2018年中考数学真题分类汇编（第三期）专题25矩形菱形与正方形试题（含解析）.doc

1 矩形菱形与正方形 一.选择题 1. （2018·广西贺州·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正 方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为 （　　） A．（ ）n﹣1 B．2n﹣1 C．（ ）n D．2n 【解答】解：第一个正方形的面积为 1=20， 第二个正方形的面积为（ ）2=2=21， 第三个正方形的边长为 22， … 第 n 个正方形的面积为 2n﹣1， 故选：B． 2. （2018·湖北十堰·3 分）菱形不具备的性质是（　　） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断； 【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相 等， 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题． 3. （2018·广西梧州·3 分）如图，在正方形 ABCD 中，A.B.C 三点的坐标分别是（﹣1， 2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（　　）2 A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 【分析】首先根据正方形的性质求出 D 点坐标，再将 D 点横坐标加上 3，纵坐标不变即 可． 【解答】解：∵在正方形 ABCD 中，A.B.C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3， 0）， ∴D（﹣3，2）， ∴将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（0，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单． 4. （2018·湖北江汉·3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点．将△ABG 沿 AG 对折至△AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG 中，根 据勾股定理即可求出 DE 的长． 【解答】解：∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°， 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中， ∵ ， ∴Rt△AFE≌Rt△ADE， ∴EF=DE， 设 DE=FE=x，则 EC=6﹣x． ∵G 为 BC 中点，BC=6， ∴CG=3，3 在 Rt△ECG 中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2， 解得 x=2． 则 DE=2． 故选：C． 5.（2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，连结 CP 并延长 CP 交 AD 于 Q 点．给出以下结论： ①四边形 AECF 为平行四边形； ②∠PBA=∠APQ； ③△FPC 为等腰三角形； ④△APB≌△EPC． 其中正确结论的个数为（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 解：①如图，EC，BP 交于点 G； ∵点 P 是点 B 关于直线 EC 的对称点，∴EC 垂直平分 BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB． ∵点 E 为 AB 中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA． ∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°， ∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC； ∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故①正确； ②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确； ③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE． ∵∠PFC 是钝角，当△BPC 是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF 不一定是等腰三角形，故③不正确； ④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）． ∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当 BP=AD 或△BPC 是等边三角形时，△APB≌△FDA， ∴△APB≌△EPC，故④不正确；4 其中正确结论有①②，2 个． 故选 B． 6.（2018·云南省曲靖·4 分）如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A 为圆心，适当长 为半径画弧，交 AB.AC 于点 M，N，分别以 M，N 为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两 弧交于点 H，连结 AH 并延长交 BC 于点 E，再分别以 A.E 为圆心，以大于 AE 长的一半为半径 画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB 于点 F，G，L，交 CB 的延长线于 点 K ， 连 接 GE ， 下 列 结 论 ： ①∠LKB=22.5° ， ②GE∥AB ， ③tan∠CGF= ， ④S△CGE ： S△CAB=1：4．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC= ∠BAD=45°， 由作图可知：AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=22.5°， ∵PQ 是 AE 的中垂线， ∴AE⊥PQ， ∴∠AOL=90°， ∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB， ∴∠LKB=∠BAE=22.5°； 故①正确；5 ②∵OG 是 AE 的中垂线， ∴AG=EG， ∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE， ∴EG∥AB， 故②正确； ③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°， ∴∠ALO=∠AGO， ∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO， ∴∠CGF=∠BLK， 在 Rt△BKL 中，tan∠CGF=tan∠BLK= ， 故③正确； ④连接 EL， ∵AL=AG=EG，EG∥AB， ∴四边形 ALEG 是菱形， ∴AL=EL=EG＞BL， ∴ ， ∵EG∥AB， ∴△CEG∽△CBA， ∴ = ， 故④不正确； 本题正确的是：①②③， 故选：A． 7.（2018·浙江省台州·4 分）下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，B 错误； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 正确； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判 断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8.