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不等式(组)
一.选择题
1.（2018·湖北江汉·3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x＞
3，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集和已知得出关于 m 的不等式，再
求出解集即可．
【解答】解： ，
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞m﹣1，
又∵关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x＞3，
∴m﹣1≤3，
解得：m≤4，
故选：D．
2.（2018·四川省攀枝花·3 分）关于 x 的不等式﹣1＜x≤a 有 3 个正整数解，则 a 的取值
范围是 ．
解：∵不等式﹣1＜x≤a 有 3 个正整数解，∴这 3 个整数解为 1.2.3，则 3≤a＜4．
故答案为：3≤a＜4．
3．（2018·辽宁省阜新市）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，在数轴
上表示为 ．
故选 B．2
4. （2018•呼和浩特•3 分）若满足 ＜x≤1 的任意实数 x，都能使不等式 2x3﹣x2﹣mx＞2
成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
解：∵满足 ＜x≤1 的任意实数 x，都能使不等式 2x3﹣x2﹣mx＞2 成立，
∴m＜ ，
∴m≤﹣4
故选：D．
5．（2018·吉林长春·3 分）不等式 3x﹣6≥0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，
在数轴上表示为 ，故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集
是解此题的关键．
二.填空题
1．（2018·辽宁省沈阳市）（3.00 分）不等式组 的解集是 ﹣2≤x＜2 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．
【解答】解：解不等式 x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式 3x+6≥0，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故答案为：﹣2≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大
大小中间找，大大小小解不了．
2．（2018·辽宁省盘锦市）不等式组 的解集是 0＜x≤8 ．3
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x＞0，∴不等式组的解集为 0＜x≤8．
故答案为：0 ＜x≤8．
3. （2018•呼和浩特•3 分）若不等式组 的解集中的任意 x，都能使不等式x﹣5
＞0 成立，则 a 的取值范围是 ．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣2a，
解不等式②得：x＞﹣ a+2，
又∵不等式 x﹣5＞0 的解集是 x＞5，
∴﹣2a≥5 或﹣ a+2≥5，
解得：a≤﹣2.5 或 a≤﹣6，
经检验 a≤﹣2.5 不符合，
故答案为：a≤﹣6．
三.解答题
1. （2018·广西贺州·8 分）某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B
型自行车，其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍少 60 元．
（1）求 A.B 两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过 5.86 万元，但购进这批自行年的
总数不变，那么至多能购进 B 型车多少辆？
【解答】解：（1）设 A 型自行车的单价为 x 元/辆，B 型自行车的单价为 y 元/辆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：A 型自行车的单价为 260 元/辆，B 型自行车的单价为 1500 元/辆．
（2）设购进 B 型自行车 m 辆，则购进 A 型自行车（130﹣m）辆，
根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，
解得：m≤20．
答：至多能购进 B 型车 20 辆．4
2. （2018·广西梧州·8 分）解不等式组 ，并求出它的整数解，再化简代数
式 •（ ﹣ ），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最
后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．
【解答】解：解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3，
解不等式 ＜ ，得：x＞0，
则不等式组的解集为 0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为 1.2.3，
原式= •[ ﹣ ]
= •
= ，
∵x≠±3.1，
∴x=2，
则原式=1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是
解题关键．
3. （2018·湖北荆州·5 分）求不等式组 的整数解.
【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
∴不等式组的整数解为﹣1.0.
4.（2018·四川省攀枝花）攀枝花市出租车的收费标准是：起步价 5 元（即行驶距离不超过
2 千米都需付 5 元车费），超过 2 千米以后，每增加 1 千米，加收 1.8 元（不足 1 千米按 1
千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费 24.8 元．求该同学的家到学校的距离在什
么范围？
解：设该同学的家到学校的距离是 x 千米，依题意：5
24．8﹣1.8＜5+1.8（x﹣2）≤24.8，解得：12＜x≤13．
故该同学的家到学校的距离在大于 12 小于等于 13 的范围．
5.（2018·云南省昆明·8 分）（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政
策．若居民每户每月用水量不超过 10 立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现
行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过 10 立方米，则超过部
分每立方米在基本水价基础上加价 100%，每立方米污水处理费不变．甲用户 4 月份用水 8
立方米，缴水费 27.6 元；乙用户 4 月份用水 12 立方米，缴水费 46.3 元．（注：污水处理的
立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水多少立方
米？
【分析】（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元，然后根据等量
关系即可列出方程求出答案．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10），根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元
解得：
答：每立方米的基本水价是 2.45 元，每立方米的污水处理费是 1 元．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10）
10×2.45+（t﹣10）×4.9+t≤64
解得：t≤15
答：如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水 15 立方米
【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中
等题型．
6.（2018·云南省·8 分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查
研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发 A，B 两种商品，为科学决策，他们试生
产 A.B 两种商品 100 千克进行深入研究，已知现有甲种原料 293 千克，乙种原料 314 千克，
生产 1 千克 A 商品，1 千克 B 商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．
甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元）
A 商 3 2 1206
品
B 商
品
2.5 3.5 200
设生产 A 种商品 x 千克，生产 A.B 两种商品共 100 千克的总成本为 y 元，根据上述信息，解
答下列问题：
（1）求 y 与 x 的函数解析式（也称关系式），并直接写出 x 的取值范围；
（2）x 取何值时，总成本 y 最小？
【分析】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得
出答案；
（2）利用一次函数增减性进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y=120x+200（100﹣x）=﹣80x+20000，
，
解得：72≤x≤86；
（2）∵y=﹣80x+20000，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴x=86 时，y 最小，
