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点直线与圆的位置关系
一.选择题
1．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）如图，△ABC 中，∠A=30°，点 O 是边 AB 上一点，以点
O 为圆心，以 OB 为半径作圆，⊙O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD．若 BD 平分∠ABC，
AD=2 ，则线段 CD 的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】连接 OD，得 Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2 ，可求出 OD.AO 的长；由 BD 平分∠
ABC，OB=OD 可得
OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
【解答】解：连接 OD
∵OD 是⊙O 的半径，AC 是⊙O 的切线，点 D 是切点，
∴OD⊥AC
在 Rt△AOD 中，∵∠A=30°，AD=2 ，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD 平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
∴
即
∴CD= ．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、含 30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比2
例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得 AC 的长，再求 CD．遇切
点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
2. （2018•广安•3 分）下列命题中：
①如果 a＞b，那么 a2＞b2
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
④关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a≤1
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断
得出答案．
【解答】解：①如果 a＞b，那么 a2＞b2，错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；
④关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a≤1 且 a≠0，故此选
项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
3.（2018·江苏常州·2 分）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为 N，如果∠
MNB=52°，则∠NOA 的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性
质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA 的度数．
【解答】解：∵MN 是⊙O 的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，
∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定
理．
二.填空题
1.（2018·浙江省台州·5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切3
线交 AB 的延长线于点 D．若∠A=32°，则∠D= 26 度．
【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接 OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD 为⊙O 的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠COD=26°，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解
题的关键．
三.解答题
1. （2018·广西贺州·10 分）如图，AB 是⊙O 的弦，过 AB 的中点 E 作 EC⊥OA，垂足为 C，
过点 B 作直线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使得 DB=DE．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=12，DB=5，求△AOB 的面积．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，
∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°，4
∵OB 是圆的半径，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 OE，
∵点 E 是 AB 的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF= =4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴ ，
即 ，得 EO=4.5，
∴△AOB 的面积是： =27．
2. （2018·广西梧州·10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC
上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的延长线于点
D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．5
【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB.GH 和 CD 的数
量关系，求得 CD．
【解答】（1）证明：∵BC 为⊙M 切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB 是⊙M 的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H
∵MB=BE=1
∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法
AB•BE=BG•AE
∴BG=
由勾股定理：
AG= ，GE=
∵GH∥AB
∴
∴6
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理： ②
①+②，得
∴
∴CD=
【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注
意根据条件构造相似三角形．
3. （2018·湖北江汉·8 分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC 延长线上一点
G，作 GD⊥AO 于点 D，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM．
（1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求 MF 的长．
【分析】（1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质
得 MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线
与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为⊙O 的切线；
（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出
CE，再计算出 EF，然后计算 ME﹣EF 即可．
【解答】解：（1）CM 与⊙O 相切．理由如下：
连接 OC，如图，
∵GD⊥AO 于点 D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB 为直径，7
∴∠ACB=90°，
∵M 点为 GE 的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM 为⊙O 的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
4.（2018·湖北十堰·8 分）如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交
AC 于点 E，过点 D 作 FG⊥AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证：FG 是⊙O 的切线；8
（2）若 tanC=2，求 的值．
【分析】（1）欲证明 FG 是⊙O 的切线，只要证明 OD⊥FG；
（2）由△GDB∽△GAD，设 BG=a．可得 = = = ，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决
问题；
【解答】（1）证明：连接 AD.OD．
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴FG 是⊙O 的切线．
（2）解：∵tanC= =2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，9
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设 BG=a．
∴ = = = ，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周
角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似
三角形解决问题，属于中考常考题型．