（2018•莱芜•3 分）如图，在矩形 ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延 长线上，∠BFE=90°，连接 AF、CF，CF 与 AB 交于 G．有以下结论： ①AE=BC ②AF=CF ③BF2=FG•FC ④EG•AE=BG•AB 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①只要证明△ADE 为直角三角形即可 ②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可； ③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④由△ADF∽△GBF，可得 = = ，由 EG∥CD，推出 = = ，推出 = ，由 AD=AE，EG•AE=BG•AB，故④正确， 【解答】解：①DE 平分∠ADC，∠ADC 为直角， ∴∠ADE= ×90°=45°， ∴△ADE 为直角三角形 ∴AD=AE， 又∵四边形 ABCD 矩形， ∴AD=BC，7 ∴AE=BC ②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°， ∴△BFE 为等腰直角三角形， ∴则有 EF=BF 又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°， ∴∠AEF=∠CBF 在△AEF 和△CBF 中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF， ∴△AEF≌△CBF（SAS） ∴AF=CF ③假设 BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB， ∴∠FBG=∠FCB=45°， ∵∠ACF=45°， ∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，∠ AGF=∠BGC， ∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°， ∴△ADF∽△GBF， ∴ = = ， ∵EG∥CD， ∴ = = ， ∴ = ，∵AD=AE， ∴EG•AE=BG•AB，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. （2018•陕西•3 分） 如图，在菱形ABCD 中，点 E.F、G、H 分别是边 AB.BC.CD 和 DA 的中 点，连接 EF、FG、GH 和 HE．若 EH＝2EF，则下列结论正确的是8 A. AB＝ EF B. AB＝2EF C. AB＝ EF D. AB＝ EF 【答案】D 【解析】【分析】连接 AC.BD 交于点 O，由菱形的性质可得 OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，由中 位线定理可得 EH= BD，EF= AC，根据 EH=2EF，可得 OA=EF，OB=2EF，在 Rt△AOB 中，根据 勾股定理即可求得 AB= EF，由此即可得到答案. 【详解】连接 AC.BD 交于点 O， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD， ∵E.F、G、H 分别是边 AB.BC.CD 和 DA 的中点， ∴EH= BD，EF= AC， ∵EH=2EF， ∴OA=EF，OB=2OA=2EF， 在 Rt△AOB 中，AB= = EF， 故选 D. 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等，正确添加辅 助线是解决问题的关键. 10.（2018·辽宁大连·3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=5， AC=6，则 BD 的长是（　　）9 A．8　　　　　　B．7　　　　　　C．4　　　　　　D．3 解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD．在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，根 据勾股定理，得：OB= = =4，∴BD=2OB=8． 故选 A． 11.（2018·江苏常州·2 分）下列命题中，假命题是（　　） A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案． 【解答】解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题； B.三个角是直角的四边形是矩形，是真命题； C.四边相等的四边形是菱形，是真命题； D.有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；故选：A． 【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正 方形、平行四边形、菱形的判定解答． 二.填空题 1. （2018·广西贺州·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12，点 E 在边 AB 上，BE=8，过 点 E 作 EF∥BC，分别交 BD.CD 于 G、F 两点．若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ 的长 为　 　． 【解答】解：作 QM⊥EF 于点 M，作 PN⊥EF 于点 N，作 QH⊥PN 交 PN 的延长线于点 H，如右 图所示， ∵正方形 ABCD 的边长为 12，BE=8，EF∥BC，点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点， ∴DF=4，CF=8，EF=12， ∴MQ=4，PN=2，MF=6， ∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，10 ∴△EGB∽△FGD， ∴ ， 即 ， 解得，FG=4， ∴FN=2， ∴MN=6﹣2=4， ∴QH=4， ∵PH=PN+QM， ∴PH=6， ∴PQ= = ， 故答案为：2 ． 2.（2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足 S△PAB= S 矩形 ABCD，则点 P 到 A.B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为 ． 解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h． ∵S△PAB= S 矩形 ABCD，∴ AB•h= AB•AD，∴h= AD=2，∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距 离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是 所求的最短距离． 在 Rt△ABE 中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE= = =4 ，即 PA+PB 的最小值11 为 4 ． 故答案为：4 ． 3.（2018·浙江省台州·5 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 E，F 分别在 CD，AD 上， CE=DF，BE，CF 相交于点 G．若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则△BCG 的周长为　 +3　． 【分析】根据面积之比得出△BGC 的面积等于正方形面积的 ，进而依据△BCG 的面积以及 勾股定理，得出 BG+CG 的长，进而得出其周长． