△ABC;‎ ‎(2)求证:∠ODF=∠BDE;‎ ‎(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S‎1‎S‎2‎=‎2‎‎7‎,求sinA的值.‎ 图T7-8‎ 11‎ 参考答案 ‎1.解:(1)证明:连接OD,‎ ‎∵AC是☉O的直径,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=45°,‎ ‎∴∠AOD=90°.‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴∠ODE=∠AOD=90°,‎ ‎∴DE是☉O的切线.‎ ‎(2)在Rt△ABC中,AB=2‎5‎,BC=‎5‎,‎ ‎∴AC=AB‎2‎+BC‎2‎=5,‎ ‎∴OD=‎5‎‎2‎.‎ 过点C作CG⊥DE,垂足为G,‎ 则四边形ODGC为正方形,‎ ‎∴DG=CG=OD=‎5‎‎2‎.‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴∠CEG=∠ACB,‎ 又∵∠ABC=∠CGE=90°,‎ 11‎ ‎∴△ABC∽△CGE,‎ ‎∴CGGE=ABBC,即‎5‎‎2‎GE=‎2‎‎5‎‎5‎,解得GE=‎5‎‎4‎,‎ ‎∴DE=DG+GE=‎15‎‎4‎.‎ ‎2.解:(1)CD是☉O的切线,理由如下:‎ 连接OD,则OD=OB,‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1,‎ ‎∴∠1=∠3,∴OD∥BC.‎ ‎∵∠C=90°,∴BC⊥CD,‎ ‎∴OD⊥CD,‎ ‎∴CD是☉O的切线.‎ ‎(2)∵∠CDB=60°,∠C=90°,‎ ‎∴∠2=∠1=∠3=30°,‎ ‎∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°.‎ ‎∵AB=6,∴OA=3,‎ ‎∴AD的长=‎60‎‎180‎×π×3=π.‎ ‎3.证明:(1)如图,连接OD,∵CD是☉O的切线,‎ ‎∴OD⊥CD,‎ ‎∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,‎ 11‎ 又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD,‎ ‎∴DE=OE.‎ ‎(2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE,‎ ‎∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°.‎ ‎∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,‎ 又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°,‎ ‎∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD.‎ 又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎∵∠DAE=‎1‎‎2‎∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE,‎ ‎∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎4.解:(1)如图,连接PF.‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=BC‎2‎-AB‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8.设AP=x,则DP=10-x,PF=x.∵☉P与边CD相切于点F,∴PF⊥CD.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.‎ 又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC,‎ ‎∴△DPF∽△DAC.‎ ‎∴PFAC=PDAD,即x‎8‎=‎10-x‎10‎.‎ 11‎ 解得x=‎40‎‎9‎,即AP=‎40‎‎9‎.‎ ‎(2)‎40‎‎9‎