5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC.AC 交
于点 D.E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．
（1）若⊙O 的半径为 3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线；
（3）求证：∠EDF=∠DAC．
（1）解：
连接 OE，过 O 作 OM⊥AC 于 M，则∠AMO=90°．
∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．
∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM= OA= = ，AM=
OM= ．
∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3 ，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴阴影部分的面积 S=S 扇形 AOE﹣S△AOE= ﹣ =3π﹣ ；10
（2）证明：连接 OD，
∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．
∵OD 过 O，∴DF 是⊙O 的切线；
（3）证明：连接 BE，
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．
∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．
∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．
∵A.B.D.E 四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．
∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．
∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．
6.（2018·云南省昆明·8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，
∠AC 平分∠BAD，连接 BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若 CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．
【分析】（1）连接 OC，如图，先证明 OC∥AD，然后利用切线的性质得 OC⊥DE，从而得到
AD⊥ED；
（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形 CDFH 为矩形得
到 FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而
得到⊙O 的半径．11
【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED 切⊙O 于点 C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
（2）解：OC 交 BF 于 H，如图，
∵AB 为直径，
∴∠AFB=90°，
易得四边形 CDFH 为矩形，
∴FH=CD=4，∠CHF=90°，
∴OH⊥BF，
∴BH=FH=4，
∴BF=8，
在 Rt△ABF 中，AB= = =2 ，
∴⊙O 的半径为 ．
【点评】本题考查 了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必
连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
7.（2018·云南省曲靖）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC 翻
折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切线与线段 BA 的延
长线交于点 P，连接 AD，在 PB 的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断 PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 PC= ，求四边形 OCDB 的面积．12
【解答】解：（1）PM 与⊙O 相切．
理由如下：
连接 DO 并延长交 PM 于 E，如图，
∵弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形 OBDC 为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD 和△OBD 都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE= OP，
∵PC 为⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC= OP，
∴OE=OC，
而 OE⊥PC，
∴PM 是⊙O 的切线；
（2）在 Rt△OPC 中，OC= PC= × =1，
∴四边形 OCDB 的面积=2S△OCD=2× ×12= ．13
8.（2018·云南省·9 分）如图，已知 AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延长
线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OC，易证∠BCD=∠OCA，由于 AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=
∠BCD+∠OCB=90°，CD 是⊙O 的切线
（2）设⊙O 的半径为 r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出 r=2，∠
AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2 ，分别计算△OAC 的面积以及扇形 OAC 的面积
即可求出影响部分面积
【解答】解：（1）连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC 是半径，
∴CD 是⊙O 的切线
（2）设⊙O 的半径为 r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，14
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2
易求 S△AOC= ×2 ×1=
S 扇形 OAC= =
∴阴影部分面积为 ﹣
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含 30 度的直角三角形的
性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00 分）如图，BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，
过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C 的度数；
（2）若 AB=AC，CE=2，求⊙O 半径的长．
【分析】（1）连接 OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）连接 OA，
∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，15
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵ ，∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA= OC，
设⊙O 的半径为 r，
∵CE=2，
∴r= ，
解得：r=2，
∴⊙O 的半径为 2．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D 在线段 AB 上，以 AD 为
直径的⊙O 与 BC 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=3，求⊙O 的半径 r；
（3）在（1）的条件下，判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理
由．16
【解答】解：（1）如图 1，连接 OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．
∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE 中，∠B=30°，∴∠
OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．
∵点 E 在⊙O 上，∴BC 是⊙O 的切线；
（2）如图 2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE 中，AC=3，sin∠AEC=
，∴AE = = =2 ，连接 DE\1AD 是⊙O 的直径，∴∠AED=90°．在
Rt△ADE 中，∠BAE=30°，cos∠DAE= ，∴AD= = =4，∴⊙O 的半径 r=
AD=2；
（3）以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图 3．在 Rt△ABC 中，∠B=30°，∴∠
BAC=60°，连接 OF，∴OA=OF，∴△AOF 是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接 EF，
OE，∴OE=OF．
∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．
∵OE=OF，∴△OEF 是等边三角形，∴OE=EF．
∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形 OAFE 是菱形．17