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3， ∴阴影部分的面积为 ×9=6， ∴空白部分的面积为 9﹣6=3， 由 CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG 的面积与四边形 DEGF 的面积相等，均为 ×3= ， 设 BG=a，CG=b，则 ab= ， 又∵a2+b2=32， ∴a2+2ab+b2=9+6=15， 即（a+b）2=15， ∴a+b= ，即 BG+CG= ， ∴△BCG 的周长= +3， 故答案为： +3． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时 注意数形结合思想与方程思想的应用．12 4．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2， 3），则点 C 的坐标为　（2，﹣3）　． 【解答】解：∵四边形 OABC 是菱形，∴A.C 关于直线 OB 对称． ∵A（2，3），∴C（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 5．（2018·辽宁省阜新市）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 中点，BD 和 CE 相交于点 F， 如果 DF=2，那么线段 BF 的长度为　4　． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴ = ． ∵点 E 为 AD 中点，∴DE= AD，∴DE = BC，∴ = ，∴BF=2DF=4． 故答案为：4． 6. （2018•呼和浩特•3 分）如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AM＜AB，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点 E 作 EH⊥AC，H 为垂足，则有以下结 论：①点 M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点 M 运动到何处，都有 DM= HM；③无论点 M 运动到何处，∠CHM 一定大于 135°．其中正确结论的序号为　 　． 解：由题可得，AM=BE， ∴AB=EM=AD， ∵四边形 ABCD 是正方形，EH⊥AC， ∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，13 ∴EH=AH， ∴△MEH≌△DAH（SAS）， ∴∠MHE=∠DHA，MH=DH， ∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM 是等腰直角三角形， ∴DM= HM，故②正确； 当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°， ∴∠ADM=45°﹣15°=30°， ∴Rt△ADM 中，DM=2AM， 即 DM=2BE，故①正确； ∵点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC=45°， ∴∠CHM＞135°，故③正确； 故答案为：①②③． 7. （2018•乐山•3 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AE=AC，连结 CE， 则∠BCE 的度数是 度． 解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE 中，AC=AE，则： ∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 故答案为：22.5． 8.（2018•莱芜•4 分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四 个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和 2，则图中阴影部分的面积 是　2　．14 【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩 形的面积，从而求得图中阴影部分的面积． 【解答】解：设正三角形的边长为 a，则 a2× =2 ， 解得 a=2 ． 则图中阴影部分的面积=2 × ﹣2=2． 故答案是：2． 【点评】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩 形的长和宽． 9. （2018·湖北咸宁·3 分）如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点， 点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为_____． 【答案】（﹣1，5） 【解析】【分析】结合全等三角形的性质可以求得点 G 的坐标，再由正方形的中心对称的性 质求得点 F 的坐标． 【详解】如图，过点 E 作 x 轴的垂线 EH，垂足为 H．过点 G 作 x 轴的垂线 EG，垂足为 G，连 接 GE.FO 交于点 O′， ∵四边形 OEFG 是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH， 在△OGM 与△EOH 中， ， ∴△OGM≌△EOH（ASA），∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2），∴O′（﹣， ），15 ∵点 F 与点 O 关于点 O′对称，∴点 F 的坐标为 （﹣1，5），故答案是：（﹣1， 5）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加 辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键. 10.（2018·江苏镇江·2 分）如图，点 E.F、G 分别在菱形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AE= AB，CF= CB，AG= AD．已知△EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于　27　． 【解答】解：在 CD 上截取一点 H，使得 CH= CD．连接 AC 交 BD 于 O，BD 交 EF 于 Q，EG 交 AC 于 P． ∵ = ，∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD， ∴EG∥FH，同法可证 EF∥GF，∴四边形 EFGH 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∴EF⊥EG， ∴四边形 EFGH 是矩形，易证点 O 在线段 FG 上，四边形 EQOP 是矩形， ∵S△EFG=6，∴S 矩形 EQOP=3，即 OP•OQ=3， ∵OP：OA=BE：AB=2：3，∴OA= OP，同法可证 OB=3OQ，16 ∴S 菱形 ABCD= •AC•BD= ×3OP×6OQ=9OP×OQ=27．故答案为 27． 三.解答题 1.（2018·广西贺州·8 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，O、D 分别是边 AC.AB 的中点， 过点 C 作 CE∥AB 交 DO 的延长线于点 E，连接 AE． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若四边形 AECD 的面积为 24，tan∠BAC= ，求 BC 的长． 