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弧长与扇形面积
一.选择题
1. （2018·湖北十堰·3 分）如图，扇形 OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C 是 OB 的中点，CD⊥OB
交 于点 D，以 OC 为半径的 交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6
【分析】连接 OD.AD，根据点 C 为 OA 的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO 为等边三角形，
求出扇形 AOD 的面积，最后用扇形 AOB 的面积减去扇形 COE 的面积，再减去 S 空白 ADC 即可求
出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接 OD，AD，
∵点 C 为 OA 的中点，
∴OC= OA= OD，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，
∴CD=，6 ，
∴S 扇形 AOD= =24π，
∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S 扇形 COE﹣（S 扇形 AOD﹣S△COD）
= ﹣ ﹣（24π﹣ ×6×6 ）
=18 +6π．
故选：C．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 扇 形 的 面 积 计 算 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 掌 握 扇 形 的 面 积 公 式 ：2
S= ．2.
2.（2018·湖北江汉·3 分）一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥侧面展开图的圆
心角的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥
侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为 R，底面半径为 r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的 2 倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为 n，
则 =2πr=πR，
解得，n=180°，
故选：B．
3．（2018·辽宁省沈阳市）（2.00 分）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，AB=2 ，则 的长
是（ ）
A．π B． π C．2π D． π
【分析】连接 OA.OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出 AO，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接 OA.OB，
∵正方形 ABCD 内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴ = = = ，
∴∠AOB= ×360°=90°，3
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：2AO2=（2 ）2，
解得：AO=2，
∴ 的长为 =π，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB 的度数和 OA 的长是解此题的
关键．
4．（2018·辽宁省盘锦市）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧（ ），则 的展直长度
为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【解答】解： 的展直长度为： =6π（m）．
故选 B．
3．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，
OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【解答】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是： = ，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5. （2018•广安•3 分）如图，已知⊙O 的半径是 2，点 A.B.C 在⊙O 上，若四边形 OABC 为菱4
形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． π﹣2 B． π﹣ C． π﹣2 D． π﹣
【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及∠AOC 的度
数，然后求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC 可得答案．
【解答】解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示：
∵圆的半径为 2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形 OABC 是菱形，
∴OB⊥AC，OD= OB=1，
在 Rt△COD 中利用勾股定理可知：CD= = ，AC=2CD=2 ，
∵sin∠COD= = ，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S 菱形 ABCO= OB×AC= ×2×2 =2 ，
S 扇形 AOC= = ，
则图中阴影部分面积为 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC= π﹣2 ，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积= a•b
（A.b 是两条对角线的长度）；扇形的面积= ，有一定的难度．
二.填空题5
1. （2018·广西梧州·3 分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角
∠ACB=120°，则此圆锥高 OC 的长度是 4 ．
【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最
后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴ = =2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= =4 ，
故答案为：4 ．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出 OA 是解本题的关键．
2. （2018·湖北荆州·3 分）如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关
数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为 cm（圆锥的壁厚忽略不计）．
【解答】解：钢球的直径： ×20= （cm），
钢球的半径： ÷2= （cm）．
答：钢球的半径为 cm．
故答案为： ．
3．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，
以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留6
π）
【分析】根据 S 阴=S△ABD﹣S 扇形 BAE 计算即可；
【解答】解：S 阴=S△ABD﹣S 扇形 BAE= ×4×4﹣ =8﹣2π，
故答案为 8﹣2π．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求
阴影部分面积．
4.（2018•乐山•3 分）如图，△OAC 的顶点 O 在坐标原点，OA 边在 x 轴上，OA=2，AC=1，把
△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点 O′的坐标是（1， ），则在旋转过
程中线段 OC 扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
解：过 O′作 O′M⊥OA 于 M，则∠O′MA=90°，
∵点 O′的坐标是（1， ），∴O′M= ，OM=1．
∵AO=2，∴AM=2﹣1=1，∴tan∠O′AM= = ，∴∠O′AM=60°，即旋转角为 60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°．
∵把△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC=S△O′AC′，∴阴影部分的面积 S=S
扇形 OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S 扇形 CAC′=S 扇形 OAO′﹣S 扇形 CAC′= ﹣ = ．
故答案为： ．
5.（2018·辽宁大连·3 分）一个扇形的圆心角为 120°，它所对的弧长为 6πcm，则此扇7
形的半径为 cm．
解：∵L= ，∴R= =9．故答案为：9．
6.（2018·江苏镇江·2 分）圆锥底面圆的半径为 1，侧面积等于3π，则它的母线长为 3 ．
【解答】解：设它的母线长为 l，根据题意得 ×2π×1×l=3π，解得 l=3，
即它的母线长为 3．故答案为 3．
7.（2018·江苏常州·2 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC=60°， 的长是 ，
则⊙O 的半径是 2 ．
【分析】连接 OB.OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
【解答】解：连接 OB.OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°， 的长是 ，
∴ = ，
∴r=2，
故答案为 2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是
熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
三.解答题
（2018·湖北荆州·10 分）问题：已知 α、β 均为锐角，tanα= ，tanβ= ，求 α+β
的度数．
探究：（1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1），请借助
这个网格图求出 α+β 的度数；8
延伸：（2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求 的弧长．
【解答】解：（1）连结 AM、MH，则∠MHP=∠α．
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即 α+β=45°．
（2）由勾股定理可知 MH= = ．
∵∠MHR=45°，
∴ = = ．
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