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多边形与平行四边形
一.选择题
1.（2018·云南省曲靖·4 分）若一个正多边形的内角和为 720°，则这个正多边形的每一
个内角是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【解答】解：（n﹣2）×180°=720°，
∴n﹣2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为 720°÷6=120°．
故选：D．
2.（2018·云南省·4 分）一个五边形的内角和为（ ）
A．540° B．450° C．360° D．180°
【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【解答】解：解：根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°，
答：一个五边形的内角和是 540 度，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形内角和，关键是掌握内角和的计算公式．
3.（2018·浙江省台州·4 分）正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【分析】利用正十边形的外角和是 360 度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；
再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；
【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为 360÷10=36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°=144°；
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和
是 360 度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．
4.（2018·浙江省台州·4 分）如图，在▱ABCD 中，AB=2，BC=3．以点 C 为圆心，适当长为
半径画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点 Q，再分别以点 P，Q 为圆心，大于 PQ 的长为半径画
弧，两弧相交于点 N，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长是（ ）2
A． B．1 C． D．
【分析】只要证明 BE=BC 即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知 CF 是∠BCD 的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
5. （2018•呼和浩特•3 分）已知一个多边形的内角和为 1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180=1080，
解得 n=8．
∴这个多边形的边数是 8．
故选：B．
6. （ 2018• 呼 和 浩 特 •3 分 ） 顺 次 连 接 平 面 上 A.B.C.D 四 点 得 到 一 个 四 边 形 ， 从
①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD
是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5 种 B．4 种 C．3 种 D．1 种
解；当①③时，四边形 ABCD 为平行四边形；
当①④时，四边形 ABCD 为平行四边形；
当③④时，四边形 ABCD 为平行四边形；
故选：C．
7. （2018•广安•3 分）一个 n 边形的每一个内角等于 108°，那么 n= 5 ．
【分析】首先求得外角的度数，然后利用 360 度除以外角的度数即可求得．3
【解答】解：外角的度数是：180°﹣108°=72°，
则 n= =5，
故答案为：5．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行
正确运算、变形和数据处理．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉·3 分）若一个多边形的每个外角都等于 30°，则这个多边形的边数
为 12 ．
【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于 30°，
又∵多边形的外角和等于 360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
2. （2018·湖北十堰·3 分）如图，已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC=8，
BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为 14 ．
【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD 的周长=5+4+5=14，
故答案为 14．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四
边形的性质，属于中考基础题．
3. （2018•陕西•3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则 AFE 的度数
为________
【答案】72°
【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到 AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用
三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角
形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
【详解】∵五边形 ABCDE 为正五边形，4
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键
4. （2018•陕西•3 分）点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，AD＞AB，E.F 分别是 AB 边上的
点，且 EF＝ AB；G、H 分别是 BC 边上的点，且 GH＝ BC；若 S1,S2 分别表示∆EOF 和∆GOH 的
面积，则 S1,S2 之间的等量关系是______________
【答案】2S1＝3S2
【解析】【分析】过点 O 分别作 OM⊥BC，垂足为 M，作 ON⊥AB，垂足为 N，根据点 O 是平行
四边形 ABCD 的对称中心以及平行四边形的面积公式可得 AB•ON=BC•OM，再根据 S1= EF•ON，
S2= GH•OM，EF＝ AB，GH＝ BC，则可得到答案.
【详解】过点 O 分别作 OM⊥BC，垂足为 M，作 ON⊥AB，垂足为 N，
∵点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，
∴S 平行四边形 ABCD=AB•2ON， S 平行四边形 ABCD=BC•2OM，
∴AB•ON=BC•OM，
∵S1= EF•ON，S2= GH•OM，EF＝ AB，GH＝ BC，
∴S1= AB•ON，S2= BC•OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为：2S1＝3S2.
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准
确表示出图形面积是解题的关键.
5.（2018·江苏常州·2 分）如图，在▱ABCD 中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB= 40° ．5
【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，
故答案为 40°．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.（2018·吉林长春·3 分）如图，在▱ABCD 中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E 是边 BC 上
任意一点，沿 AE 剪开，将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边
形 AEFD 周长的最小值为 20 ．
【分析】当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°．
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形 AEFD 周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20
【点评】此题考查平移的性质，关键是根据当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小进行分
析．
三.解答题
1.（2018·广西梧州·6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条
直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用 ASA
求出△AOE≌△COF，即可得出答案．6
【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三
角形的判定方法是解题关键．
2.（2018·云南省曲靖）如图：在平行四边形 ABCD 的边 AB，CD 上截取 AF，CE，使得
AF=CE，连接 EF，点 M，N 是线段 EF 上两点，且 EM=FN，连接 AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF 的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
3.（2018·云南省·12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 是 BC 边
上的点，AF=AD+FC，平行四边形 ABCD 的面积为 S，由 A.E.F 三点确定的圆的周长为 t．
（1）若△ABE 的面积为 30，直接写出 S 的值；
（2）求证：AE 平分∠DAF；7
（3）若 AE=BE，AB=4，AD=5，求 t 的值．
【分析】（1）作 EG⊥AB 于点 G，由 S△ABE= ×AB×EG=30 得 AB•EG=60，即可得出答案；
（2）延长 AE 交 BC 延长线于点 H，先证△ADE≌△HCE 得 AD=HC.AE=HE 及 AD+FC=HC+FC，结
合 AF=AD+FC 得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE 即可得证；
（3）先证∠ABF=90°得出 AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此求得 FC
的长，从而得出 AF 的长度，再由 AE=HE.AF=FH 知 FE⊥AH，即 AF 是△AEF 的外接圆直径，从
而得出答案．
【解答】解：（1）如图，作 EG⊥AB 于点 G，
则 S△ABE= ×AB×EG=30，则 AB•EG=60，
∴平行四边形 ABCD 的面积为 60；
（2）延长 AE 交 BC 延长线于点 H，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，
∵E 为 CD 的中点，
∴CE=ED，
∴△ADE≌△HCE，
∴AD=HC.AE=HE，
∴AD+FC=HC+FC，
由 AF=AD+FC 和 FH=HC+FC 得 AF=FH，
∴∠FAE=∠CHE，
又∵∠DAE=∠CHE，
∴∠DAE=∠FAE，8
∴AE 平分∠DAF；
（3）连接 EF，
∵AE=BE.AE=HE，
∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，
∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，
由四边形 ABCD 是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC= ，
∴AF=FC+CH= ，
∵AE=HE.AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF 是△AEF 的外接圆直径，
∴△AEF 的外接圆的周长 t= π．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、矩形的判定与
性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、勾股定理等知识点．
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