【解答】（1）证明：∵点 O 是 AC 中点， ∴OA=OC， ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， 在△AOD 和△COE 中， ， ∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴AD=CE， ∵CE∥AB， ∴四边形 AECD 是平行四边形， 又∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴CD=AD， ∴四边形 AECD 是菱形； （2）由（1）知，四边形 AECD 是菱形， ∴AC⊥ED， 在 Rt△AOD 中，tan∠DAO= ， 设 OD=3x，OA=4x， 则 ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得： ，17 解得：x=1， ∴OD=3， ∵O，D 分别是 AC，AB 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴BC=2OD=6． 2. （2018·湖北荆州·8 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 MN， 将纸片展平；再一次折叠，使点 D 落到 MN 上的点 F 处，折痕 AP 交 MN 于 E；延长 PF 交 AB 于 G．求证： （1）△AFG≌△AFP； （2）△APG 为等边三角形． 【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N 分别为 AD.BC 的中点， ∵DC∥MN∥AB， ∴F 为 PG 的中点，即 PF=GF， 由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2， 在△AFP 和△AFG 中， ， ∴△AFP≌△AFG（SAS）； （2）∵△AFP≌△AFG， ∴AP=AG， ∵AF⊥PG， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°， ∴△APG 为等边三角形． 3. （2018·湖北十堰·10 分）已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM， EM． （1）如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与位置关系，18 并直接写出结论； （2）如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你 的结论； （3）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若 AB=13， CE=5，请画出图形，并直接写出 MF 的长． 【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．只要证明△AMH≌△FME，推出 MH=ME，AH=EF=EC，推 出 DH=DE，因为∠EDH=90°，可得 DM⊥EM，DM=ME； （2）结论不变，证明方法类似； （3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可； 【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM． 理由：如图 1 中，延长 EM 交 AD 于 H． ∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE， ∵AM=MF，∠AMH=∠FME， ∴△AMH≌△FME， ∴MH=ME，AH=EF=EC， ∴DH=DE， ∵∠EDH=90°， ∴DM⊥EM，DM=ME． （2）如图 2 中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．19 理由：如图 2 中，延长 EM 交 DA 的延长线于 H． ∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形， ∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH=∠MFE， ∵AM=MF，∠AMH=∠FME， ∴△AMH≌△FME， ∴MH=ME，AH=EF=EC， ∴DH=DE， ∵∠EDH=90°， ∴DM⊥EM，DM=ME． （3）如图 3 中，作 MR⊥DE 于 R． 在 Rt△CDE 中，DE= =12， ∵DM=NE，DM⊥ME， ∴MR=⊥DE，MR= DE=6，DR=RE=6， 在 Rt△FMR 中，FM= = = 如图 4 中，作 MR⊥DE 于 R．20 在 Rt△MRF 中，FM= = ， 故满足条件的 MF 的值为 或 ． 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的 性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键． 4.（2018·四川省攀枝花）已知△ABC 中，∠A=90°． （1）请在图 1 中作出 BC 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图 2，设 BC 边上的中线为 AD，求证：BC=2AD． （1）解：如图 1，AD 为所作； （2）证明：延长 AD 到 E，使 ED=AD，连接 EB.EC，如图 2． ∵CD=BD，AD=ED，∴四边形 ABEC 为平行四边形． ∵∠CAB=90°，∴四边形 ABEC 为矩形，∴AE=BC，∴BC=2AD． 5.（2018·云南省昆明·12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，P 为 CD 边上一点（DP＜CP）， ∠APB=90°．将△ADP 沿 AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边 AB 于点 M，过点 B 作 BN∥MP 交 DC 于点 N． （1）求证：AD2=DP•PC； （2）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由； （3）如图 2，连接 AC，分别交 PM，PB 于点 E，F．若 = ，求 的值．21 【分析】（1 ）过点 P 作 PG⊥AB 于点 G ，易知四边形 DPGA ，四边形 PCBG 是矩形，所以 AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以 PG2=AG•GB，即 AD2=DP•PC； （2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于 ∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知 PM=MB=AM，又易证四边形 PMBN 是 平行四边形，所以四边形 PMBN 是菱形； （3）由于 = ，可设 DP=1，AD=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，从而求出 GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于 CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得∴ ， ，从而可求出EF=AF﹣AE= AC﹣ = AC，从而可得 = = ． 【解答】解：（1）过点 P 作 PG⊥AB 于点 G， ∴易知四边形 DPGA，四边形 PCBG 是矩形， ∴AD=PG，DP=AG，GB=PC ∵∠APB=90°， ∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°， ∴∠APG=∠PBG， ∴△APG∽△PBG， ∴ ， ∴PG2=AG•GB， 即 AD2=DP•PC； （2）∵DP∥AB， ∴∠DPA=∠PAM， 由题意可知：∠DPA=∠APM， ∴∠PAM=∠APM， ∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM， 即∠ABP=∠MPB ∴AM=PM，PM=MB， ∴PM=MB， 又易证四边形 PMBN 是平行四边形， ∴四边形 PMBN 是菱形； （3）由于 = ， 可设 DP=1，AD=2，22 由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2， ∵PG2=AG•GB， ∴4=1•GB， ∴GB=PC=4， AB=AG+GB=5， ∵CP∥AB， ∴△PCF∽△BAF， ∴ = = ， ∴ ， 又易证：△PCE∽△MAE，AM= AB= ∴ = = = ∴ ， ∴EF=AF﹣AE= AC﹣ = AC， ∴ = = 【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直 角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识． 