11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB 是⊙O 的直径， = ，E 是 OB 的中点，连接 CE
并延长到点 F，使 EF=CE．连接 AF 交⊙O 于点 D，连接 BD，BF．
（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；
（2）若 OB=2，求 BD 的长．
【解答】（1）证明：连接 OC．
∵AB 是⊙O 的直径， = ，∴∠BOC=90°．
∵E 是 OB 的中点，∴OE=BE．在△OCE 和△BFE 中．
∵ ，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线 BF 是⊙O 的切
线；
（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF= =
=2 ，∴S△ABF= ，4×2=2 •BD，∴BD= ．18
12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00 分）如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作⊙
O，点 D 为⊙O 上一点，且 CD=CB.连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E．
（1）判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 BE=4，DE=8，求 AC 的长．
【分析】（1）欲证明 CD 是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O 的半径为 r．在 Rt△OBE 中，根据 OE 2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出
r=3，由 tan∠E= = ，推出 = ，可得 CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接 OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC 是⊙O 的切线．19
（2）解：设⊙O 的半径为 r．
在 Rt△OBE 中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，
∵tan∠E= = ，
∴ = ，
∴CD=BC=6，
在 Rt△ABC 中，AC= = =6 ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
13. （2018•呼和浩特•10 分）如图，已知 BC⊥AC，圆心 O 在 AC 上，点 M 与点 C 分别是 AC
与⊙O 的交点，点 D 是 MB 与⊙O 的交点，点 P 是 AD 延长线与 BC 的交点，且 = ．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若 AD=12，AM=MC，求 的值．
（1）证明：连接 OD.OP、CD．
∵ = ，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，20
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD 是⊙O 的切线．
（2）连接 CD．由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在 Rt△AOD 中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3 ，
∴OD=3 ，MC=6 ，
∵ = = ，
∴DP=6，
∵O 是 MC 的中点，
∴ = = ，
∴点 P 是 BC 的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在 Rt△BCM 中，∵BC=2DP=12，MC=6 ，
∴BM=6 ，
∵△BCM∽△CDM，
∴ = ，即 = ，
∴MD=2 ，
∴ = = ．21
14. （2018•乐山•10 分）如图，P 是⊙O 外的一点，PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，
PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ=2，求 的值．
（1）证明：∵PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，∴PA=PB，且 PO 平分∠BPA，∴PO⊥
AB．
∵BC 是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；
（2）解：连结 OA.DF，如图，
∵PA.PB 是⊙O 的两条切线，A.B 是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在 Rt△OAQ 中，OA=OC=3，∴OQ=5．
由 QA2+OA2=OQ2，得 QA=4．
在 Rt△PBQ 中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由 QB2+PB2=PQ2，得 82+PB2=（PB+4）2，解得 PB=6，∴
PA=PB=6．
∵OP⊥AB，∴BF=AF= AB．
又∵D 为 PB 的中点，∴DF∥AP，DF= PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ = = ，设 AE=4t，
FE=3t，则 AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ = = ．22
15.（2018•广安•9 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点
C，CG 是⊙O 的弦，CG⊥AB，垂足为 D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点 A 作 AE∥PC 交⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 cos∠P= ，CF=10，求 BE
的长
【分析】（1）连接半径 OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，
所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；
（2）本题介绍两种解法：
方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则 AF=CF=10，根据 cos∠P=cos∠FAD= ，可得 AD=8，FD=6，
得 CD=CF+FD=16，设 OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得 r 的值，再由三角函数 cos∠
EAB= ，可得 AE 的长，从而计算 BE 的长；
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，
同理利用三角函数求得：CH=8，并设 AO=5x，AH=4x，表示 OH=3x，OC=3x﹣8，由 OC=OA 列式
可得 x 的值，最后同理得结论．
【解答】证明：（1）连接 OC，交 AE 于 H，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，（1 分）
∵AB 是⊙O 的直径，23
∴∠ACB=90°，（2 分）
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，（3 分）
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；（4 分）
（2）方法一：∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，（5 分）
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，（6 分）
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD= ，
在 Rt△AFD 中，cos∠FAD= ，AF=10，
∴AD=8，（7 分）
∴FD= =6，
∴CD=CF+FD=16，
在 Rt△OCD 中，设 OC=r，OD=r﹣8，
r2=（r﹣8）2+162，
r=20，
∴AB=2r=40，（8 分）
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°，
在 Rt△AEB 中，cos∠EAB= ，AB=40，
∴AE=32，
∴BE= =24．（9 分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5 分），24
∴∠EAO+∠COA=90°，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90°，
∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6 分）
在 Rt△CFH 中，cos∠HCF= ，CF=10，
∴CH=8，（7 分）
在 Rt△OHA 中，cos∠OAH= ，设 AO=5x，AH=4x，
∴OH=3x，OC=3x+8，
由 OC=OA 得：3x+8=5x，x=4，
∴AO=20，
∴AB=40，（8 分）
在 Rt△ABE 中，cos∠EAB= ，AB=40，
∴AE=32，
∴BE= =24．（9 分）
【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接 OC
构造直角三角形是解题的关键．
16. （2018•莱芜•10 分）如图，已知 A.B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一
