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规律探索
一.选择题
1. （2018·广西贺州·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正
方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，依此下去，第 n 个正方形的面积为
（ ）
A．（ ）n﹣1 B．2n﹣1 C．（ ）n D．2n
【解答】解：第一个正方形的面积为 1=20，
第二个正方形的面积为（ ）2=2=21，
第三个正方形的边长为 22，
…
第 n 个正方形的面积为 2n﹣1，
故选：B．
2. （2018·广西梧州·3 分）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，
35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加 1，第偶数是序数的平方减 1，据此规律得
到正确答案即可．
【解答】解：∵第奇数个数 2=12+1，
10=32+1，
26=52+1，
…，
第偶数个数 3=22﹣1，
15=42﹣1，
25=62﹣1，
…，
∴第 100 个数是 1002﹣1=9999，
故选：A．2
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是
解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．
3．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中
第①个图中有 3 张黑色正方形纸片，第②个图中有 5 张黑色正方形纸片，第③个图中有 7 张
黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有 3 个正方形，第二个有 5=3+2×1 个，第三个图形
有 7=3+2×2 个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有 3 个正方形，
第二个有 5=3+2×1 个，
第三个图形有 7=3+2×2 个，
…
故第⑥个图形有 3+2×5=13（个），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归
纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
4．（2018·辽宁省阜新市）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转
45°后得到正方形 OA1B 1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2018 次得到正方形 OA2018B2018C2018，
如果点 A 的坐标为（1，0），那么点 B2018 的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0， ） C．（ ） D．（﹣1，
1）
【解答】解：∵四边形 OABC 是正方形，且 OA=1，∴B（1，1），连接 OB，由勾股定理得：OB=
，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…= ．
∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB 绕点 O 逆3
时针旋转 45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0， ），B2（﹣1，1），B3
（﹣ ，0），…，发现是 8 次一循环，所以 2018÷8=252…余 2，∴点 B2018 的坐标为
（﹣1，1）
故选 D．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…
都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1（3，3），P 2，P3，…均在直线 y=﹣ x+4 上．设
△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=
．
【分析】分别过点 P1.P2.P3 作 x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰
直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答
案．
【解答】解：如图，分别过点 P1.P2.P3 作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 C.D.E，
∵P1（3，3），且△P1OA1 是等腰直角三角形，4
∴OC=CA1=P1C=3，
设 A1D=a，则 P2D=a，
∴OD=6+a，
∴点 P2 坐标为（6+a，a），
将点 P2 坐标代入 y=﹣ x+4，得：﹣ （6+a）+4=a，
解得：a= ，
∴A1A2=2a=3，P2D= ，
同理求得 P3E= 、A2A3= ，
∵S1= ×6×3=9.S2= ×3× = 、S3= × × = 、……
∴S2018= ，
故答案为： ．
2. （2018·湖北荆州·3 分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 k 的值为 125，
则第 2018 次输出的结果是 ．
【解答】解：∵第 1 次输出的结果是 25，第 2 次输出的结果是 5，第 3 次输出的结果是 1，
第 4 次输出的结果是 5，第 5 次输出的结果是 5，…，
∴第 2n 次输出的结果是 5，第 2n+1 次输出的结果是 1（n 为正整数），
∴第 2018 次输出的结果是 5．
故答案为：5．
3.（2018·湖北十堰·3 分）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规
律，第 9 行从左至右第 5 个数是（ ）
A．2 B． C．5 D．5
【分析】由图形可知，第 n 行最后一个数为 = ，据此可得答案．
【解答】解：由图形可知，第 n 行最后一个数为 = ，
∴第 8 行最后一个数为 = =6，
则第 9 行从左至右第 5 个数是 = ，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第 n 行最后一个数为
．
4．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，∠MON=30°，点 B1 在边 OM 上，且 OB1=2，过点 B1 作
B1A1⊥OM 交 ON 于点 A1，以 A1B1 为边在 A1B1 右侧作等边三角形 A1B1C1；过点 C1 作 OM 的垂线
分别交 OM、ON 于点 B2.A2，以 A2B2 为边在 A2B2 的右侧作等边三角形 A2B2C2；过点 C2 作 OM 的
垂线分别交 OM、ON 于点 B3.A3，以 A3B3 为边在 A3B3 的右侧作等边三角形 A3B3C3，…；按此规
律进行下去，则△AnBn+1Cn 的面积为 （ ）2n﹣2× ．（用含正整数 n 的代数式表示）
【解答】解：由题意△A1A2C1 是等边三角形，边长为 ，△A2A3C2 是等边三角形，边长为
× ，△A3A 4C3 是等边三角形，边长为 × × =（ ）2× ，△A4A5C4 是等