则 y=﹣80×86+20000=13120（元）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的应用，正确利用表格获得正确信息是
解题关键．
7.（2018·浙江省台州·8 分）解不等式组：
【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
【解答】解：
解不等式①，得 x＜4，
解不等式②，得 x＞3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为 3＜x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
8．(2018·辽宁省葫芦岛市) 某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简7
易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建 1 个足球场和 1 个篮球场共需 8.5 万元，修建
2 个足球场和 4 个篮球场共需 27 万元．
（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？
（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共 20 个，投入资金不超过 90 万元，求至少可
以修建多少个足球场？
【解答】解：（1）设修建一个足球场 x 万元，一个篮球场 y 万元，根据题意可得：
，解得： ，答：修建一个足球场和一个篮球场各需 3.5 万元，5 万元；
（2）设足球场 y 个，则篮球场（20﹣y）个，根据题意可得 ：
3．5y+5（20﹣y）≤90，解得：y ，答：至少可以修建 6 个足球场．
9．（2018·辽宁省阜新市）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买
10 个篮球和 15 个足球共花费 3000 元，且购买一个篮球比购买一个足球多花 50 元．
（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共 10 个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足
球打八五折，若 此次购买两种球的总费用不超过 1050 元，则最多可购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设购买一个篮球需 x 元，购买一个足球需 y 元，根据题意可得：
，解得： ，答：购买一个篮球，一个足球各需 150 元，100 元；
（2）设购买 a 个篮球，根据题意可得：0.9×150a+0.85×100（10﹣a）≤1050，解得：
a≤4，答；最多可购买 4 个篮球．
10．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00 分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城
区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的
倍，甲队改造 360 米的道路比乙队改造同样长的道路少用 3 天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用 7 万元，乙队工作一天需付费用 5 万元，如需改造的道路全
长 1200 米，改造总费用不超过 145 万元，至少安排甲队工作多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度
为 x 米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造 360 米的道路比乙队改造同样
长的道路少用 3 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 天，根据总费用=甲队每天所需费用8
×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过 145 万元，即可得出关于 m 的
一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路
的长度为 x 米，
根据题意得： ﹣ =3，
解得：x=40，
经检验，x=40 是原分式方程的解，且符合题意，
∴ x= ×40=60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米．
（2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 天，
根据题意得：7m+5× ≤145，
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作 10 天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
11. （2018•乐山•9 分）解不等式组：
解： ．
∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为 0＜x＜6．
12. （2018•广安•3 分）已知点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点 P（1﹣a，2a+6）在第四象限，
∴ ，
解得 a＜﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取9
大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．（2018·辽宁大连·9 分）解不等式组：
解：
∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为 x≤﹣1．
14.（2018·湖北咸宁·10 分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和
生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次
活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，
就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金/（元/辆） 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2
名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车
总数为 辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有 16 名，学生有 284 名；（2）8；（3）共有 3 种租车方案，最节省费用
的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【解析】【分析】（1）设老师有 x 名，学生有 y 名，根据等量关系：若每位老师带 17 个学生，
还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生，列出二元一
次方程组，解出即可；
（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以
及汽车最多的是 42 座的可以确定出汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，由
此即可求出；
（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出 400x+300
（8﹣x）≤3100，得出 x 取值范围，分析得出即可．10
【详解】（1）设老师有 x 名，学生有 y 名，
依题意，列方程组为 ，
解得： ，
答：老师有 16 名，学生有 284 名；
（2）∵每辆客车上至少要有 2 名老师，
∴汽车总数不能大于 8 辆；
又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，
综合起来可知汽车总数为 8 辆，
故答案为：8；
（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过 3100 元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使 300 名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x 为整数），
∴共有 3 种租车方案：
方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2900 元；
方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3000 元；
方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3100 元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量
关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
15.（2018·江苏常州·8 分）解方程组和不等式组：
（2）
【分析】（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（2） ，
解不等式①得：x≥3；
解不等式②得：x≥﹣1，
所以不等式组的解集为：x≥3．11
16.（2018·江苏镇江·5 分）（2）解不等式组：
【解答】解：（2）解不等式 2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式 x+1≤4（x﹣2），得：x≥3，则不等式组的解集为x≥3．
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