点 C，CD⊥AB 交 AB 的延长线于 D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）E 为 的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tan∠AFE= ，BE=BG，EG=3 ，
求⊙O 的半径．25
【分析】（1）连接 OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD 得到 OC∥AD，再利用 CD⊥AB 得到 OC⊥
CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=
∠AFE，在 Rt△BEH 中利用正切可设 EH=3x，BH=4x，则 BE=5x，所以 BG=BE=5x，GH=x，接着
在 Rt△EHG 中利用勾股定理得到 x2+（3x）2=（3 ）2，解方程得 x=3，接下来设⊙O 的半
径为 r，然后在 Rt△OHB 中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于 r 的方程
即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵BC 平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而 CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，
∵E 为 的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE= ，
∴在 Rt△BEH 中，tan∠HBE= =
设 EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在 Rt△EHG 中，x2+（3x）2=（3 ）2，解得 x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O 的半径为 r，则 OH=r﹣9，
在 Rt△OHB 中，（r﹣9）2+122=r2，解得 r= ，26
即⊙O 的半径为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆
心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、
垂径定理和解直角三角形．
19. （2018•陕西•10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直
径作⊙O，分别与 AC.BC 相交于点 M、N．
(1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证：NE⊥AB；
(2)连接 MD，求证：MD＝NB．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）如图，连接 ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得 AD＝CD
＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出 ON∥AB，再结合 NE 是⊙O
的切线，ON//AB，继而可得到结论；
（2）如图，由（1）可知 ON∥AB，继而可得 N 为 BC 中点，根据圆周角定理可知∠
CMD＝90°，继而可得 MD∥CB，再由 D 是 AB 的中点，根据得到 MD＝NB．
【详解】（1）如图，连接 ON，
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴AD＝CD＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠DBC，
∴ON∥AB，
∵NE 是⊙O 的切线，ON 是⊙O 的半径，
∴∠ONE＝90°，27
∴∠NEB＝90°，即 NE⊥AB；
（2）如图所示，由（1）可知 ON∥AB，
∵OC＝OD，∴
∴CN＝NB＝ CB，
又∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CMD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，
又∵D 是 AB 的中点，∴MD＝ CB，
∴MD＝NB．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助
线、熟练应用相关知识是解题的关键.
20. （2018·湖北咸宁·10 分）如图，以△ABC 的边 AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，
∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=25，BC= ，求 DE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE= ．
【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出 DE 是⊙O 的切线；
（2）首先过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，则四边形 ODGC 为正方形，得出
tan∠CEG=tan∠ACB， ，即可求出答案．
【详解】（1）如图，连接 OD，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，28
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）在 Rt△ABC 中，AB=2 ，BC= ，
∴AC= =5，
∴OD= ，
过点 C 作 CG⊥DE，垂足为 G，
则四边形 ODGC 为正方形，
∴DG=CG=OD= ，
∵DE∥AC，
∴∠CEG=∠ACB，
∴tan∠CEG=tan∠ACB，
∴ ，即 ，
解得：GE= ，
∴DE=DG+GE= ．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加
辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.
21.（2018·辽宁大连·10 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD=90°，点 E 在 BC 的
延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AC∥DE，当 AB=8，CE=2 时，求 AC 的长．29
解：（1）如图，连接 BD．∵∠BAD=90°，∴点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，∴∠
BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点 D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF= AC．
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴ ，∴ ，∴CD=4．在 Rt△BCD 中，
BD= =4
同理：△CFD∽△BCD，∴ ，∴ ，∴CF= ，∴AC=2AF= ．
22.（2018·吉林长春·7 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，BC 交⊙O 于点
D．已知⊙O 的半径为 6，∠C=40°．
（1）求∠B 的度数．
（2）求 的长．（结果保留π）30
【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：（1）∵AC 切⊙O 于点 A，
∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=50°；
（2）连接 OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOD=2∠B=100°，
∴ 的长为 = π．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行
推理和计算是解此题的关键．
23.（2018·江苏镇江·8 分）如图 1，平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点 P 在
边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与对角线 AC 交于 A，E 两点．
（1）如图 2，当⊙P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；
（2）不难发现，当⊙P 与边 CD 相切时，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP
的变化，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接
写出相对应的 AP 的值的取值范围 ＜AP＜ 或 AP=5 ．
【解答】解：（1）如图 2 所示，连接 PF，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= =8，31
设 AP=x，则 DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P 与边 CD 相切于点 F，∴PF⊥CD，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，
∴ ，∴ ，∴x= ，AP= ；
（2）当⊙P 与 BC 相切时，设切点为 G，如图 3，
S▱ABCD= =10PG，PG= ，
①当⊙P 与边 AD.CD 分别有两个公共点时， ＜AP＜ ，即此时⊙P 与平行四边形 ABCD
的边的公共点的个数为 4，
②⊙P 过点 A.C.D 三点．，如图 4，⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4，
此时 AP=5，
综上所述，AP 的值的取值范围是： ＜AP＜ 或 AP=5．
故答案为： ＜AP＜ 或 AP=5．32
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