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操作探究
一.填空题
1.（2018·辽宁大连·3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E 为 AD 上一点，且
∠ABE=30°，将△ABE 沿 BE 翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与 AD 相交于点 F，则 DF
的长为 ．
解：如图作 A′H⊥BC 于 H．
∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H= BA′=1，BH=
A′H= ，∴CH=3﹣ ．
∵△CDF∽△A′HC，∴ = ，∴ = ，∴DF=6﹣2 ．
故答案为：6﹣2 ．
二.解答题
1. （2018·湖北江汉·10 分）问题：如图①，在Rt△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不
与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC
之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；
探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB=AC，AD=AE，将△ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落
在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求 AD 的
长．2
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股
定理计算即可；
（3）作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到 BD=CE=9，根据勾股定
理计算即可．
【解答】解：（1）BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；
（2）BD2+CD2=2AD2，
理由如下：连接 CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在 Rt△ADE 中，AD2+AE2=ED2，又 AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2；
（3）作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，3
∴DE= =6 ，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE= DE=6．
2．（2018·辽宁省阜新市）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC 于点 D．
（1）如图 1，点 E，F 在 AB，AC 上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
（2）点 M，N 分别在直线 AD，AC 上，且∠BMN=90°．
①如图 2，当点 M 在 AD 的延长线上时，求证：AB+AN= AM；
②当点 M 在点 A，D 之间，且∠AMN=30°时，已知 AB=2，直接写出线段 AM 的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠C=45°．
∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD．
∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA ），∴DE=DF；
（2）①如图 1，过点 M 作 MP⊥AM，交 AB 的延长线于点 P，∴∠AMP=90°．
∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM．
∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN．
∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN．在 Rt△AMP 中，4
∠AMP=90°，AM=MP， ∴AP= AM，∴AB+AN= AM；
②在 Rt△ABD 中，AD=BD= AB= ．
∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°﹣30°=60°．在Rt△BDM 中，DM= = ，
∴AM=AD﹣DM= ﹣ ．
3. （2018•广安•10 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴
于 C.D 两点，连接 AC.BC，已知 A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是否
存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点
P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得 MC=MD，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据两边之差小于第三边，
可得 B，C，M 共线，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可
得关于 x 的方程，根据解方程，可得 x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）将 A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，5
解得 ，
抛物线的解析式是 y= x2+ x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点 D 与点 C 关于对称轴对称，
∴对 l 上任意一点有 MD=MC，
联立方程组 ，
解得 （不符合题意，舍）， ，
∴B（﹣4，1），
当点 B，C，M 共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为 BC 的长，
过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ，
在 Rt△BEC 中，由勾股定理，得
BC= = ，
|MB﹣MD|取最大值为 ；
（3）存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，
在 Rt△BEC 中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在 Rt△ACO 中，
∵AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
过点 P 作 PQ⊥y 轴于 Q 点，∠PQA=90°，
设 P 点坐标为（x， x2+ x+3）（x＞0）
①当∠PAQ=∠BAC 时，△PAQ∽△CAB，6
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴ = ，
即 = = ，
∴ = ，
解得 x1=1，x2=0（舍去），
∴P 点的纵坐标为 ×12+ ×1+3=6，
∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC 时，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴ = ，
即 = =3，
∴ =3，
解得 x1=﹣ （舍去），x2=0（舍去）
∴此时无符合条件的点 P，
综上所述，存在点 P（1，6）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解
（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出 M，B，C 共线；解（3）的关键是利用相似三角
形的判定与性质得出关于 x 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
4.（2018·湖北咸宁·10 分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似
（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图 1，已知 Rt△ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，
使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线 BD 平分∠ABC．
求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；7
（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFCH 的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接 EG，若△EFG
的面积为 2 ，求 FH 的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2 ．
【解析】【分析】（1）先求出 AB，BC，AC，再分情况求出 CD 或 AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出 FH2=FE•FG，再判断出 EQ= FE，继而求出
FG•FE=8，即可得出结论．
【详解】（1）由图 1 知，AB= ，BC=2 ，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，
当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC 或△ACD∽△CBA，
∴ 或 ，
∴CD=10 或 CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5 或 AD=10，
（2）∵∠ABC=80°，BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图 3，
∵FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，∴△EFG 与△HFG 相似，8
∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴ ，∴FH2=FE•FG，
过点 E 作 EQ⊥FG 于 Q，∴EQ=FE•sin60°= FE，
∵ FG×EQ=2 ，∴ FG× FE=2 ，
∴FG•FE=8，∴FH2=FE•FG=8，∴FH=2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正
确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.
5.（2018·江苏镇江·9 分）（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使 BC 落在对角线 BD 上，折
痕为 BE，点 C 落在点 C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE 的度数为 23 °．
（2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9．
【画一画】
如图 2，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设
为 MN（点 M，N 分别在边 AD，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕
迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图 3，点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF，
点 A，B 分别落在点 A′，B′处，若 AG= ，求 B′D 的长；
【验一验】
如图 4，点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK 所在直线上，
折痕为 HI，点 A，B 分别落在点 A′，B′处，小明认为 B′I 所在直线恰好经过点 D，他的
判断是否正确，请说明理由．9
【解答】解：（1）如图 1 中，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=46°，
由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC= ∠DBC=23°，
故答案为 23．
（2）【画一画】，如图 2 中，10
【算一算】如图 3 中，
∵AG= ，AD=9，
∴GD=9﹣ = ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG= ，
∵CD=AB=4，∠C=90°，
∴在 Rt△CDF 中，CF= = ，
∴BF=BC﹣CF= ，
由翻折不变性可知，FB=FB′= ，
∴DB′=DF﹣FB′= ﹣ =3．11
【验一验】如图 4 中，小明的判断不正确．
理由：连接 ID，在 Rt△CDK 中，∵DK=3，CD=4，
∴CK= =5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC=∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，
∴∠IB′C=90°=∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴ = = ，即 = = ，
设 CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，
由折叠可知，IB=IB′=4k，
∴BC=BI+IC=4k+5k=9，
∴k=1，
∴IC=5，IB′=4，B′C=3，
在 Rt△ICB′中，tan∠B′IC= = ，
连接 ID，在 Rt△ICD 中，tan∠DIC= = ，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，
∴B′I 所在的直线不经过点 D．
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