6．（2018·辽宁省沈阳市）（8.00 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O．过 点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E． （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）若 CE=1，DE=2，ABCD 的面积是　4　．23 【分析】（1）欲证明四边形 OCED 是矩形，只需推知四边形 OCED 是平行四边形，且有一内角 为 90 度即可； （2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四边形 OCED 是平行四边形， 又∠COD=90°， ∴平行四边形 OCED 是矩形； （2）由（1）知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2， ∴菱形 ABCD 的面积为： AC•BD= ×4×2=4． 故答案是：4． 【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形 是平行四边形，然后证明有一内角为直角． 7．（2018·重庆市 B 卷）（10.00 分）如图，在▱ABCD 中，∠ACB=45°，点 E 在对角线 AC 上， BE=BA，BF⊥AC 于点 F，BF 的延长线交 AD 于点 G．点 H 在 BC 的延长线上，且 CH=AG，连接 EH． （1）若 BC=12 ，AB=13，求 AF 的长； （2）求证：EB=EH．24 【分析】（1）依据 BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12 ，可得等腰 Rt△BCF 中，BF=sin45°×BC=12， 再根据勾股定理，即可得到 Rt△ABF 中，AF= =5； （2）连接 GE，过 A 作 AF⊥AG，交 BG 于 P，连接 PE，判定四边形 APEG 是正方形，即可得到 PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据 AB=EH，AB=BE，即可得到 BE=EH． 【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12 ， ∴等腰 Rt△BCF 中，BF=sin45°×BC=12， 又∵AB=13， ∴Rt△ABF 中，AF= =5； （2）如图，连接 GE，过 A 作 AF⊥AG，交 BG 于 P，连接 PE， ∵BE=BA，BF⊥AC， ∴AF=FE， ∴BG 是 AE 的垂直平分线， ∴AG=EG，AP=EP， ∵∠GAE=∠ACB=45°， ∴△AGE 是等腰直角三角形，即∠AGE=90°， △APE 是等腰直角三角形，即∠APE=90°， ∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°， 又∵AG=EG， ∴四边形 APEG 是正方形， ∴PF=EF，AP=AG=CH， 又∵BF=CF， ∴BP=CE， ∵∠APG=45°=∠BCF， ∴∠APB=∠HCE=135°， ∴△APB≌△HCE（SAS）， ∴AB=EH， 又∵AB=BE， ∴BE=EH．25 【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用， 解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平 分． 8. （2018•呼和浩特•6 分）如图，已知 A.F、C.D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE， 且 AB=DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度． （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+FC， 即 AC=DF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF． （2）如图，连接 AB 交 AD 于 O． 在 Rt△EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4， ∴DF= =5， ∵四边形 EFBC 是菱形， ∴BE⊥CF，'∴EO= = ，26 ∴OF=OC= = ， ∴CF= ， ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = ． 9. （2018•广安•6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，M 为 BC 上一点，连接 AM，延长 AD 至 点 E，使得 AE=AM，过点 E 作 EF⊥AM，垂足为 F，求证：AB=EF． 【分析】根据 AAS 证明△ABM≌△EFA，可得结论． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=90°，AD∥BC，（2 分） ∴∠EAF=∠BMA， ∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°=∠B，（4 分） 在△ABM 和△EFA 中， ∵ ， ∴△ABM≌△EFA（AAS），（5 分） ∴AB=EF．（6 分） 【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定 是关键． 10. （2018•陕西•7 分）如图，已知在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一定点，连接 AM，请用 尺规作图法，在 AM 上求作一点 P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 【答案】作图见解析. 【解析】【分析】根据尺规作图的方法过点 D 作 AM 的垂线即可得27 【详解】如图所示，点 P 即为所求作的点. 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键. 如图，AB∥CD，E.F 分别为 AB.CD 上的点，且 EC∥BF，连接 AD，分别与 EC.BF 相交与点 G、 H，若 AB＝CD，求证：AG＝DH． 【答案】证明见解析. 【解析】【分析】利用 AAS 先证明∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形的性质可得 AH=DG，再根据 AH ＝AG＋GH，DG＝DH＋GH 即可证得 AG＝HD. 【详解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D， ∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC， 在∆ABH 和∆DCG 中， ， ∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG， ∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性 质是解题的关键.