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锐角三角函数与特殊角
一.选择题
1.（2018·云南省·4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A 的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A 的正切值为 = =3，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关
键．
2. （2018•陕西•3 分）如图，在△ABC 中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂
足为 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】【分析】由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边 AC=8 可得 AD=4 ，在
Rt△ABD 中，由∠B=60°，可得 BD= = ，再由 BE 平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而
可求得 DE 长，再根据 AE=AD-DE 即可
【详解】∵AD⊥BC，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4 ，
在 Rt△ABD 中，∠B=60°，∴BD= = = ，2
∵BE 平分∠ABC，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°= = ，
∴AE=AD-DE= ，
故选 C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关
系是解题的关键.
二.填空题
1．（2018·辽宁省阜新市）如图，在点 B 处测得塔顶 A 的仰角为 30°，点 B 到塔底 C 的水
平距离 BC 是 30m，那么塔 AC 的高度为 10 m（结果保留根号）．
【解答】解：∵在点 B 处测得塔顶 A 的仰角为 30°，∴∠B=30°．
∵BC=30m，∴AC= m．
故答案为：10 ．
2. （2018•莱芜•4 分）计算：（π﹣3.14）0+2cos60°= 2 ．
【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式=1+2× =1+1=2，
故答案为：2
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三.解答题
1. （2018·湖北荆州·10 分）问题：已知α、β 均为锐角，tanα= ，tanβ= ，求 α+β
的度数．
探究：（1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1），请借助
这个网格图求出 α+β 的度数；
延伸：（2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求 的弧长．3
【解答】解：（1）连结 AM、MH，则∠MHP=∠α．
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即 α+β=45°．
（2）由勾股定理可知 MH= = ．
∵∠MHR=45°，
∴ = = ．
2．（2018·辽宁省阜新市）（1）计算：（ ）﹣2+ ﹣2cos45°；
【解答】解：（1）原式=4+3 ﹣2×
=4+3 ﹣
=4+2
3. （2018•广安•9 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点
C，CG 是⊙O 的弦，CG⊥AB，垂足为 D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点 A 作 AE∥PC 交⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cos∠P= ，CF=10，求 BE
的长4
【分析】（1）连接半径 OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，
所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；
（2）本题介绍两种解法：
方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则 AF=CF=10，根据 cos∠P=cos∠FAD= ，可得 AD=8，FD=6，
得 CD=CF+FD=16，设 OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得 r 的值，再由三角函数 cos∠
EAB= ，可得 AE 的长，从而计算 BE 的长；
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，
同理利用三角函数求得：CH=8，并设 AO=5x，AH=4x，表示 OH=3x，OC=3x﹣8，由 OC=OA 列式
可得 x 的值，最后同理得结论．
【解答】证明：（1）连接 OC，交 AE 于 H，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，（1 分）
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，（2 分）
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，（3 分）
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；（4 分）
（2）方法一：∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，（5 分）
∵∠ABC=∠PCA，5
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，（6 分）
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD= ，
在 Rt△AFD 中，cos∠FAD= ，AF=10，
∴AD=8，（7 分）
∴FD= =6，
∴CD=CF+FD=16，
在 Rt△OCD 中，设 OC=r，OD=r﹣8，
r2=（r﹣8）2+162，
r=20，
∴AB=2r=40，（8 分）
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°，
在 Rt△AEB 中，cos∠EAB= ，AB=40，
∴AE=32，
∴BE= =24．（9 分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5 分），
∴∠EAO+∠COA=90°，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90°，
∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6 分）
在 Rt△CFH 中，cos∠HCF= ，CF=10，
∴CH=8，（7 分）
在 Rt△OHA 中，cos∠OAH= ，设 AO=5x，AH=4x，
∴OH=3x，OC=3x+8，
由 OC=OA 得：3x+8=5x，x=4，
∴AO=20，6
∴AB=40，（8 分）
在 Rt△ABE 中，cos∠EAB= ，AB=40，
∴AE=32，
∴BE= =24．（9 分）
【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接 OC
构造直角三角形是解题的关键．
4.（2018·江苏常州·6 分）计算：|﹣1|﹣ ﹣（1﹣ ）0+4sin30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式=1﹣2﹣1+4× =1﹣2﹣1+2=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
5.（2018·江苏镇江·4 分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°
【解答】解：（1）原式= +1﹣ =1；
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