边三角形，边长为 × × × =（ ）3× ，…，△AnBn+1Cn 的边长为（ ）n﹣1×
，∴△AnBn+1Cn 的面积为 ×[（ ）n﹣1× ]2=（ ）2n﹣2× ．
5．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00 分）如图，正方形 AOBO2 的顶点 A 的坐标为 A（0，2），O1
为正方形 AOBO2 的中心；以正方形 AOBO2 的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2
为正方形 ABO3A1 的中心；再以正方形 ABO3A1 的对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形
A1BB1O4，O3 为正方形 A1BB1O4 的中心；再以正方形 A1BB1O4 的对角线 A1B1 为边在 A1B1 的右侧作6
正方形 A1B1O5A2，O4 为正方形 A1B1O5A2 的中心：…；按照此规律继续下去，则点 O2018 的坐标
为 （21010﹣2，21009） ．
【分析】由题意 Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，
8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为 2 ，下标为偶数的点在直线 y= x+1 上，点
O2018 的纵坐标为 21009，可得 21009= x+1，同侧 x=21010﹣2，可得点 O2018 的坐标为（21010﹣2，
21009）．
【解答】解：由题意 Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6
（14，8）…
观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为 2 ，
下标为偶数的点在直线 y= x+1 上，
∵点 O2018 的纵坐标为 21009，
∴21009= x+1，
∴x=21010﹣2，
∴点 O2018 的坐标为（21010﹣2，21009）．
故答案为（21010﹣2，21009）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，一次函数的应用，解题的关键是学会探究规律的方法，
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6. （2018•广安•3 分）为了从 2018 枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这
些金蛋按 1﹣2018 的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金
蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按 1﹣1009 编了号（即原来的 2 号变为 1 号，原来的
4 号变为 2 号……原来的 2018 号变为 1009 号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检
验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金
蛋最初的编号是 1024 ．
【分析】根据题意可得每次挑选都是去掉偶数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答7
案．
【解答】解：∵将这些金蛋按 1﹣2018 的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，
发现其中没有有奖金蛋，
∴剩余的数字都是偶数，是 2 的倍数，；
∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按 1﹣1009 编了号，
又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，
∴剩余的数字为 4 的倍数，
以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1
共经历 10 次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024．
故答案为：1024．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题
关键．
7. （2018·湖北咸宁·3 分）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列： ， ， ，
，…，则这个数列前 2018 个数的和为_____．
【答案】
【解析】【分析】根据数列得出第 n 个数为 ，据此可得前 2018 个数的和为
，再用裂项求和计算可得．
【详解】由数列知第 n 个数为 ，
则前 2018 个数的和为
=
=
=1﹣ = ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以
及得出第 n 个数为 是解题的关键.
8．（2018·江苏常州·2 分）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第
8 个代数式是 15a16 ．8
【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案．
【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，…
∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，
∴第 8 个代数式是：（2×8﹣1）a2×8=15a16．
故答案为：15a16．
【点评】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．
三.解答题
1.（2018·辽宁大连·9 分）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，
24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，
49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为 a，第二个因数为 b，用等式表示 a 与 b 的数量关系
是 ．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，
57×3，58×2，59×1．
猜想 mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明．
解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 625．
故答案为：625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为 a，第二个因数为 b，用等式表示 a 与 b 的数量关系是
a+b=50．
故答案为：a+b=50；
【类比】由题意，可得 m+n=60，将 n=60﹣m 代入 mn，得 mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，
∴m=30 时，mn 的最大值为 900．
故答案为：900．
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